Trovare base di polinomio

[kekkostrada]

Buonpomeriggio,
Mi sono imbattuto in questa traccia d'esame:
Sia $ W={X in R^5 | x_1 - 2 x_2 = x_3 + 2x_4= x_2 + x_5 0} $
Determinare dimW e proporne una base.
Non riesco a capire come risolvere la doppia equazione dei polinomi, e poi come mai $ x_5 $ è moltiplicato dallo zero?
Ho provato a risolverla facendo passare i membri tutti in un equazione e mi è uscita questa base:
$ {( 2 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 ) ( 1 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 0 ) ( 2 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1 ) } $
ho considerato comunque xhe $x_5$ fosse nullo.
Secondo voi è possibile?

[billyballo2123]

Secondo me c'è un errore di battitura: $W=\{x\in\mathbb{R}^5|x_1-2x_2=x_3+2x_4=x_2+x_5=0\}$, che è come scrivere $W=\{x\in\mathbb{R}^5|x_1-2x_2=0,x_3+2x_4=0,x_2+x_5=0\}$.

[kekkostrada]

in questo caso la dimensione di W è 3, e la base la trovo come una normale base di polinomio giusto?

[billyballo2123]

La dimensione è $5-3=2$. Cosa sarebbe una "normale base di polinomio"?

[kekkostrada]

cioè scusami, nel senso che la base la trovo nello stesso modo con il quale trovo una base con un solo polinomio.
per esempio è come trovare una base di: $ 3x+y-x+5t=0 $
quello che non capisco io è cosa cambia se c'è un solo polinomio o se ce ne sono di più

[billyballo2123]

Le equazioni lineari (che tu chiami polinomi) ti descrivono il sottospazio: con le tre equazioni che hai, ottieni $x_1=2x_2$, $x_3=-2x_4$ e $x_5=-x_2$. Dunque il generico vettore di $\mathbb{R}^5$ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ per stare nel tuo sottospazio deve essere del tipo $(2x_2,x_2,-2x_4,x_4,-2x_2)$, dunque
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x_2 \\
x_2 \\
-2x_4 \\
x_4 \\
-x_2
\end{bmatrix}
=
x_2
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
+x_4
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-2 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}.
\]
Quindi ${(2,1,0,0,-1),(0,0,-2,1,0)}$ è una base del sottospazio: come puoi vedere la dimensione è due.
Se anziché tre equazioni avessi avuto solo la prima ($x_1=2x_2$), avresti avuto che i vettori nel tuo sottospazio erano del tipo $(2x_2,x_2,x_3,x_4,x_5)$ cioè
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x_2 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
x_2
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+x_3
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+x_4
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+x_5
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]

[kekkostrada]

Grande! tutto chiaro mi hai delucidato