Triangolo retto

[needmathhelp]

potete aiutarmi con questo?
dimostrare che u triangolo avente due angoli acuti x, y è retto se e solo se

sin^2(x) + sin^2(y)= sin (x+y)

grazie

[_Tipper]

La parte "solo se" è facile: se il triangolo è retto allora $x+y=\frac{\pi}{2}$, e $\sin(x+y)=1$, inoltre $\sin(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos(y)$, di conseguenza:

$\sin^2(x) + \sin^2(y) = \cos^2(y) + \sin^2(y) = 1 = \sin(x+y)$

Ora resterebbe da dimostrare la parte "se".

[PL3]

per ora mi è venuto in mente come dimostrare che è retto se e solo se $sin^2(x)+sin^2(y)=sin^2(x+y)$, con $x,y
B->A) come già dimostrato, se il triangolo è retto, $x+y=pi/2$, e $y = pi/2 - x$, dunque la relazione si riduce ad una tautologia.

A->B) $x+y+alpha=pi$ dove $alpha$ è il terzo angolo. Quindi $x+y=pi-alpha$, $sin(x+y)=sin(pi-alpha)=sin(alpha)$. Moltiplico entrambi i membri della relazione per $4R^2$, dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo e ottengo: $4R^2sin^2(x)+4R^2sin^2(y)=4R^2sin^2(alpha)$. Per il teorema dei seni: $X^2+Y^2=A^2$, dove $X$,$Y$ rappresentano i cateti e $A$ l'ipotenusa. La relazione ottenuta è il noto teorema di Pitagora, per cui se ne deduce che il triangolo è retto.

rimane quindi da dimostrare che $sin^2(x)+sin^2(y)=sin(x+y) -> sin^2(x)+sin^2(y)=sin^2(x+y)$,

[Sk_Anonymous]

Si puo' fare anche direttamente.Abbiamo:
$sin^2x+sin^2y=(sinxcosy+sinycosx)^2$
Ovvero:
$sin^2x+sin^2y=sin^2xcos^2y+sin^2ycos^2x+2sinxsinycosxcosy$
Di seguito:
$sin^2x(1-cos^2y)+sin^2y(1-cos^2x)-2sinxsinycosxcosy=0$
E cioe':
$2sin^2xsin^2y-2sinxsinycosxcosy=0$
Dividendo per $2sinxsiny $ che non puo' essere nullo e cambiando segno:
$cosxcosy-sinxsiny=0$ da cui $cos(x+y)=0->x+y=(pi)/2$
Piccola correzione:un triangolo,quando lo e',si chiama rettangolo e non retto.
karl

[_Tipper]

Però hai usato $\sin^2(x) + \sin^2(y) = \sin^2(x+y)$, mentre needmathhelp aveva detto se e solo se $\sin^2(x) + \sin^2(y) = \sin(x+y)$, cioè senza quadrato a destra dell'uguale...

[Sk_Anonymous]

E' vero ,ho preso la traccia di PL pensando fosse la stessa di needmathhelp.
"Mo' ce provo ".
karl

[needmathhelp]

[quote=karl]
Piccola correzione:un triangolo,quando lo e',si chiama rettangolo e non retto.
karl[/quote

scusa, grazie di avermi corretto, a volte ho problemi di traduzione

qualche progresso comunque?

[Sk_Anonymous]

Ho solo una soluzione parziale.
Per $0 risulta
(1) $sin^2(x+y)
Pertanto:
(2) $sin^2x+sin^2y-sin(x+y)
Inoltre:
(3) $sin^2x+sin^2y-sin^2(x+y)=-2sinxsinycos(x+y)$
Supponiamo allora che sia $0
Per la (3) e' $sin^2x+sin^2y-sin^2(x+y)<0$
E quindi per la (2) e' pure:
$sin^2x+sin^2y-sin(x+y)<0$
Ne segue che finche' x+y rimane tra 0 e $pi/2$ (estremi esclusi) l'espressione iniziale
e' sempre negativa ed e' 0 ( come per ipotesi) solo se $x+y=(pi)/2$
Resta da vedere cosa accade se $(pi)/2 ma qui mi sono fermato.
karl