Triangolarizzazione matrice
Sia $A=((3,0,0),(1,1,1),(0,0,1))$. A è triangolarizzabile perchè i suoi autovalori sono 3 con molteplicità 1 e 1 con molteplicità 2. Ma come trovo la matrice di cambiamento di base?
Risposte
Qui puoi anche andare a occhio, mi sa. Chiama $phi$ l'endomorfismo di $RR^3$ associato a questa matrice nella base canonica $e_1, e_2, e_3$. Riordina i vettori della b. c. in $e_2, e_1, e_3$. La matrice di passaggio da questa base alla base canonica è molto semplice: $P=((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1))$. Si tratta di una matrice di permutazione, il suo effetto è:
1) se moltiplicata a destra di una matrice $M$, ne permuta le righe: $MP$ è la matrice ottenuta scambiando la prima e la seconda riga di $M$;
2) se moltiplicata a sinistra di una matrice $M$, ne permuta le colonne: $PM$ è la matrice ottenuta scambiando la prima e la seconda colonna di $M$.
E' quindi immediato verificare che $P=P^(-1)$. Calcoliamo, sempre usando la 1) e la 2), $P^(-1)AP=PAP$, matrice associata a $phi$ nella nuova base $e_2, e_1, e_3$:
$P(AP)=P((0, 3, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1))=((1, 1, 1), (0, 3, 0), (0, 0, 1))$, che è triangolare superiore. Gol!
Se cerchi un algoritmo generale, la mia opinione te l'ho già detta qui.
1) se moltiplicata a destra di una matrice $M$, ne permuta le righe: $MP$ è la matrice ottenuta scambiando la prima e la seconda riga di $M$;
2) se moltiplicata a sinistra di una matrice $M$, ne permuta le colonne: $PM$ è la matrice ottenuta scambiando la prima e la seconda colonna di $M$.
E' quindi immediato verificare che $P=P^(-1)$. Calcoliamo, sempre usando la 1) e la 2), $P^(-1)AP=PAP$, matrice associata a $phi$ nella nuova base $e_2, e_1, e_3$:
$P(AP)=P((0, 3, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1))=((1, 1, 1), (0, 3, 0), (0, 0, 1))$, che è triangolare superiore. Gol!
Se cerchi un algoritmo generale, la mia opinione te l'ho già detta qui.
La mia matrice ha 2 autovalori, ciascuno di nullità 1. Quindi nel cercare la base di autovettori trovo solo due vettori.
Ah, sì, c'è un errore nel testo che ho linkato. Dopo il primo passo, non devi più prendere in considerazione tutta la matrice ma la sottomatrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna. Ora ho corretto. Ma il procedimento di risoluzione con le matrici di permutazione l'hai letto?
Devo costruire la matrice P di cambiamento di base.
Il primo autovalore è 3, e un suo autovettore è $(2,1,0)$
Allora questo vettore è il primo vettore della nuova base.
Poi non ho capito come determino il successivo.
Il primo autovalore è 3, e un suo autovettore è $(2,1,0)$
Allora questo vettore è il primo vettore della nuova base.
Poi non ho capito come determino il successivo.
Il fatto è che con quell'algoritmo a mano non finisci più. Quello è pensato per essere implementato al calcolatore oppure per dimostrare che una forma triangolare esiste. Nel fare questi conti a mano è necessario usare degli accorgimenti per velocizzare il lavoro. Ripeto:
Ma il procedimento di risoluzione con le matrici di permutazione l'hai letto?Se non ti piace, o lo trovi troppo complicato, dillo, vediamo di trovare una strada alternativa. Almeno fammi capire che non ho parlato con il muro.
Si, letto e capito. Ma cercavo qualcosa di più generale, che si estendesse a tutti i casi di triangolarizzazione, non solo al mio esempio.
Si, letto e capito. Ma cercavo qualcosa di più generale, che si estendesse a tutti i casi di triangolarizzazione, non solo al mio esempio.Ho capito. Purtroppo non ho tempo di affrontare la questione nella sua generalità in questo momento, è facile da fare ma lunghetta da spiegare; nel link che ho postato sono stato troppo sintetico. Sulla Wikipedia inglese l'algoritmo è spiegato a questa pagina, forse come spiegazione è più chiara.
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