Tre modi di rappresentare un sottospazio
Buongiorno a tutti,
Un sottospazio si può rappresentare fondamentalmente in tre modi:
1) Tramite le equazioni cartesiane;
2) Tramite l'elemento generico;
3) Tramite una base o un insieme di generatori.
Il mio professore è solito inserire negli esercizi richieste che implichino il passaggio da una all'altra rappresentazione.
I passaggi a me chiari sono:
$1 \to 2$
$1 \to 3$
$2 \to 1$
$2 \to 3$
Insomma quando ho un sottospazio assegnato tramite una base o un insieme di generatori non so come trovarmi le equazioni cartesiane o l'elemento generico del sottospazio.
Chi è in grado di spiegarmelo?
Grazie anticipatamente.
Un sottospazio si può rappresentare fondamentalmente in tre modi:
1) Tramite le equazioni cartesiane;
2) Tramite l'elemento generico;
3) Tramite una base o un insieme di generatori.
Il mio professore è solito inserire negli esercizi richieste che implichino il passaggio da una all'altra rappresentazione.
I passaggi a me chiari sono:
$1 \to 2$
$1 \to 3$
$2 \to 1$
$2 \to 3$
Insomma quando ho un sottospazio assegnato tramite una base o un insieme di generatori non so come trovarmi le equazioni cartesiane o l'elemento generico del sottospazio.
Chi è in grado di spiegarmelo?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Iniziamo con il passaggio da base a elemento generico. Prendiamo un SSV che abbia come base $$v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ Possiamo dire che il generico vettore del SSV è dato da un combinazione lineare di questi vettori, quindi $$v=av_1 + bv_2 = \begin{bmatrix}a\\b\\0\end{bmatrix}$$ e questo è il generico elemento. Tutto chiaro?
Vero, non c'avevo pensato! 
Grazie mille, era banale ma non mi veniva!
Dunque ad esempio il sottospazio che hai preso come esempio tu in equazioni cartesiane può essere scritto:
$V={(x,y,z)\inRR^3 | z=0}$
Giusto?
Però io a questo punto ci sono arrivato facendo il passaggio $2\to1$, tu forse volevi illustrarmi qualche altro metodo?
Grazie mille, era banale ma non mi veniva!
Dunque ad esempio il sottospazio che hai preso come esempio tu in equazioni cartesiane può essere scritto:
$V={(x,y,z)\inRR^3 | z=0}$
Giusto?
Però io a questo punto ci sono arrivato facendo il passaggio $2\to1$, tu forse volevi illustrarmi qualche altro metodo?
Sì volendo c'è un altro metodo: costruiamo la matrice $$\begin{bmatrix}1&0&x\\0&1&y\\0&0&z\end{bmatrix}$$ Ora il vettore $[(x),(y),(z)]$ appartiene al sottospazio solo se è combinazione lineare delle prime due colonne, quindi solo se il rango della matrice non è massimo. A questo punto la nostra matrice è particolarmente semplice perché è già in forma triangolare. Quindi il rango della matrice è pari a $2$ se e solo se $z=0$ (altrimenti ci sarebbero tre pivot non nulli). Quindi abbiamo ottenuto $$z=0$$
Grazie mille, interessante anche questo metodo!
Te ne sono grato!
Te ne sono grato!
Prego! Per ogni altro dubbio siamo qui.
@minomic
Stavo facendo proprio oggi questo esercizio:
Sia dato $f\inEnd(RR^3)$ tale che
$M_f^(E,E)=((1,0,0),(-2,-1,1),(0,-1,-1))$
dove $E$ è la base canonica di $RR^3$.
Stabilisci per quali valori di $k\inRR$ la terna $(k+1, 0, k)$ appartiene a $Imf$.
Allora io mi sono trovato una base di $Imf$ nel modo più veloce possibile, riducendo per colonne.
$C_3\toC_3+C_2$ ed ottengo la matrice:
$M=((1,0,0),(-2,-1,0),(0,-1,-2))$
Le colonne sono vettori della base di $Imf$ che quindi ha $dim=3$.
Poi ho ricordato il metodo che mi hai spiegato tu ieri, e quindi mi son detto "completo la matrice con questa terna se c'è qualche valore di $k$ per cui il rango non è 3 allora per quel valore di $k$ la terna $(k+1,0,k)$ appartiene a $Imf$".
Però il rango sarà sempre massimo perchè il $det(M)=2$ quindi immagino non ci sia nessun valore di $k$ per cui quella terna appartiene a $Imf$, c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
Grazie anticipatamente
Stavo facendo proprio oggi questo esercizio:
Sia dato $f\inEnd(RR^3)$ tale che
$M_f^(E,E)=((1,0,0),(-2,-1,1),(0,-1,-1))$
dove $E$ è la base canonica di $RR^3$.
Stabilisci per quali valori di $k\inRR$ la terna $(k+1, 0, k)$ appartiene a $Imf$.
Allora io mi sono trovato una base di $Imf$ nel modo più veloce possibile, riducendo per colonne.
$C_3\toC_3+C_2$ ed ottengo la matrice:
$M=((1,0,0),(-2,-1,0),(0,-1,-2))$
Le colonne sono vettori della base di $Imf$ che quindi ha $dim=3$.
Poi ho ricordato il metodo che mi hai spiegato tu ieri, e quindi mi son detto "completo la matrice con questa terna se c'è qualche valore di $k$ per cui il rango non è 3 allora per quel valore di $k$ la terna $(k+1,0,k)$ appartiene a $Imf$".
Però il rango sarà sempre massimo perchè il $det(M)=2$ quindi immagino non ci sia nessun valore di $k$ per cui quella terna appartiene a $Imf$, c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
Grazie anticipatamente
Ciao, sinceramente io avrei detto l'esatto contrario... Se l'immagine di quell'endomorfismo coincide con tutto $RR^3$ (ed è vero dato che il rango della matrice è $3$) allora OGNI vettore di $RR^3$ farà parte dell'immagine, quindi puoi scegliere il $k$ come vuoi.
Questo è vero effettivamente.
E forse un altro punto a favore della tua argomentazione potrebbe riguardare il fatto che se prendiamo il sistema associato alla matrice completata della terna abbiamo praticamente un sistema di tre equazioni in quattro incognite dunque $\infty^1$ soluzioni.
Però a questo punto forse c'è qualche restrizione che non ho capito riguardo a quel metodo che mi hai illustrato o semplicemente non l'ho capito bene.. (scusa se ti rompo la testa ma sono in crisi pre-esame dunque non mi do pace
)
Grazie al solito per la tua disponibilità!
E forse un altro punto a favore della tua argomentazione potrebbe riguardare il fatto che se prendiamo il sistema associato alla matrice completata della terna abbiamo praticamente un sistema di tre equazioni in quattro incognite dunque $\infty^1$ soluzioni.
Però a questo punto forse c'è qualche restrizione che non ho capito riguardo a quel metodo che mi hai illustrato o semplicemente non l'ho capito bene.. (scusa se ti rompo la testa ma sono in crisi pre-esame dunque non mi do pace
)Grazie al solito per la tua disponibilità!
Volendo applicare il "mio" metodo (ovviamente non è mio... 
) possiamo dire questo: la tua matrice ha rango $3$, quindi le sue colonne costituiscono una base di $RR^3$. Ora se tu costruisci la matrice \[\begin{bmatrix}
1&0&0&k+1\\-2&-1&1&0\\0&-1&-1&k
\end{bmatrix}\] come può l'ultima colonna essere indipendente dalle prime tre? Dato che le prime tre sono tra loro indipendenti, questo ti farebbe dire che la matrice ha rango $4$ ($4$ colonne indipendenti) ma ciò è ovviamente impossibile dato che il rango massimo della matrice è $3$.
La cosa è un po' contorta: secondo me si faceva meglio a ragionare come abbiamo già visto. Le prime tre colonne sono tra loro indipendenti e formano una base di $RR^3$, quindi ogni vettore del tipo $[(a),(b),(c)]$ si può ottenere da una loro combinazione lineare.
) possiamo dire questo: la tua matrice ha rango $3$, quindi le sue colonne costituiscono una base di $RR^3$. Ora se tu costruisci la matrice \[\begin{bmatrix}1&0&0&k+1\\-2&-1&1&0\\0&-1&-1&k
\end{bmatrix}\] come può l'ultima colonna essere indipendente dalle prime tre? Dato che le prime tre sono tra loro indipendenti, questo ti farebbe dire che la matrice ha rango $4$ ($4$ colonne indipendenti) ma ciò è ovviamente impossibile dato che il rango massimo della matrice è $3$.
La cosa è un po' contorta: secondo me si faceva meglio a ragionare come abbiamo già visto. Le prime tre colonne sono tra loro indipendenti e formano una base di $RR^3$, quindi ogni vettore del tipo $[(a),(b),(c)]$ si può ottenere da una loro combinazione lineare.
Certo capisco, tu giustamente dici per appartenere al sottospazio $Imf$ dev'essere linearmente dipendente dagli altri 3 vettori che formano la base, ma del resto, visto che non può essere linearmente indipendente, per qualsiasi $k$ abbiamo che la terna appartiene ad $Imf$, come del resto ci dimostrava già il discorso sulla suriettività dell'endomorfismo.
Ok, adesso ho le idee più chiare.
Grazie mille, gentilissimo davvero!
Ok, adesso ho le idee più chiare.
Grazie mille, gentilissimo davvero!
Prego! Per altri dubbi pre-esame... conosci la strada! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo