Traslazione o rototraslazione?

[thedarkhero]

Ho la matrice di un'isometria:
$((1,0,0,0),(sqrt(2)/2+2,1/2,1/2,sqrt(2)/2),(-sqrt(2)/2,1/2,1/2,-sqrt(2)/2),(sqrt(2),-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0))$
Il suo determinante è 1 quindi è un'isometria diretta.
Non ha punti fissi.
Rimangono due possibilità: potrebbe essere una traslazione o una rototraslazione.
Come faccio a stabilire quale delle due isometrie corrisponde a questa matrice?

[dissonance]

Come agisce questa matrice? Per prodotto con il vettore $[[1], [x], [y],[z]]$? Se è così è molto semplice capire se c'è o meno una traslazione: basta osservare il vettore in basso a sinistra, se è nullo la traslazione non c'è.

[thedarkhero]

Si agisce come hai detto.
La traslazione ovviamente c'è ma come si fa a capire se è preceduta da una rotazione, ovvero se è una rototraslazione?

[dissonance]

Se partizioni $A$ come

$A=[[1,0\ 0],[v,A_1]]$

allora ti stai riferendo alla trasformazione

$T(x,y)=A_1[[x],[y]]+v$

per vedere se è una rototraslazione devi esaminare la matrice $A_1$.

*** EDIT ***
Mi sono accorto solo adesso che tu parli di trasformazioni nello spazio tridimensionale, mentre io qui parlo di trasformazioni piane. Il concetto naturalmente è lo stesso.

[thedarkhero]

Si ma in che modo? Cioè ho trovato che il determinante è 1 ma poi cos'altro posso sapere?

[dissonance]

Devi controllare se $A_1$ è o non è la matrice di una rotazione.

[thedarkhero]

Essendo determinante=1 e non essendoci punti fissi la matrice può essere una traslazione o una rototraslazione, quindi la matrice $A_1$ deve essere la matrice di una rotazione (allora la matrice completa è una rototraslazione) oppure la matrice unitaria (allora la matrice completa è una traslazione).
Ho capito bene? Se si, si tratta di rototraslazione.

[dissonance]

Ma no. $A_1$ è la matrice di una rotazione se e solo se essa è ortogonale con determinante uguale a $1$. Anzi, in geometria analitica questa è la definizione di rotazione.