Trasformazioni geometriche.

[Bad90]

Sto risolvendo il seguente esercizio:

a) Il primo punto e' semplicissimo, bisogna dimostrare che sia ortogonale e come sappiamo dalla teoria, basta fare il seguente prodotto $A*A^T=Id$ che si ottiene la matrice identità!

b) Questo punto e' facilissimo, semplice somma dei trasformati $vec(e)_1$ e $vec(e)_2$.

c) Scusatemi, ma come si devono trovare i punti fissi? In sostanza, penso significa trovare che tipo di trasformazione si tratta, vero?
Noto che usa trovare gli autovettori, significa questo trovare i punti fissi?

Puoi per favore potete spiegarmi di perchè si usa calcolare autovettori per questi punti fissi?
Ho visto che alcuni fanno in questo modo:

Ma io sinceramente non capisco il ragionamento che si fa!
Cosa è stato fatto??????

Adesso provo a replicare, ma chiedo a voi per favore se riuscite a farmi capire il concetto.....

La traccia mi chiede di verificare la trasformazione,, bene, allora se è una trasformazione, posso dire che, ho la matrice di partenza che è una trasformazione ortogonale:

$A= ( ( 1/2 , 0 , sqrt(3)/(2) ),( 0 , 1 , 0 ),( sqrt(3)/(2) , 0 , -1/2 ) ) $

Correggetemi se sto sbagliando: Io so che una trasformazione ortogonale è una trasformazione che conserva angoli e lunghezze, giusto?
Bene, allora sapendo la def. di autovettore che dice:

Perchè per DEFINIZIONE un autovettore è un vettore $\vec{v}$ che viene trasformato in un suo multiplo

$$f(\vec{v})=\lambda\vec{v}$$

o con il linguaggio matriciale

$$A\vec{v}=\lambda\vec{v}$$

UN autovettore è un vettore che non cambia, calcola l'autospazio relativo all'autovalore.
Perciò, considerando che il generico vettore $vec(x)$, viene trasformato nel generico vettore $vec(x)'$, si può considerare il seguente prodotto matriciale:

$Avec(x) = vec(x)'$

Mentre non capisco perchè invece nell'immagine che ho postato si è fatto questo??

$(A - lambdaI)vec(x) = 0$ (penso che abbia considerato $lambda=1$)

Comunque, in attesa di capire, continuo a fare con il metodo che mi viene di fare:

$Avec(x) = vec(x)'$

$( ( 1/2 , 0 , sqrt(3)/(2) ),( 0 , 1 , 0 ),( sqrt(3)/(2) , 0 , -1/2 ) ) *( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( x' ),( y' ),( z' ) ) $

$ { ( 1/2x + 0 + (sqrt(3))/(2)z = x' ),( 0+y+0=y' ),( (sqrt(3))/(2)+0 -1/2z=z' ):} $


$ { ( 1/2x + (sqrt(3))/(2)z = x' ),( y=y' ),( (sqrt(3))/(2) -1/2z=z' ):} $

$ { ( x + sqrt(3)z = 2x' ),( y=y' ),( xsqrt(3) -z= 2z' ):} $

$ { ( x = 2x'-sqrt(3)z ),( y=y' ),( sqrt(3)(2x'-sqrt(3)z ) -z= 2z' ):} $

$ { ( x = 2x'-sqrt(3)z ),( y=y' ),(z= (sqrt(3))/(2)x' -1/2z' ):} $

$ { ( x = 2x'-sqrt(3)((sqrt(3))/(2)x' -1/2z') ),( y=y' ),(z= (sqrt(3))/(2)x' -1/2z' ):} $

$ { ( x = 1/2x'-(sqrt(3))/(2)z' ),( y=y' ),(z= (sqrt(3))/(2)x' -1/2z' ):} $

$(x,y,z)=( 1/2x'-(sqrt(3))/(2)z' , 0 , (sqrt(3))/(2)x' -1/2z' )=x'(1/2,0,(sqrt(3))/(2))+z'(-(sqrt(3))/(2),0,-1/2)$

E io sinceramente non capisco quale trasformazione sia?????????????????????

Si vede semplicemente che la dimensione di questo sottospazio, che io chiamo $U$ è $dimU=2$, e capisco perfettamente che è un piano perchè ha dimensione $2$.
Ma perchè il testo dice che è una simmetria ortogonale?
Da dove si capisce?
Come fa ad arrivare a quel risultato che nel testo è $x=sqrt(3)z$


d) E poi non capisco il trucchetto che usa per risolvere questo ultimo punto???

Puoi per favore potete aiutarmi a capire????



HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Emar1]

Un punto fisso di una funzione \(f:A \to A\) è un punto \(x \in A\) tale che \(f(x) = x\).

Se \(f\) è un endomorfismo (o operatore lineare), ovvero \(f:V \to V\), allora i punti fissi sono gli autovettori associati all'autovalore \(\lambda = 1\), ovvero gli autovettori nell'autospazio \(V_\lambda\).

In generale un autovalore/autovettore lo puoi definire in più modi equivalenti:

Un autovettore è uno vettore \(\mathbf{v}\) tale che esiste uno scalare \(\lambda\) per cui vale:
\[A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\]

O equivalentemente

Un autovettore è uno vettore \(\mathbf{v}\) tale che esiste uno scalare \(\lambda\) per cui vale:
\[(A -\lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\]
dove \(I\) denota l'operatore identità \(id\)

O ancora potresti definire l'autovalore sfruttando il concetto di invertibilità e l'autovettore tramite il concetto di autospazio in un ottica più astratta:

Si dice autovalore uno scalare \(\lambda\) tale per cui l'operatore \(A-\lambda I\) non è invertibile.

Dato un autovalore \(\lambda\) si dice autospazio il nucleo dell'operatore \(A-\lambda I\):
\[V_\lambda := \text{ker}(A-\lambda I) = \mathcal{N}(A-\lambda I)\]
Gli elementi di \(V_\lambda\) si dicono autovettori associati a \(\lambda\).

Oppure ancora, dato che nell'ottica finito dimensionale il determinante nullo è condizione necessaria e sufficiente per la singolarità:

Si dice autovalore uno scalare \(\lambda\) tale per cui:\[\det(A - \lambda I) = 0\]

Questo per dire che le definizioni sono molteplici, e così lo sono anche i metodi di calcolo. Per trovare i punti fissi, ovvero l'autospazio associato a \(\lambda = 1\) si può procedere come segue. Si vuole trovare l'insieme dei vettori \(\mathbf{v}\) tali per cui:
\[A\mathbf{v} =\mathbf{v} \]
Ciò equivale a:
\[\mathbf{0} = A\mathbf{v} - \mathbf{v} = (A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \]
Quindi è sufficiente risolvere il sistema omogeneo con matrice \((A - I)\). Lo spazio delle soluzioni coinciderà con il tuo autospazio.


Riguardo al punto \(4\) cos'è che non ti è chiaro? E' tutto scritto lì...
Si sfrutta il fatto che la matrice sia ortogonale, ovvero \(A = A^{-1}\) e si fanno osservazioni sull'idempotenza della matrice

[Bad90]

SEI STATO FORMIDABILE!
Scusami, potresti per favore aiutarmi a capire il concetto di Idempotenza??????


Ti ringrazio!

[Emar1]

"Bad90":
Scusami, potresti per favore aiutarmi a capire il concetto di Idempotenza??????

Ho sbagliato a scrivere, in questo caso non si parla di idempotenza poichè abbiamo \(AA = I\). Idempotenza si ha quando \(AA = A\) e poi abbiamo la nilpotenza \(AA = O\).

[Bad90]

Scusami, hai giustamente detto che :

"Emar":Un punto fisso di una funzione \(f:A \to B\) è un punto \(x \in A\) tale che \(f(x) = x\).

Se \(f\) è un endomorfismo (o operatore lineare), ovvero \(f:V \to V\), allora i punti fissi sono gli autovettori associati all'autovalore \(\lambda = 1\), ovvero gli autovettori nell'autospazio \(V_\lambda\).

Bene, ma come mai hai parlato di Endomorfismo in questo caso????

[Emar1]

Perchè l'autovettore è definito solo per gli endomorfismi, ovvero quelle trasformazioni da uno spazio in se stesso. Altrimenti la relazione:
\[A \mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \]
sarebbe impossibile da verificare poiché \(\mathbf{v}\) o sta nello spazio di arrivo o in quello di partenza, non può sdoppiarsi

PS La stessa cosa vale per i punti fissi in generale, la funzione dev'essere \(f:A \to A\). Ho corretto sopra

[Bad90]

"Emar":Perchè l'autovettore è definito solo per gli endomorfismi, ovvero quelle trasformazioni da uno spazio in se stesso. Altrimenti la relazione:
\[A \mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \]
sarebbe impossibile da verificare poiché \(\mathbf{v}\) o sta nello spazio di arrivo o in quello di partenza, non può sdoppiarsi

PS La stessa cosa vale per i punti fissi in generale, la funzione dev'essere \(f:A \to A\). Ho corretto sopra

Ok, allora ogni qualvolta mi viene chiesto di trovare i punti fissi, utilizzo questi step e quindi il ragionamento che mi hai spiegato, giusto???

Pero' adesso mi chiedo............
Con quale sicurezza si puo' dire che quello e' un endomorfismo semplice?
Insomma, hai fatto qualche verifica prima?
Io so come vedere se un e dimorfismo e' semplice, solo che non vedo che e' stato fatto tutto il procedimento per vederlo!

[Emar1]

Sì, si tratta di trovare l'autospazio relativo all'autovalore \(1\) risolvendo il sistema omogeneo di cui sopra

[Bad90]

"Emar":Sì, si tratta di trovare l'autospazio relativo all'autovalore \(1\) risolvendo il sistema omogeneo di cui sopra

Pero' adesso mi chiedo............
Con quale sicurezza si puo' dire che quello e' un endomorfismo semplice?
Insomma, hai fatto qualche verifica prima?
Io so come vedere se un endimorfismo e' semplice, solo che non vedo che e' stato fatto tutto il procedimento per vederlo!

Oppure basta vedere che la funzione e' del tipo $f:A->A$ per dire che e' un endomorfismo semplice???

Poi in questa:

Perchè poi calcola $U^(_|_)$

[Bad90]

Ho bisogno di capire questo esercizio:

Punto a)

Sinceramente, in termini di calcolo è evidente ciò che ha fatto, solo che voglio capire meglio.....
Insomma, se io ho un piano che passa per il punto $A=(1,1,0)$, e questo piano è parallelo al vettore $vec(u)= (1,0,-1)$ ed al vettore $vec(v)=(0,2,3)$, perche si usa impostare questa equazione per risolvere il quesito?

$(x,y,z) = A + kvec(u) + hvec(v)$



Punto b)

Poi ha risolto in questo modo il secondo punto:

Che ragionamento ha fatto?

Punto c)

Che ragionamento ha fatto??????

Punto d)

Che ragionamento ha fatto?????
Puoi per favore aiutarmi a capirlo per bene?[/quote]

[Bad90]

"Emar":[quote="Bad90"]
Scusami, potresti per favore aiutarmi a capire il concetto di Idempotenza??????

Ho sbagliato a scrivere, in questo caso non si parla di idempotenza poichè abbiamo \(AA = I\). Idempotenza si ha quando \(AA = A\) e poi abbiamo la nilpotenza \(AA = O\).[/quote]
Sinceramente non mi è tanto chiaro il perchè sfrutta questa storia dovuto al fatto che $AA=I$

Insomma, mi sembra che si utilizza per induzione il fatto e che faccia in questo modo:

$A A=I$
$A^2=I$
$A^3=A^2A=IA=A$
$A^(2n+1) = A^(2n)A=(A^2)^n A= I^nA = IA = A$
$A^(2n) = I$

E perchè tutto questo?
Come fai a capire il fatto che soddisfa la domanda????