Trasformazione lineare con cambiamento di base
Buongiorno avrei bisogno di un parere sul procedimento utilizzato per risolvere l'esercizio:
Data la trasformazione lineare da \(R^3->R^2\)
\(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y+z\\ 2y+z\end{pmatrix}\)
Scrivere la matrice rappresentativa rispetto a :
\(B(R^3)=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
\(B(R^2)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)
Il modo più veloce di farlo che ho trovato è:
1) trovare la matrice rappresentativa rispetto a $B(R^3)$ (trovando le immagini dei vettori), questa mi darà come immagini dei vettori di $R^2$ i cui componenti sono le coordinate rispetto alla base canonica di $R^2$
2) trovare la matrice cambiamento di base dalla canonica di $R^2$ a $B(R^2)$
3) moltiplicare, nell'ordine, la matrice trovata in 2) e la matrice trovata in 1)
I passaggi sono corretti? Ci sono passaggi superflui o è necessario fare questo procedimento?
Data la trasformazione lineare da \(R^3->R^2\)
\(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y+z\\ 2y+z\end{pmatrix}\)
Scrivere la matrice rappresentativa rispetto a :
\(B(R^3)=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
\(B(R^2)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)
Il modo più veloce di farlo che ho trovato è:
1) trovare la matrice rappresentativa rispetto a $B(R^3)$ (trovando le immagini dei vettori), questa mi darà come immagini dei vettori di $R^2$ i cui componenti sono le coordinate rispetto alla base canonica di $R^2$
2) trovare la matrice cambiamento di base dalla canonica di $R^2$ a $B(R^2)$
3) moltiplicare, nell'ordine, la matrice trovata in 2) e la matrice trovata in 1)
I passaggi sono corretti? Ci sono passaggi superflui o è necessario fare questo procedimento?
Risposte
Corretto se hai calcolato il seguente prodotto di matrici:
$[(1,2),(1,1)]^(-1)*[(1,1,1),(0,2,1)]*[(1,0,1),(1,2,0),(0,1,1)]$
Ho moltiplicato due sole matrici, come indicato nel procedimento. Mi potresti spiegare il tuo, di procedimento?
Da destra verso sinistra, la prima matrice:
riceve, in ingresso, le componenti di un vettore di $RR^3$ rispetto alla base della consegna e restituisce, in uscita, le componenti del medesimo vettore rispetto alla base naturale. La seconda matrice:
riceve, in ingresso, le componenti di un vettore di $RR^3$ rispetto alla base naturale e restituisce, in uscita, le componenti del vettore di $RR^2$, trasformato del primo, rispetto alla base naturale. La terza matrice:
riceve, in ingresso, le componenti di un vettore di $RR^2$ rispetto alla base naturale e restituisce, in uscita, le componenti del medesimo vettore rispetto alla base della consegna.
$[(1,0,1),(1,2,0),(0,1,1)]$
riceve, in ingresso, le componenti di un vettore di $RR^3$ rispetto alla base della consegna e restituisce, in uscita, le componenti del medesimo vettore rispetto alla base naturale. La seconda matrice:
$[(1,1,1),(0,2,1)]$
riceve, in ingresso, le componenti di un vettore di $RR^3$ rispetto alla base naturale e restituisce, in uscita, le componenti del vettore di $RR^2$, trasformato del primo, rispetto alla base naturale. La terza matrice:
$[(1,2),(1,1)]^(-1)$
riceve, in ingresso, le componenti di un vettore di $RR^2$ rispetto alla base naturale e restituisce, in uscita, le componenti del medesimo vettore rispetto alla base della consegna.
Ok, capito.
Ho solamente due dubbi:
1)Perché é necessaria la prima matrice (da destra)? Nel senso: le "istruzioni" dell'applicazione lineare possono essere utilizzate anche da un vettore scritto con base diversa dalla naturale o sono necessariamente sempre riferite alla base naturale? (Se vedi io nel mio procedimento avevo saltato questo passaggio)
2) Cosa intendi con "trasformato del primo"?
Ho solamente due dubbi:
1)Perché é necessaria la prima matrice (da destra)? Nel senso: le "istruzioni" dell'applicazione lineare possono essere utilizzate anche da un vettore scritto con base diversa dalla naturale o sono necessariamente sempre riferite alla base naturale? (Se vedi io nel mio procedimento avevo saltato questo passaggio)
2) Cosa intendi con "trasformato del primo"?
"gianni97":
... le istruzioni dell'applicazione lineare possono essere utilizzate anche da un vettore scritto con base diversa dalla naturale o sono necessariamente sempre riferite alla base naturale ...
Se non è altrimenti detto, le istruzioni sono sempre riferite alla base naturale. Soprattutto perché, nella seguente scrittura:
$\{(x'=x+y+z),(y'=2y+z):}$
$(x,y,z) in RR^3$ e $(x',y') in RR^2$ sono i numeri "assoluti" che identificano, rispettivamente, la 3-pla di $RR^3$ e la 2-pla di $RR^2$, da non confondersi con le componenti rispetto a una base generica. Solo rispetto alla base naturale questi numeri "assoluti" coincidono con le componenti.
"gianni97":
Cosa intendi con trasformato del primo ...
Dato che $T : RR^3 rarr RR^2$, il trasformato del vettore di $RR^3$.
Ok, quindi se fosse stato indicato nel testo che le "istruzioni" erano riferite alla base data, il mio procedimento era corretto? O bastava, una volta trovate le immagini dei tre vettori di partenza, trovare le coordinate rispetto alla base di arrivo e inserirle, come colonne, in una matrice, per trovare la matrice rappresentativa?
"gianni97":
... se fosse stato indicato nel testo che le "istruzioni" erano riferite alla base data ...
Quale delle due?
Alla base che ho indicato con $B(R^3)$
Se rispetto alla base di $RR^3$:
Se rispetto alla base di $RR^2$:
Se rispetto a entrambe:
$[(1,2),(1,1)]^(-1)*[(1,1,1),(0,2,1)]$
Se rispetto alla base di $RR^2$:
$[(1,1,1),(0,2,1)]*[(1,0,1),(1,2,0),(0,1,1)]$
Se rispetto a entrambe:
$[(1,1,1),(0,2,1)]$
Capito. Ti ringrazio.
Bene. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo