Traccia Esame
1.Sia $f€Hom(R^4,R^3)$ di matrice rispetto alle basi fissate
$A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(b,5,1,0))$
determinare a,b in R in modo che dimkerf=2; trovare una base per l'imf e kerf
si veda se il vettore $u=(1,1,1,1) in kerf$
2. scrivere l'equazione del piano
2.1 $\pi$ per P(-3,0,0) e parallelo al piano:x-2y+2z-1=0
2.2 $\pi'$ per l'asse ox e parallelo al vettore(2,1,1); si chiede se $\pi$,$\pi'$ si intersecano
3.Sia s(x,y) la forma bilineare simmetrica sullo spazio vettoriale R^3 tale che s(e1,e1)=1 s(e1,e2)=-2 s(e2,e2)=0 s(e3,e3)=-3 s(e1,e3)=-1 s(e2,e3)=-2
Trovare il nucleo di s e i vettori isotrpi del piano $x_3=0$
Svolgimento 1.
Mi calcolo il rango della matrice $A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(b,5,1,0))$ dato che è 3 affinche dimkerf=2 deve essere 2(deve sparire l'ultima riga)
quindi per determinare i valori di a e b sviluppo il rango
$A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(b,5,1,0))$ $A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(0,5+b/2,3/2b+1,-2b))$ ma a questo punto credo di aver fatto na fesserie e non riesco più ad andare avanti xkè poi si complicherebbero troppo le cose cmq per deduzione ottengo a=0 e b=-2 e ho la conferma che andando a sostituire $A((2,-1,-3,4),(0,0,-1,2),(0,0,0,0))$
Una base per l'img la determino $B_(Img)={(-2,0,0),(-3,-1,0)}$
vado avanti per trovare una base determino un minore con det non nullo tipo $((-1,-3),(-1,-1))$ e risolvo il sistema
$\{(2x_1-x_2-3x_3+4x_4=0),(-x_3+2x_4=0):}$ $\{(2x_1-x_2-3x_3+4x_4=0),(x_3=-2x_4):}$ pongo $\lambda_1=x_1;\lambda_2=x4$ $\{(x_2=2\lambda_1+\lambdax_4),(x_3=-2\lambda_2):}$ da cui il $ker={(\lambda_1,2\lambda_1+\lambdax_4,-2\lambda_2,\lambda_2)|\lambda_(1,2) in R}$ da cui una base è $(1,9,-2,1)$
Svolgimento 2.
Di questo ese ho fatto solo la prima parte la secondo non sapevo bene come farla
se $x-2y+2z+1=0$ è l'equazione di un piano, l'equazione del piano $\pi$ || è dato da: $2x-4y+4z+1=0 $
$a(x-2y+2z+1)+b(2x-4y+4z+1)=0 $ essendo passante per il $P(-3,0,0)$
$-3a+a+b-6b=0$
$a=-5/2b$ che andando a sostituire nell'equazione del fascio ottengo
-1/2x+y+9z-3/2=0
Per $\pi$' per l'asse ox
volevo scrivere qualcosa tipo $-2y+2x+1=0$ ma ho lasciato perder perchè non ci stavo già capendo più niente
Solgimento 3.
$A((1,2,-1),(0,0,-2),(0,0,-3))$
$Dimker=3-2=1$ per trovarlo ho usato il sistema
$\{(x_1+2x_2-1x_3=0),(-2x_3=0):}$ da cui $\{(x_1=-2\lambda),(x_3=0):}$ dove $\lambda=x_2$ e $ker={(-2\lambda,\lambda,0|\lambda in R)}$
Poi per la seconda parte ho verificato che il detA fosse degenere... ed essendo $det A=0$ allora A è degenere e con lui il prodotto scalare, ma non sono riuscito a determinare nulla!
ho fatto abbastanza schifo infatti ho chiesto alla prof se mi potesse ascoltare all'orale perchè credo di sapere la teoria ma con gli ese vado in confusione... attendo voi!
saluti
$A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(b,5,1,0))$
determinare a,b in R in modo che dimkerf=2; trovare una base per l'imf e kerf
si veda se il vettore $u=(1,1,1,1) in kerf$
2. scrivere l'equazione del piano
2.1 $\pi$ per P(-3,0,0) e parallelo al piano:x-2y+2z-1=0
2.2 $\pi'$ per l'asse ox e parallelo al vettore(2,1,1); si chiede se $\pi$,$\pi'$ si intersecano
3.Sia s(x,y) la forma bilineare simmetrica sullo spazio vettoriale R^3 tale che s(e1,e1)=1 s(e1,e2)=-2 s(e2,e2)=0 s(e3,e3)=-3 s(e1,e3)=-1 s(e2,e3)=-2
Trovare il nucleo di s e i vettori isotrpi del piano $x_3=0$
Svolgimento 1.
Mi calcolo il rango della matrice $A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(b,5,1,0))$ dato che è 3 affinche dimkerf=2 deve essere 2(deve sparire l'ultima riga)
quindi per determinare i valori di a e b sviluppo il rango
$A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(b,5,1,0))$ $A((2,-1,-3,4),(0,a,-1,2),(0,5+b/2,3/2b+1,-2b))$ ma a questo punto credo di aver fatto na fesserie e non riesco più ad andare avanti xkè poi si complicherebbero troppo le cose cmq per deduzione ottengo a=0 e b=-2 e ho la conferma che andando a sostituire $A((2,-1,-3,4),(0,0,-1,2),(0,0,0,0))$
Una base per l'img la determino $B_(Img)={(-2,0,0),(-3,-1,0)}$
vado avanti per trovare una base determino un minore con det non nullo tipo $((-1,-3),(-1,-1))$ e risolvo il sistema
$\{(2x_1-x_2-3x_3+4x_4=0),(-x_3+2x_4=0):}$ $\{(2x_1-x_2-3x_3+4x_4=0),(x_3=-2x_4):}$ pongo $\lambda_1=x_1;\lambda_2=x4$ $\{(x_2=2\lambda_1+\lambdax_4),(x_3=-2\lambda_2):}$ da cui il $ker={(\lambda_1,2\lambda_1+\lambdax_4,-2\lambda_2,\lambda_2)|\lambda_(1,2) in R}$ da cui una base è $(1,9,-2,1)$
Svolgimento 2.
Di questo ese ho fatto solo la prima parte la secondo non sapevo bene come farla
se $x-2y+2z+1=0$ è l'equazione di un piano, l'equazione del piano $\pi$ || è dato da: $2x-4y+4z+1=0 $
$a(x-2y+2z+1)+b(2x-4y+4z+1)=0 $ essendo passante per il $P(-3,0,0)$
$-3a+a+b-6b=0$
$a=-5/2b$ che andando a sostituire nell'equazione del fascio ottengo
-1/2x+y+9z-3/2=0
Per $\pi$' per l'asse ox
volevo scrivere qualcosa tipo $-2y+2x+1=0$ ma ho lasciato perder perchè non ci stavo già capendo più niente
Solgimento 3.
$A((1,2,-1),(0,0,-2),(0,0,-3))$
$Dimker=3-2=1$ per trovarlo ho usato il sistema
$\{(x_1+2x_2-1x_3=0),(-2x_3=0):}$ da cui $\{(x_1=-2\lambda),(x_3=0):}$ dove $\lambda=x_2$ e $ker={(-2\lambda,\lambda,0|\lambda in R)}$
Poi per la seconda parte ho verificato che il detA fosse degenere... ed essendo $det A=0$ allora A è degenere e con lui il prodotto scalare, ma non sono riuscito a determinare nulla!
ho fatto abbastanza schifo infatti ho chiesto alla prof se mi potesse ascoltare all'orale perchè credo di sapere la teoria ma con gli ese vado in confusione... attendo voi!
saluti
Risposte
Allora, facciamo un esercizio alla volta.
Partiamo dal primo.
Se ti si richiede che il Ker abbia dimensione 2, io direi che una base del ker deve essere composta da $2$ vettori no? Tu ne hai esibito uno, quindi qualcosa non va.
L'idea di imporre che il rango della matrice $A$ sia $2$, in modo che la dimImf sia uguale $2$ e di conseguenza $kerf$ abbia dimensione 2 è giusta, però quando ne ricavi la base non devi pensare alla matrice ridotta, ma alla matrice $A$. Sostituisci $a,b$ in $A$ e prendi $2$ colonne linearmente indipendenti. Finito.
Sistemato questo andiamo agli altri.
Partiamo dal primo.
Se ti si richiede che il Ker abbia dimensione 2, io direi che una base del ker deve essere composta da $2$ vettori no? Tu ne hai esibito uno, quindi qualcosa non va.
L'idea di imporre che il rango della matrice $A$ sia $2$, in modo che la dimImf sia uguale $2$ e di conseguenza $kerf$ abbia dimensione 2 è giusta, però quando ne ricavi la base non devi pensare alla matrice ridotta, ma alla matrice $A$. Sostituisci $a,b$ in $A$ e prendi $2$ colonne linearmente indipendenti. Finito.
Sistemato questo andiamo agli altri.
riguardo questo
ne parlavo in un'altro 3d tu ovviamente nn lo sapevi... praticamente la prof mi ha dato un teorema che consente di prendere le colonne indipendenti dalla matrice ridotta... ti posto il link se vorrai leggere
https://www.matematicamente.it/forum/tro ... tml#427021
per il primo ho fatto mi sa un errore che potevo risparmiarmi! basta che trovarssi n'altro scalare da moltiplicare per il vettore del ker, praticamente iterare il procedimento che mi ha portato a determinare il primo vettore della base
L'idea di imporre che il rango della matrice sia , in modo che la dimImf sia uguale e di conseguenza abbia dimensione 2 è giusta, però quando ne ricavi la base non devi pensare alla matrice ridotta, ma alla matrice . Sostituisci in e prendi colonne linearmente indipendenti.
ne parlavo in un'altro 3d tu ovviamente nn lo sapevi... praticamente la prof mi ha dato un teorema che consente di prendere le colonne indipendenti dalla matrice ridotta... ti posto il link se vorrai leggere
https://www.matematicamente.it/forum/tro ... tml#427021
per il primo ho fatto mi sa un errore che potevo risparmiarmi! basta che trovarssi n'altro scalare da moltiplicare per il vettore del ker, praticamente iterare il procedimento che mi ha portato a determinare il primo vettore della base
Mmm a me, come ti hanno detto, sembra falsa. E quindi non mi ci atterrei! 
c'è qualche altro volenteroso per il secondo e il terzo?
Provo a fare il due
per 2.1 bisogna determinare prima un piano parallelo a $x-2y+2z-1=0$ e io scelgo $2x-4y+4z-2=0$
poi usando il fascio di piani $\alpha(2x-4y+4z-2)+\beta(x-2y+2z-1)=0$ determino che passi per il punto (-3,0,0) sostituendo alle x,y,z i valori -3 0 0
e ottengo l'equazione del piano passante per P e parallelo a $x-2y+2z-1$
per il 2.2
se il piano parallelo a OX è dato da $by+cz=0$ e $\pi'$ è parallelo al vettore (2,1,1) deduco che devo trasformare l'equazione cartesiana di $\pi'$ in parametrica ottenendo $\{(x=0+2),(y=b+1),(z=c+1):}$ che è l'equazione parametrica del piano!
Per vedere se $\pi,\pi'$ si intersecano vado a sostituire le cordinate x,y,z parametriche del piano $\pi'$ nell' equazione $\pi$ e se si intersecano ottengo una retta retta! (credo definita come retta di giacitura )
facendo tale operazione $2-b-1+c+1-1=0$ da cui $-b+c+1=0$ è l'intersezione!
giusto?
"ansioso":
2. scrivere l'equazione del piano
2.1 $\pi$ per P(-3,0,0) e parallelo al piano:x-2y+2z-1=0
2.2 $\pi'$ per l'asse ox e parallelo al vettore(2,1,1); si chiede se $\pi$,$\pi'$ si intersecano
per 2.1 bisogna determinare prima un piano parallelo a $x-2y+2z-1=0$ e io scelgo $2x-4y+4z-2=0$
poi usando il fascio di piani $\alpha(2x-4y+4z-2)+\beta(x-2y+2z-1)=0$ determino che passi per il punto (-3,0,0) sostituendo alle x,y,z i valori -3 0 0
e ottengo l'equazione del piano passante per P e parallelo a $x-2y+2z-1$
per il 2.2
se il piano parallelo a OX è dato da $by+cz=0$ e $\pi'$ è parallelo al vettore (2,1,1) deduco che devo trasformare l'equazione cartesiana di $\pi'$ in parametrica ottenendo $\{(x=0+2),(y=b+1),(z=c+1):}$ che è l'equazione parametrica del piano!
Per vedere se $\pi,\pi'$ si intersecano vado a sostituire le cordinate x,y,z parametriche del piano $\pi'$ nell' equazione $\pi$ e se si intersecano ottengo una retta retta! (credo definita come retta di giacitura )
facendo tale operazione $2-b-1+c+1-1=0$ da cui $-b+c+1=0$ è l'intersezione!
giusto?
2.1)
Prendo un piano parallelo e hai moltiplicato per 2 l'equazione dell'altro piano. Ma così ottieni lo stesso piano.
Se hai un piano $ax+by+cz+d=0$ un piano parallelo è descritto da $ax+by+cz+d^{\prime}=0$.
Ora una volta che sei arrivato alla tua soluzione prova a verificare se torna. Hai provato a sostituire il punto $(-3,0,0)$ nell'equazione da te trovata?
2.2) Se il piano contiene ox (io ho inteso l'asse x) allora passa per l'origine ed è parallelo al vettore $(1,0,0)$; quindi l'equazione parametrica è:
$((x),(y),(z))=t((1),(0),(0))+mu((2),(1),(1))$
Prendo un piano parallelo e hai moltiplicato per 2 l'equazione dell'altro piano. Ma così ottieni lo stesso piano.
Se hai un piano $ax+by+cz+d=0$ un piano parallelo è descritto da $ax+by+cz+d^{\prime}=0$.
Ora una volta che sei arrivato alla tua soluzione prova a verificare se torna. Hai provato a sostituire il punto $(-3,0,0)$ nell'equazione da te trovata?
2.2) Se il piano contiene ox (io ho inteso l'asse x) allora passa per l'origine ed è parallelo al vettore $(1,0,0)$; quindi l'equazione parametrica è:
$((x),(y),(z))=t((1),(0),(0))+mu((2),(1),(1))$
"ansioso":[/quote]
Provo a fare il due
[quote="ansioso"]
2. scrivere l'equazione del piano
2.1 $\pi$ per P(-3,0,0) e parallelo al piano:x-2y+2z-1=0
2.2 $\pi'$ per l'asse ox e parallelo al vettore(2,1,1); si chiede se $\pi$,$\pi'$ si intersecano
Provo a fare una mia interpretazione, sperando sia esatta.
1) il piano ha questa forma:
$x-2y+2z+k=0$
pasaggio per $P$
$-3+k=0$
$k=3$
il piano sarà: $pi: x-2y+2z+3=0$
2) l'asse $x$ è cosi: $y=0$ e $z=0$ a sistema
e può essere visto come un vettore $(1,0,0)$
in più passa per l'origine $(0,0,0)$
poniamo il determinante uguale a $0$
$((x-0,y-0,z-0),(2,1,1),(1,0,0))$
il piano è $y-z=0$
poi alla domanda 'se si intersecano' io li metterei a sistema
e viene:
$x+2y+2z+3=0$
$y-z=0$
il che diventerebbe:
$x=-3$ e $y=z$
i punti di intersezione sarebbero del tipo $P(-3,y,y)$
Non credo sia giusto, che ne dite voi?
Sul punto 2.1 ti confermo!
Il punto 2.2 non lo svolgo come tu hai fatto ma ti ricordo che piani incidenti in $\mathbb{R}^3$ determinano una retta.
Il punto 2.2 non lo svolgo come tu hai fatto ma ti ricordo che piani incidenti in $\mathbb{R}^3$ determinano una retta.
"j18eos":
Sul punto 2.1 ti confermo!
Il punto 2.2 non lo svolgo come tu hai fatto ma ti ricordo che piani incidenti in $\mathbb{R}^3$ determinano una retta.
dunque sul punto primo ci troviamo.
il secondo.
il ragionamento l'ho sbirciato un pò da messaggi vecchi e su internet.
però riflettendo hai ragione , quel $P(3,y,y)$ è una corbelleria.
alla domanda 'se si intersecano', avevo erroneamente pensato 'si intersecano in un punto.
in effetti $pi$ e $pi'$ si intersecano in una retta che è:
${(x+3=0),(y-z=0) :}$
che ne pensi?
Esatto, nel senso che la retta d'intersezione è quella da te riportata; sul resto non mi esprimo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo