(Topologia) Un piano in R3 è aperto o chiuso?

[Gruppia]

Ciao ragazzi, ho questa domanda da porvi: un piano in R3 è aperto o chiuso?

[Rigel1]

Chiuso.

[orazioster]

Chiuso ... già: perchè il complementare è aperto.

[Gruppia]

Perchè il complementare è aperto?

[dissonance]

Prova a dimostrarlo, è molto facile. Non perdi generalità nel supporre che il piano abbia equazione $z=0$. Se un punto $(x, y, z)$ non appartiene al piano, riesci a trovarne un intorno aperto che non interseca il piano stesso?

[Gruppia]

Sì, lo posso sempre trovare. E' restrittivo pensare ad una "sferetta" in R3 come intorno di (x,y,z)?

[Steven11]

"Gruppia":Sì, lo posso sempre trovare. E' restrittivo pensare ad una "sferetta" in R3 come intorno di (x,y,z)?

Certamente no.
E' un intorno con pari (se non superiore) dignità di altri.

Un insieme è aperto se e solo se è intorno lui stesso di ogni suo punto.
Un intorno [tex]$U$[/tex] di [tex]$x$[/tex] si dice tale se al suo interno riesco a trovare un aperto [tex]$A$[/tex] che contiene $x$.

Siccome per ogni punto posso trovare una sferetta nello spazio, che è aperta, e lo contiene, lo spazio intero senza il piano è un intorno per ogni punto.

[Gruppia]

Grazie mille!