Topologia: quoziente di un intervallo chiuso
Ciao a tutti, vi volevo chiedere un aiuto con questo esercizio che non riesco a risolvere.
Sull'intervallo chiuso di $bbbR$ dato da $[-2,2]$ consideriamo la seguente relazione di equivalenza
$x sim y Leftrightarrow x=y$ oppure $-1
e poniamo $X=[-2,2]$/$ sim$ (scusate non sapevo come scrivere il quoziente
).
Allora l'esercizio chiede di stabilire se:
- X è di Hausdorff;
- X è connesso;
- X è compatto.
Innanzitutto data la relazione di equivalenza notiamo che $[-2,-1]$ e $[1,2]$ vengono identificati con loro stessi, mentre tutti gli $x in (-1,1)$ vengono mandati tramite la proiezione a quoziente in un unico punto che indicheremo con $p$.
Dunque abbiamo $X=[-2,2]$/$ sim = [-2,-1] cup {p} cup [1,2]$
X è di Hausdorff Presi due punti distinti $x,y in X: x ne y$ si possono verificare sostanzialmente due casi: o entrambi i punti sono diversi da $p$ (e quindi nessun problema poiché o $x$ e $y$ appartengono ad intervalli di $bbbR$, magari pure lo stesso, i quali sono di Hausdorff) oppure uno dei due punti è proprio $p$. In quest'ultimo caso non so come procedere perché non so cos'è un intorno di $p$!!!
Ragionando, per definizione un intorno di un punto $x in X$ è un sottoinsieme $N subset X$ tale che esiste un aperto $A$ in $X$ tale che $x in A subset N$. Dunque per trovare un intorno di $p$ devo cercare un aperto in $X$; dovrebbe essere dunque un aperto della topologia euclidea, ovvero un intervallo aperto $(a,b)$, intersecato con $X$ (definizione di aperto della topologia indotta), quindi risulterebbe l'unione di due intervalli semiaperti tipo $(a,-1] cup [1,b)$ quindi con $a<-1$ e $b>1$. Se il mio ragionamento fosse giusto sarebbe facile dimostrare che $X$ è di Hausdorff.
Per quanto riguarda la connessione e la compattezza proseguo domani, non vorrei chiedervi troppe cose!!!
Sull'intervallo chiuso di $bbbR$ dato da $[-2,2]$ consideriamo la seguente relazione di equivalenza
$x sim y Leftrightarrow x=y$ oppure $-1
e poniamo $X=[-2,2]$/$ sim$ (scusate non sapevo come scrivere il quoziente
).Allora l'esercizio chiede di stabilire se:
- X è di Hausdorff;
- X è connesso;
- X è compatto.
Innanzitutto data la relazione di equivalenza notiamo che $[-2,-1]$ e $[1,2]$ vengono identificati con loro stessi, mentre tutti gli $x in (-1,1)$ vengono mandati tramite la proiezione a quoziente in un unico punto che indicheremo con $p$.
Dunque abbiamo $X=[-2,2]$/$ sim = [-2,-1] cup {p} cup [1,2]$
X è di Hausdorff Presi due punti distinti $x,y in X: x ne y$ si possono verificare sostanzialmente due casi: o entrambi i punti sono diversi da $p$ (e quindi nessun problema poiché o $x$ e $y$ appartengono ad intervalli di $bbbR$, magari pure lo stesso, i quali sono di Hausdorff) oppure uno dei due punti è proprio $p$. In quest'ultimo caso non so come procedere perché non so cos'è un intorno di $p$!!!
Ragionando, per definizione un intorno di un punto $x in X$ è un sottoinsieme $N subset X$ tale che esiste un aperto $A$ in $X$ tale che $x in A subset N$. Dunque per trovare un intorno di $p$ devo cercare un aperto in $X$; dovrebbe essere dunque un aperto della topologia euclidea, ovvero un intervallo aperto $(a,b)$, intersecato con $X$ (definizione di aperto della topologia indotta), quindi risulterebbe l'unione di due intervalli semiaperti tipo $(a,-1] cup [1,b)$ quindi con $a<-1$ e $b>1$. Se il mio ragionamento fosse giusto sarebbe facile dimostrare che $X$ è di Hausdorff.
Per quanto riguarda la connessione e la compattezza proseguo domani, non vorrei chiedervi troppe cose!!!
Risposte
Ciao.
Ho evidenziato in grassetto l'errore della tua affermazione. $X$ è un quoziente e quindi lo dotiamo della topologia quoziente, non quella indotta. Capisci ciò che voglio dire?
Ora chi sono gli aperti della topologia quoziente? Prova un po' a guardare sul tuo libro o sui tuoi appunti
Infine, per quanto riguarda connessione e compattezza del quoziente, la risposta è banale (se conosci due semplici risultati di teoria).
"marco.bre":
Ragionando, per definizione un intorno di un punto $x in X$ è un sottoinsieme $N subset X$ tale che esiste un aperto $A$ in $X$ tale che $x in A subset N$. Dunque per trovare un intorno di $p$ devo cercare un aperto in $X$; dovrebbe essere dunque un aperto della topologia euclidea, ovvero un intervallo aperto $(a,b)$, intersecato con $X$ (definizione di aperto della topologia indotta), quindi risulterebbe l'unione di due intervalli semiaperti tipo $(a,-1] cup [1,b)$ quindi con $a<-1$ e $b>1$. Se il mio ragionamento fosse giusto sarebbe facile dimostrare che $X$ è di Hausdorff.
Ho evidenziato in grassetto l'errore della tua affermazione. $X$ è un quoziente e quindi lo dotiamo della topologia quoziente, non quella indotta. Capisci ciò che voglio dire?
Ora chi sono gli aperti della topologia quoziente? Prova un po' a guardare sul tuo libro o sui tuoi appunti
Infine, per quanto riguarda connessione e compattezza del quoziente, la risposta è banale (se conosci due semplici risultati di teoria).
"Paolo90":
$X$ è un quoziente e quindi lo dotiamo della topologia quoziente, non quella indotta. Capisci ciò che voglio dire?
Mamma che imbarazzo!!!
La tua osservazione rende palese la stupidità del mio errore!!!Allora... dalla teoria ho che se $pi: [-2,2] rightarrow X$ è la proiezione al quoziente, gli aperti della topologia quoziente sono le immagini di aperti della topologia su $[-2,2]$, ovvero in simboli
$tau_X={U subset X: pi^-1(U)$ è aperto in $[-2,2]}$;
quindi un aperto di ${p}$ è dato da ${p}$ stesso in quanto la sua controimmagine mediante $pi$ è $(-1,1)$ che è un aperto in $[-2,2]$!!! Se ho ragionato correttamente risulta dunque facile provare che $X$ è di Hausdorff.
Beh, per quanto riguarda connessione e compattezza so che il quoziente di uno spazio compatto è compatto e il quoziente di uno spazio connesso è connesso; dunque essendo $[-2,2]$ compatto (è un intervallo chiuso e limitato in $bbbR$) e connesso (è sottospazio di un connesso) segue che $X$ è sia connesso che compatto!
Poi c'è ancora una domanda che dice: è vero che per ogni $x,y in X$ esiste un intorno di uno dei due punti che non contiene l'altro? La risposta sembrerebbe semplice in quanto il fatto che $X$ è di Hausdorff implica che $X$ è $T_1$ cioè
$forall x,y in X: x ne y exists U,V in tau_X: x in U, y in V, x notin V, y notin U$
Ah, dimenticavo... grazie dell'aiuto!
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