Topologia prodotto: passaggio oscuro sul Sernesi
Leggo da Sernesi, Geometria 2, cap. 2 paragrafo 6 ("Prodotti").
Proposizione 6.4. Siano $X$ e $Y$ sono spazi topologici. La topologia prodotto $X times Y $ è la topologia meno fine per cui le proiezioni (sui fattori) sono continue.
Dimostrazione. Siano $T_1$ e $T_2$ le topologie su $X$ e su $Y$. Siano $p_1^-1(T_1)={p_1^-1(A)=A times Y, " " A in T_1}$ e $p_2^-1(T_2)={p_2^-1(A)=X times A, " " A in T_2}$.
Evidentemente la topologia meno fine che rende le $p$ continue è generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ed ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$. Visto che $p^-1(T_1)$ e $p^-1(T_2)$ sono topologie, un'intersezione finita del tipo suddetto si riconduce all'intersezione di un elemento di $p^-1(T_1)$ con uno di $p^-1(T_2)$; quindi la topolgia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base
${(A_1 times X)nn(A_2 times Y)=A_1 times A_2}$ con $A_1 in T_1$ e $A_2 in T_2$
che coincide con la base della topologia prodotto.
Mi sono parecchio oscuri i passi che ho sottolineato. Anzitutto, credo di non aver capito che cosa si intende per topologia generata da una famiglia: io intendevo topologia che ha per base quella famiglia, ma evidentemente non è così. E perchè la topologia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$?
Grazie in anticipo.
Proposizione 6.4. Siano $X$ e $Y$ sono spazi topologici. La topologia prodotto $X times Y $ è la topologia meno fine per cui le proiezioni (sui fattori) sono continue.
Dimostrazione. Siano $T_1$ e $T_2$ le topologie su $X$ e su $Y$. Siano $p_1^-1(T_1)={p_1^-1(A)=A times Y, " " A in T_1}$ e $p_2^-1(T_2)={p_2^-1(A)=X times A, " " A in T_2}$.
Evidentemente la topologia meno fine che rende le $p$ continue è generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ed ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$. Visto che $p^-1(T_1)$ e $p^-1(T_2)$ sono topologie, un'intersezione finita del tipo suddetto si riconduce all'intersezione di un elemento di $p^-1(T_1)$ con uno di $p^-1(T_2)$; quindi la topolgia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base
${(A_1 times X)nn(A_2 times Y)=A_1 times A_2}$ con $A_1 in T_1$ e $A_2 in T_2$
che coincide con la base della topologia prodotto.
Mi sono parecchio oscuri i passi che ho sottolineato. Anzitutto, credo di non aver capito che cosa si intende per topologia generata da una famiglia: io intendevo topologia che ha per base quella famiglia, ma evidentemente non è così. E perchè la topologia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$?
Grazie in anticipo.
Risposte
Paolo, ti consiglio vivamente di leggerti il paragrafo The Product Topology dal testo di Munkres (secondo capitolo). Lui introduce il concetto di sottobase, proprio il tassello che ti manca per capire a fondo la questione. Dopodiché il Sernesi sarà chiaro come il giorno.
Comunque, attenzione: se assegni una famiglia $ccB$ di parti di un insieme $X$, ha perfettamente senso parlare di topologia generata da $ccB$ come l'intersezione di tutte le topologie contenenti $ccB$, ma non è detto che $ccB$ ne sia una base e un esempio è emerso proprio ieri in questo topic.
Tuttavia, se $ccB$ è un ricoprimento di $X$, allora $ccB$ è una sottobase della topologia da essa generata. Per arrivare ad una base manca ancora qualche proprietà: devi aggiungere a $ccB$ tutte le intersezioni finite.
Comunque, attenzione: se assegni una famiglia $ccB$ di parti di un insieme $X$, ha perfettamente senso parlare di topologia generata da $ccB$ come l'intersezione di tutte le topologie contenenti $ccB$, ma non è detto che $ccB$ ne sia una base e un esempio è emerso proprio ieri in questo topic.
Tuttavia, se $ccB$ è un ricoprimento di $X$, allora $ccB$ è una sottobase della topologia da essa generata. Per arrivare ad una base manca ancora qualche proprietà: devi aggiungere a $ccB$ tutte le intersezioni finite.
Guarda avevo visto il paragrafo di cui parli sul Munkres e avevo notato che parla di sottobase, concetto che io non conosco. Ora ho letto sul Sernesi e sul Munkres le righe dedicate alle sottobasi, ma non credo di aver capito bene.
Andiamo con ordine.
Sì, capisco, anche se non avevo mai sentito parlare di questa cosa. In sostanza, se io do una famiglia di insiemi, la topologia generata da detta famiglia è l'intersezione di tutte le topologie che la contengono: sì, ora ho capito.
Adesso, le sottobasi. Leggo che una sottobase $ccS$ è una famiglia di parti di $X$ che ricopre $X$. Ok fin qui?
La topologia generata da una sottobase è la famiglia costituita dalle unioni delle intersezioni finite di $ccS$.
Continuo a non capire: che cosa serve tutto sto giro? Perchè le sottobasi?
Grazie
Andiamo con ordine.
"dissonance":
Comunque, attenzione: se assegni una famiglia $ccB$ di parti di un insieme $X$, ha perfettamente senso parlare di topologia generata da $ccB$ come l'intersezione di tutte le topologie contenenti $ccB$, ma non è detto che $ccB$ ne sia una base e un esempio è emerso proprio ieri in questo topic.
Sì, capisco, anche se non avevo mai sentito parlare di questa cosa. In sostanza, se io do una famiglia di insiemi, la topologia generata da detta famiglia è l'intersezione di tutte le topologie che la contengono: sì, ora ho capito.
Adesso, le sottobasi. Leggo che una sottobase $ccS$ è una famiglia di parti di $X$ che ricopre $X$. Ok fin qui?
La topologia generata da una sottobase è la famiglia costituita dalle unioni delle intersezioni finite di $ccS$.
Continuo a non capire: che cosa serve tutto sto giro? Perchè le sottobasi?
Grazie
Ciao, scusate l'intrusione, e non so se quello che scrivero' sara' del tutto pertinente 
"Paolo90":Per economia di pensiero. Per esempio una sottobase che genera la topologia usuale di [tex]\mathbb{R}[/tex] e' quella che consiste degli intervalli aperti del tipo [tex]]a,b[[/tex]. Un risultato che fa apprezzare il concetto di sottobase e' il seguente. Prendiamo X spazio topologico e S una sua sottobase. Allora X e' compatto se e solo se ogni ricoprimento aperto che consiste di elementi di S ammette un sottoricoprimento finito. In pratica il concetto di compattezza si puo' verificare usando ricoprimenti formati da aperti di una fissata sottobase. Attenzione: la dimostrazione di questo fatto non e' evidente (almeno, credo). Una volta un mio amico me ne aveva mostrata una bellissima usando un linguaggio solo algebrico, ma l'ho dimenticata. Ci penso.
Continuo a non capire: che cosa serve tutto sto giro? Perchè le sottobasi?
Martino, sai che le tue "intrusioni" sono sempre benvenute!
Capisco ciò che dici e sono consapevole del fatto che di molte cose non posso comprendere fino in fondo l'essenza, visto che sono ancora all'inizio. Effettivamente, questo legame con la compatezza è interessante.
Però il tuo intervento mi solleva un nuovo quesito: tu dici che una sottobase della topologia standard di $RR$ è quella formata dagli intervalli $(a,b)$. Eh, ma questa è anche un base! Devo dedurre forse che ogni base è anche una sottobase?
Ci devo pensare, non riesco proprio a capire.
Capisco ciò che dici e sono consapevole del fatto che di molte cose non posso comprendere fino in fondo l'essenza, visto che sono ancora all'inizio. Effettivamente, questo legame con la compatezza è interessante.
Però il tuo intervento mi solleva un nuovo quesito: tu dici che una sottobase della topologia standard di $RR$ è quella formata dagli intervalli $(a,b)$. Eh, ma questa è anche un base! Devo dedurre forse che ogni base è anche una sottobase?
Ci devo pensare, non riesco proprio a capire.
No, infatti mi sono appena accorto che quella li' e' anche una base, potrei dirti che l'insieme degli aperti del tipo [tex]]a,+\infty[[/tex] oppure [tex]]-\infty,b[[/tex] formano una sottobase (e non una base), e questo e' vero, ma a questo punto la cosa ti puo' sembrare artificiale.
In realta' il primo esempio chiaro in cui ti accorgi della grande utilita' delle sottobasi e' proprio la topologia prodotto. Prendi [tex]X_1 \times X_2[/tex] prodotto di spazi topologici, e chiama [tex]\pi_1,\pi_2[/tex] le due proiezioni. Per definizione la topologia prodotto ammette come sottobase la famiglia di aperti del tipo [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] con [tex]i=1,2[/tex] e [tex]U_i[/tex] aperto di [tex]X_i[/tex]. Questa in generale non e' una base perche' [tex]\pi_1^{-1}(U_1) \cap \pi_2^{-1}(U_2)[/tex] in generale non si puo' esprimere come [tex]\pi_1^{-1}(U)[/tex] oppure [tex]\pi_2^{-1}(V)[/tex] (non c'e' nessuna ragione per cui questo dovrebbe succedere). Ora per arrivare al tuo esempio, e' chiaro che la topologia prodotto rende le proiezioni continue (per definizione, no?). Mostriamo che la topologia prodotto e' contenuta in tutte le topologie che rendono continue le proiezioni (questo e' quello che dobbiamo mostrare). Prendiamo una topologia [tex]T[/tex] su [tex]X_1 \times X_2[/tex] che renda le proiezioni continue. Allora tutte le cose della forma [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] (con [tex]U_i[/tex] aperto di [tex]X_i[/tex]) devono appartenere a [tex]T[/tex], e quindi tutta la topologia da essi generata (cioe' l'intersezione delle topologie che li contengono, cioe' la topologia prodotto!) deve essere contenuta in [tex]T[/tex].
Forse e' piu' utile (limitatamente a questo contesto) che non pensi in termini di sottobasi ma di insiemi di sottoinsiemi che generano una topologia.
PS. Mi scuso per eventuali imprecisioni, spero che si sia capito quello che voglio dire
In realta' il primo esempio chiaro in cui ti accorgi della grande utilita' delle sottobasi e' proprio la topologia prodotto. Prendi [tex]X_1 \times X_2[/tex] prodotto di spazi topologici, e chiama [tex]\pi_1,\pi_2[/tex] le due proiezioni. Per definizione la topologia prodotto ammette come sottobase la famiglia di aperti del tipo [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] con [tex]i=1,2[/tex] e [tex]U_i[/tex] aperto di [tex]X_i[/tex]. Questa in generale non e' una base perche' [tex]\pi_1^{-1}(U_1) \cap \pi_2^{-1}(U_2)[/tex] in generale non si puo' esprimere come [tex]\pi_1^{-1}(U)[/tex] oppure [tex]\pi_2^{-1}(V)[/tex] (non c'e' nessuna ragione per cui questo dovrebbe succedere). Ora per arrivare al tuo esempio, e' chiaro che la topologia prodotto rende le proiezioni continue (per definizione, no?). Mostriamo che la topologia prodotto e' contenuta in tutte le topologie che rendono continue le proiezioni (questo e' quello che dobbiamo mostrare). Prendiamo una topologia [tex]T[/tex] su [tex]X_1 \times X_2[/tex] che renda le proiezioni continue. Allora tutte le cose della forma [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] (con [tex]U_i[/tex] aperto di [tex]X_i[/tex]) devono appartenere a [tex]T[/tex], e quindi tutta la topologia da essi generata (cioe' l'intersezione delle topologie che li contengono, cioe' la topologia prodotto!) deve essere contenuta in [tex]T[/tex].
Forse e' piu' utile (limitatamente a questo contesto) che non pensi in termini di sottobasi ma di insiemi di sottoinsiemi che generano una topologia.
PS. Mi scuso per eventuali imprecisioni, spero che si sia capito quello che voglio dire
Sei sempre un grande
Grazie, le cose cominciano ad andare a posto.
L'insieme degli aperti del tipo [tex]]a,+\infty[[/tex] costituisce una sottobase di $RR$ (con la topologia standard) perchè essi formano un ricoprimento di $RR$. Forse ci sono.
Io so che una famiglia $ccB$ di sottoinsiemi di $X$ è base di una topologia (unica) se e solo se:
Grazie, le cose cominciano ad andare a posto.
"Martino":
No, infatti mi sono appena accorto che quella li' e' anche una base, potrei dirti che l'insieme degli aperti del tipo [tex]]a,+\infty[[/tex] oppure [tex]]-\infty,b[[/tex] formano una sottobase (e non una base), e questo e' vero, ma a questo punto la cosa ti puo' sembrare artificiale.
L'insieme degli aperti del tipo [tex]]a,+\infty[[/tex] costituisce una sottobase di $RR$ (con la topologia standard) perchè essi formano un ricoprimento di $RR$. Forse ci sono.
Io so che una famiglia $ccB$ di sottoinsiemi di $X$ è base di una topologia (unica) se e solo se:
- 1. $ccB$ è un ricoprimento di $X$;
2. l'intersezione di due elementi di $ccB$ è unione di elementi di $ccB$ [/list:u:3qyiumvd]
Chiamo sottobase una famiglia che verifica la prima di queste due condizioni: giusto? Se verifica anche la seconda allora sono a posto e ho una base, altrimenti no.
Se è così, allora vale ovviamente quanto dicevo prima: una base è anche una sottobase.
"Martino":
In realta' il primo esempio chiaro in cui ti accorgi della grande utilita' delle sottobasi e' proprio la topologia prodotto. Prendi [tex]X_1 \times X_2[/tex] prodotto di spazi topologici, e chiama [tex]\pi_1,\pi_2[/tex] le due proiezioni. Per definizione la topologia prodotto ammette come sottobase la famiglia di aperti del tipo [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] con [tex]i=1,2[/tex] e [tex]U_i[/tex] aperto di [tex]X_i[/tex]. Questa in generale non e' una base perche' [tex]\pi_1^{-1}(U_1) \cap \pi_2^{-1}(U_2)[/tex] in generale non si puo' esprimere come [tex]\pi_1^{-1}(U)[/tex] oppure [tex]\pi_2^{-1}(V)[/tex] (non c'e' nessuna ragione per cui questo dovrebbe succedere).
Sì, ho capito: è come dicevo io sopra, questa famiglia ricopre $X_1 times X_2$ ma non va d'accordo con l'intersezione (con la proprietà 2 di cui sopra).
"Martino":
Ora per arrivare al tuo esempio, e' chiaro che la topologia prodotto rende le proiezioni continue (per definizione, no?).
Sì, certo.
"Martino":
Mostriamo che la topologia prodotto e' contenuta in tutte le topologie che rendono continue le proiezioni (questo e' quello che dobbiamo mostrare). Prendiamo una topologia [tex]T[/tex] su [tex]X_1 \times X_2[/tex] che renda le proiezioni continue. Allora tutte le cose della forma [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] (con [tex]U_i[/tex] aperto di [tex]X_i[/tex]) devono appartenere a [tex]T[/tex], e quindi tutta la topologia da essi generata (cioe' l'intersezione delle topologie che li contengono, cioe' la topologia prodotto!) deve essere contenuta in [tex]T[/tex].
Avevo provato anche io a pensarla così (d'altra parte essere meno fine vuol proprio dire questo!). Ma non riuscivo a concludere. Ora è tutto decisamente più chiaro, ero bloccato proprio all'inizio. Il tuo esempio mi ha salvato
Grazie mille
Detto in altro modo (come fa il Munkres), la famiglia $S=p_1^-1(T_1) uu p_2^-1(T_2)$ è una sottobase di una topologia di $X times Y$ poichè risulta esserne un ricoprimento.
Chiamo $ccT'$ la topologia generata da questo insieme (da questa sottobase); $ccT'$ è quindi data dalle unioni di tutte le intersezioni finite di $S$. Mostriamo che $ccT'=ccT_p$, dove $ccT_p$ è la topologia prodotto.
$ccT' subseteq ccT_p$ perchè ogni elemento di $S$ sta anche in $ccT_p$ e, di conseguenza, anche le unioni di intersezioni finite di elementi di $S$ (cioè elementi di $ccT'$) stanno in $ccT_p$.
Viceversa, preso un aperto qualsiasi della base di $ccT_p$, sia esso $A times B$, risulta $A times B = p_1^-1(A) nn p_2^-1(B)$ (infatti, $(A times Y)nn(X times B) = (A times B) nn (X times Y) = A times B$) e quindi sta anche in $ccT'$; la proprietà è provata su una base quindi vale per tutti gli aperti. Ne segue $ccT_p subseteq ccT'$.
In definitiva, $ccT' = ccT_p$.
Chiamo $ccT'$ la topologia generata da questo insieme (da questa sottobase); $ccT'$ è quindi data dalle unioni di tutte le intersezioni finite di $S$. Mostriamo che $ccT'=ccT_p$, dove $ccT_p$ è la topologia prodotto.
$ccT' subseteq ccT_p$ perchè ogni elemento di $S$ sta anche in $ccT_p$ e, di conseguenza, anche le unioni di intersezioni finite di elementi di $S$ (cioè elementi di $ccT'$) stanno in $ccT_p$.
Viceversa, preso un aperto qualsiasi della base di $ccT_p$, sia esso $A times B$, risulta $A times B = p_1^-1(A) nn p_2^-1(B)$ (infatti, $(A times Y)nn(X times B) = (A times B) nn (X times Y) = A times B$) e quindi sta anche in $ccT'$; la proprietà è provata su una base quindi vale per tutti gli aperti. Ne segue $ccT_p subseteq ccT'$.
In definitiva, $ccT' = ccT_p$.
Sono contento che anche Martino abbia voluto portare l'attenzione sul concetto di sottobase. Io sono d'accordo con lui sul fatto che la topologia prodotto sia il primo esempio di applicazione delle sottobasi, e aggiungo che questo si apprezza ancor di più quando si passa a considerare prodotti infiniti, come è spiegato davvero molto bene sul libro di Munkres (ah a proposito: dimenticavo di dire che i paragrafi dedicati alla topologia prodotto in realtà sono due, uno parla di prodotti finiti, l'altro di prodotti in generale).
Comunque vorrei dire la mia su questo:
Certo. Ma è meglio dire che "una sottobase $S$ della topologia $\tau$ sullo spazio $X$ è una famiglia di aperti tale che ogni aperto $U$ di $X$ si può realizzare prendendo intersezioni finite e unioni di aperti di $S$". E questo concetto apparentemente strano è in realtà il più naturale possibile: una topologia è una famiglia di parti chiusa proprio rispetto alle intersezioni finite e alle unioni, quindi quello che richiedi è che $S$ sia sufficientemente ricco da generare $tau$ per mezzo di queste operazioni.
Esattamente come, quando si ha uno spazio vettoriale (i.e. una struttura algebrica chiusa rispetto alle combinazioni lineari) richiedere che un sottoinsieme sia un sistema di generatori significa richiedere che esso sia sufficientemente ricco da generare lo spazio totale per mezzo di combinazioni lineari.
In questo senso assegnare una topologia partendo da una sottobase è come assegnare uno spazio vettoriale partendo da un sistema di generatori. Risulta poi che, affinché si possa fare questa costruzione, è necessario e sufficiente che la famiglia assegnata sia un ricoprimento di $X$: ok, ma non pensiamo al termine "sottobase" come ad un sinonimo di "ricoprimento", perché in realtà è molto di più.
Comunque vorrei dire la mia su questo:
Leggo che una sottobase S è una famiglia di parti di X che ricopre X.
Certo. Ma è meglio dire che "una sottobase $S$ della topologia $\tau$ sullo spazio $X$ è una famiglia di aperti tale che ogni aperto $U$ di $X$ si può realizzare prendendo intersezioni finite e unioni di aperti di $S$". E questo concetto apparentemente strano è in realtà il più naturale possibile: una topologia è una famiglia di parti chiusa proprio rispetto alle intersezioni finite e alle unioni, quindi quello che richiedi è che $S$ sia sufficientemente ricco da generare $tau$ per mezzo di queste operazioni.
Esattamente come, quando si ha uno spazio vettoriale (i.e. una struttura algebrica chiusa rispetto alle combinazioni lineari) richiedere che un sottoinsieme sia un sistema di generatori significa richiedere che esso sia sufficientemente ricco da generare lo spazio totale per mezzo di combinazioni lineari.
In questo senso assegnare una topologia partendo da una sottobase è come assegnare uno spazio vettoriale partendo da un sistema di generatori. Risulta poi che, affinché si possa fare questa costruzione, è necessario e sufficiente che la famiglia assegnata sia un ricoprimento di $X$: ok, ma non pensiamo al termine "sottobase" come ad un sinonimo di "ricoprimento", perché in realtà è molto di più.
Bella spiegazione, dissonance.
Il parallelo con gli spazi vettoriali mi ha aiutato non poco. Ora credo di aver capito, la questione mi pare decisamente più limpida.
Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.
Vi ringrazio molto
Il parallelo con gli spazi vettoriali mi ha aiutato non poco. Ora credo di aver capito, la questione mi pare decisamente più limpida.
Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.
Vi ringrazio molto
Ancora una cosa sulla topologia prodotto, che mi è venuta in mente ma a cui non so rispondere da solo.
Una base della topologia prodotto $X_1 times X_2$ è data dal prodotto di tutti gli aperti di $X_1$ per tutti gli aperti di $X_2$. Poi c'è un bel teorema che dice che una base della topologia prodotto è data dal prodotto di due basi di $X_1$ e di $X_2$. In definitiva, se $A subset X_1$ e $B subset X_2$, allora $A times B$ è aperto se e solo se $A$ e $B$ sono entrambi aperti.
Una direzione è banale, per l'altra basta osservare che se $A times B$ è aperto allora è unione di prodotti di aperti: $A times B = uuu (A_i times B_i) = (uuu A_i) times (uuu B_i)$, da cui trovo che $A$ è unione di aperti di $X$ e quindi aperto e $B$ è unione di aperti di $X_2$ e quindi aperto.
Ora però mi domando se sia vero che: $\bar (A times B) = barA times barB$.
Mi date un'idea di come provarlo/confutarlo, per piacere? Secondo me è vero, ma è solo un'impressione...
Grazie ancora.
Una base della topologia prodotto $X_1 times X_2$ è data dal prodotto di tutti gli aperti di $X_1$ per tutti gli aperti di $X_2$. Poi c'è un bel teorema che dice che una base della topologia prodotto è data dal prodotto di due basi di $X_1$ e di $X_2$. In definitiva, se $A subset X_1$ e $B subset X_2$, allora $A times B$ è aperto se e solo se $A$ e $B$ sono entrambi aperti.
Una direzione è banale, per l'altra basta osservare che se $A times B$ è aperto allora è unione di prodotti di aperti: $A times B = uuu (A_i times B_i) = (uuu A_i) times (uuu B_i)$, da cui trovo che $A$ è unione di aperti di $X$ e quindi aperto e $B$ è unione di aperti di $X_2$ e quindi aperto.
Ora però mi domando se sia vero che: $\bar (A times B) = barA times barB$.
Mi date un'idea di come provarlo/confutarlo, per piacere? Secondo me è vero, ma è solo un'impressione...
Grazie ancora.
Sì ciò è vero. E vale anche per l'interno!
Faccio quella per la chiusura.
Sia $(x_0,y_0) in \bar( X \times Y)$.
Sia $U_1 in I(x_0), S_2 in I(y_0)$ e quindi segue che $U_1 \times S_2 in I(x_0,y_0)$
$(U_1 \times S_2) nn (X \times Y) ne \emptyset$ perchè $(x_0,y_0)in \bar(X \times Y)$
$(X nn S_1) \times (Y nn S_2) ne \emptyset rArr X nn U_1 ne \emptyset$. Quindi $x_0 in \bar(X)$
Analogamente per $y_0$
D'altra parte sia $(x_0,y_0) in \bar(X) \times \bar(Y)$
Sia $U in I(x_0,y_0) rArr EE U_1 in I(x_0), U_2 in I(y_0) t.c. U_1 \times U_2 sub U$
$U_1 in I(x_0) rArr U_1 nn X ne \emptyset$ perchè $x_0 in \bar (X)$
$U_2 in I(y_0) rArr U_2 nn X ne \emptyset$ perchè $y_0 in \bar(Y)$
Allora $(U_1 nn X) \times (U_2 nn Y) ne \emptyset rArr \emptyset ne (U_1 \times U_2) nn (X \times Y) sub U nn (X\timesY)$ che pertanto è non vuota.
Pertanto $(x_0,y_0) in \bar(X\timesY)$
Faccio quella per la chiusura.
Sia $(x_0,y_0) in \bar( X \times Y)$.
Sia $U_1 in I(x_0), S_2 in I(y_0)$ e quindi segue che $U_1 \times S_2 in I(x_0,y_0)$
$(U_1 \times S_2) nn (X \times Y) ne \emptyset$ perchè $(x_0,y_0)in \bar(X \times Y)$
$(X nn S_1) \times (Y nn S_2) ne \emptyset rArr X nn U_1 ne \emptyset$. Quindi $x_0 in \bar(X)$
Analogamente per $y_0$
D'altra parte sia $(x_0,y_0) in \bar(X) \times \bar(Y)$
Sia $U in I(x_0,y_0) rArr EE U_1 in I(x_0), U_2 in I(y_0) t.c. U_1 \times U_2 sub U$
$U_1 in I(x_0) rArr U_1 nn X ne \emptyset$ perchè $x_0 in \bar (X)$
$U_2 in I(y_0) rArr U_2 nn X ne \emptyset$ perchè $y_0 in \bar(Y)$
Allora $(U_1 nn X) \times (U_2 nn Y) ne \emptyset rArr \emptyset ne (U_1 \times U_2) nn (X \times Y) sub U nn (X\timesY)$ che pertanto è non vuota.
Pertanto $(x_0,y_0) in \bar(X\timesY)$
Grazie per la risposta, mistake. Ora leggo e imparo.
Grazie
Grazie
"Paolo90":Eh no. Quella che dici non e' una sottobase per la topologia usuale (e' una sottobase per un'altra topologia). Scusa forse non sono stato troppo chiaro. Una sottobase per la topologia usuale di [tex]\mathbb{R}[/tex] e' la seguente:
Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.
[tex]\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{R} \}[/tex].
Osserva che anche questa e' una sottobase (ed e' utile osservare che la corrispondente base e' numerabile):
[tex]\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{Q} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{Q} \}[/tex].
Poi volevo dire una cosa su quello che diceva dissonance, cioe' che le sottobasi sono spaventosamente utili quando si trattano i prodotti arbitrari. Come ti ho gia' detto, si dimostra che puoi testare la compattezza su un ricoprimento aperto che consiste di aperti presi in una fissata sottobase (Alexander subbase theorem: vedi qui). Per farti un esempio, questo risultato implica immediatamente il teorema di Tychonoff (!!): prendi un prodotto [tex]X = \prod_{i \in I} X_i[/tex] in cui ogni [tex]X_i[/tex] e' compatto. Dobbiamo mostrare che [tex]X[/tex] e' compatto. Supponiamo per assurdo che non lo sia. Prendiamo un ricoprimento aperto [tex]\mathcal{U}[/tex] che consiste di aperti del tipo [tex]\pi_i^{-1}(U_i)[/tex] con [tex]i \in I[/tex] e [tex]U_i[/tex] aperto in [tex]X_i[/tex], e ammettiamo che [tex]\mathcal{U}[/tex] non ammetta sottoricoprimenti finiti. Per ogni [tex]i \in I[/tex] definiamo [tex]\mathcal{U}_i := \{U_i\ |\ \pi_i^{-1}(U_i) \in \mathcal{U} \}[/tex]. Prendiamo ora [tex]x_i \in X_i[/tex] che non appartiene a nessun [tex]U_i \in \mathcal{U}_i[/tex] (tale [tex]x_i[/tex] esiste perche' se [tex]\mathcal{U}_i[/tex] ricoprisse [tex]X_i[/tex] allora potremmo estrarne un sottoricoprimento finito ed esso corrisponderebbe - prendendo le controimmagini tramite [tex]\pi_i[/tex] - ad un sottoricoprimento finito di [tex]X[/tex]). Allora [tex]x := (x_i)_{i \in I}[/tex] non e' coperto da [tex]\mathcal{U}[/tex], assurdo.
PS. dissonance, eccellente il parallelismo con gli spazi vettoriali!
NB: attenzione, ho editato.
Solo per dire che ho modificato l'intervento precedente.
@Martino: Cavolo! 
Il teorema di Tychonoff in due righe. Non lo conoscevo proprio questo teorema della sottobase di Alexander, né, a leggerne distrattamente l'enunciato, avevo sospettato che fosse così profondo.
Un'altra applicazione citata su Wikipedia è una dimostrazione semplicissima del fatto che ogni intervallo $[a, b]$ è compatto (teorema di Bolzano-Weierstrass). Ed è effettivamente un giochino: abbiamo visto che una sottobase di $RR$ è la famiglia $S$ delle semirette aperte, quindi prendiamo un ricoprimento di $[a, b]$ costituito da elementi di $S$, diciamo $ccU={(-infty, \alpha_j), (beta_k, infty)\ :\ j \in J, k \in K\}$. Per costruzione $abeta_{k_0}$: in caso contrario le classi ${alpha_j}_j, {beta_k}_k$ sarebbero separate, contraddicendo l'essere $ccU$ un ricoprimento. La famiglia ${(-infty, alpha_{j_0}), (beta_{k_0}, infty)}$ è un sottoricoprimento finito di $[a, b]$ estratto da $ccU$.
Bello!
P.S.: Sono molto contento che vi sia piaciuto il post precedente! Il fatto è che a suo tempo mi sono chiesto a lungo: "ma perché si dice base di una topologia? c'entrerà qualcosa con le basi degli spazi vettoriali?" e, pensa che ti ripensa, me ne sono uscito con questa trovata.
Il teorema di Tychonoff in due righe. Non lo conoscevo proprio questo teorema della sottobase di Alexander, né, a leggerne distrattamente l'enunciato, avevo sospettato che fosse così profondo. Un'altra applicazione citata su Wikipedia è una dimostrazione semplicissima del fatto che ogni intervallo $[a, b]$ è compatto (teorema di Bolzano-Weierstrass). Ed è effettivamente un giochino: abbiamo visto che una sottobase di $RR$ è la famiglia $S$ delle semirette aperte, quindi prendiamo un ricoprimento di $[a, b]$ costituito da elementi di $S$, diciamo $ccU={(-infty, \alpha_j), (beta_k, infty)\ :\ j \in J, k \in K\}$. Per costruzione $a
Bello!
P.S.: Sono molto contento che vi sia piaciuto il post precedente! Il fatto è che a suo tempo mi sono chiesto a lungo: "ma perché si dice base di una topologia? c'entrerà qualcosa con le basi degli spazi vettoriali?" e, pensa che ti ripensa, me ne sono uscito con questa trovata.
"Martino":Eh no. Quella che dici non e' una sottobase per la topologia usuale (e' una sottobase per un'altra topologia). Scusa forse non sono stato troppo chiaro. Una sottobase per la topologia usuale di [tex]\mathbb{R}[/tex] e' la seguente:
[quote="Paolo90"]Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.
[tex]\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{R} \}[/tex].
[/quote]
Uffa, uffa, uffa e ancora uffa. Dicono che la notte porti consiglio, ma mi sa che la notte ha portato casino nella mia testa
Ricomincio ancora una volta da capo, perchè ho di nuovo le idee confuse.
Allora, diciamo che $ccS$ è una sottobase per una topologia $ccT$ su $X$ se la famiglia data delle intersezioni finite di elementi di $ccS$ è una base di $ccT$.
In altro modo, diciamo che $ccS$ è una sottobase per una topologia $ccT$ su $X$ se la famiglia data dalle unioni delle intersezioni finite di elementi di $ccS$ coincide con $ccT$.
Ok fino a qui?
Ora prendiamo la famiglia $ccS={(a,+oo), a in RR}$ e cerchiamo di determinare la (unica) topologia $ccT$ che ammette $ccS$ come sottobase. Se quanto ho affermato sopra è corretto, allora una base di $ccT$ è data dalle intersezioni finite, cioè da elementi del tipo $(a_1,+oo) nn (a_2,+oo) nn ... nn (a_n,+oo) = (M,+oo)$ dove $M=max_{1<=i<=n} (a_i)$. Quindi una base di $ccT$ è la famiglia $ccB = {(a,+oo), a in RR}$. Ora osservo che in questo caso $ccS=ccB$, cioè la nostra sottobase è anche una base. $ccB$ è sicuramente una base perchè ricopre $RR$ e perchè l'intersezione di due suoi elementi è ancora un suo elemento (diciamo che è una base con una condizione ancora più forte: l'intersezione di due aperti di base non è solo unione di aperti di base, ma è ancora aperto di base).
Quindi, la nostra $ccT$ ammette come base $ccB = {(a,+oo), a in RR}$. Vediamo di dire qualche cosa su questa $ccT$. Anzitutto è una topologia (strettamente) meno fine della standard, $ccT subset T_"standard"$, dal momento che ogni aperto di $ccT$ è anche aperto per la topologia euclidea, ma non viceversa. Per il resto, non mi sembra una topologia molto interessante: è Hausdorff? No, perchè ad esempio $2 != 5$ ma non ci sono aperti disgiunti che mi permettono di separarli.
Ora, prendiamo come sottobase la famiglia [tex]\mathcal{S} =\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{Q} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{Q} \}[/tex]. Voglio la base, ci aggiungo tutte le intersezioni finite: se interseco un numero finito di elementi di $\mathcal{S}$ trovo o il vuoto, o tutto $RR$ o intervalli del tipo $(a,b)$. La base della topologia è perciò data da ${(a,b), " " a,b, in RR}$ che è la base della topologia euclidea.
Uh, scusate la tiritera ma sento le idee come tanti post-it gialli nella mia mente che svolazzano qui e là
e vorrei mettere ordine una volta per tutte. Se è giusto fin qui, mi leggo con calma la parte su Alexander/compattezza/Tychonoff di cui parlavate.
P.S: Grazie mille, ad entrambi.
OK Paolo, è corretto. Per il momento lascia perdere la parte Alexander/compattezza/Tychonoff, prima prendi confidenza con la topologia prodotto perché è una costruzione che ti ritroverai davanti per il resto dei tuoi giorni (suona un po' lugubre, ma è efficace ).
Prendi due spazi topologici $X, Y$. La prima cosa che viene in mente per definire una topologia sul prodotto cartesiano $X \times Y$ è richiedere che siano aperti i rettangoli aperti, gli insiemi $U times V$ dove $U, V$ sono aperti in $X$ e $Y$ rispettivamente. Risulta che questa famiglia ha le carte in regola per essere base di una topologia, perché l'intersezione di due rettangoli aperti è ancora un rettangolo aperto: chiameremo questa topologia topologia dei rettangoli aperti (box topology).
In realtà procedere così non è la maniera più razionale. Quello che vogliamo davvero non è tanto che i rettangoli aperti siano aperti, quanto che le applicazioni naturali che vengono a crearsi quando si costruisce il prodotto siano applicazioni continue. Queste applicazioni sono le proiezioni di $X \times Y$ su $X$ e su $Y$ rispettivamente, e affinché siano continue occorre e basta che gli insiemi $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ siano aperti in $X\times Y$ per ogni $U, V$ aperti in $X, Y$ rispettivamente. Chiamiamo $S$ la famiglia di questi insiemi ($S$ come "striscia", fatti un disegnino nel caso $X=Y=RR, U=(a, b), V=(c, d)$). Osserviamo che $S$ non ha le carte in regola per essere base, ma può essere sottobase di un'unica topologia che chiameremo topologia prodotto.
Risulta che le due topologie così costruite coincidono, ma la costruzione che c'è dietro è profondamente diversa e - se nel programma del tuo corso ci sono i prodotti infiniti - queste differenze emergeranno in futuro.
Una cosa importante che vorrei sottolineare è che la topologia prodotto così costruita è fatta in modo tale da essere la meno fine tra tutte le topologie che rendono continue le proiezioni $P_X, P_Y$. Questo è evidente dalla costruzione: abbiamo richiesto che siano aperte le controimmagini $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ e neanche un insieme in più. Qui c'è la radice di una delle proprietà più importanti della topologia prodotto: la proprietà universale.
). Prendi due spazi topologici $X, Y$. La prima cosa che viene in mente per definire una topologia sul prodotto cartesiano $X \times Y$ è richiedere che siano aperti i rettangoli aperti, gli insiemi $U times V$ dove $U, V$ sono aperti in $X$ e $Y$ rispettivamente. Risulta che questa famiglia ha le carte in regola per essere base di una topologia, perché l'intersezione di due rettangoli aperti è ancora un rettangolo aperto: chiameremo questa topologia topologia dei rettangoli aperti (box topology).
In realtà procedere così non è la maniera più razionale. Quello che vogliamo davvero non è tanto che i rettangoli aperti siano aperti, quanto che le applicazioni naturali che vengono a crearsi quando si costruisce il prodotto siano applicazioni continue. Queste applicazioni sono le proiezioni di $X \times Y$ su $X$ e su $Y$ rispettivamente, e affinché siano continue occorre e basta che gli insiemi $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ siano aperti in $X\times Y$ per ogni $U, V$ aperti in $X, Y$ rispettivamente. Chiamiamo $S$ la famiglia di questi insiemi ($S$ come "striscia", fatti un disegnino nel caso $X=Y=RR, U=(a, b), V=(c, d)$). Osserviamo che $S$ non ha le carte in regola per essere base, ma può essere sottobase di un'unica topologia che chiameremo topologia prodotto.
Risulta che le due topologie così costruite coincidono, ma la costruzione che c'è dietro è profondamente diversa e - se nel programma del tuo corso ci sono i prodotti infiniti - queste differenze emergeranno in futuro.
Una cosa importante che vorrei sottolineare è che la topologia prodotto così costruita è fatta in modo tale da essere la meno fine tra tutte le topologie che rendono continue le proiezioni $P_X, P_Y$. Questo è evidente dalla costruzione: abbiamo richiesto che siano aperte le controimmagini $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ e neanche un insieme in più. Qui c'è la radice di una delle proprietà più importanti della topologia prodotto: la proprietà universale.
"dissonance":
OK Paolo, è corretto.
Oh, fantastico, GRAZIE.
"dissonance":
Per il momento lascia perdere la parte Alexander/compattezza/Tychonoff, prima prendi confidenza con la topologia prodotto perché è una costruzione che ti ritroverai davanti per il resto dei tuoi giorni (suona un po' lugubre, ma è efficace
Sai, dissonance, ti devo confessare che questa topologia prodotto mi stava proprio un po' antipatica
. Le altre due che abbiamo studiate (topologia indotta e ovviamente topologia quoziente) le ho capite e mi piacciono anche parecchio, non so perchè quella prodotto non me gusta più di tanto."dissonance":
Prendi due spazi topologici $X, Y$. La prima cosa che viene in mente per definire una topologia sul prodotto cartesiano $X \times Y$ è richiedere che siano aperti i rettangoli aperti, gli insiemi $U times V$ dove $U, V$ sono aperti in $X$ e $Y$ rispettivamente. Risulta che questa famiglia ha le carte in regola per essere base di una topologia, perché l'intersezione di due rettangoli aperti è ancora un rettangolo aperto: chiameremo questa topologia topologia dei rettangoli aperti (box topology).
In realtà procedere così non è la maniera più razionale. Quello che vogliamo davvero non è tanto che i rettangoli aperti siano aperti, quanto che le applicazioni naturali che vengono a crearsi quando si costruisce il prodotto siano applicazioni continue. Queste applicazioni sono le proiezioni di $X \times Y$ su $X$ e su $Y$ rispettivamente, e affinché siano continue occorre e basta che gli insiemi $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ siano aperti in $X\times Y$ per ogni $U, V$ aperti in $X, Y$ rispettivamente. Chiamiamo $S$ la famiglia di questi insiemi ($S$ come "striscia", fatti un disegnino nel caso $X=Y=RR, U=(a, b), V=(c, d)$). Osserviamo che $S$ non ha le carte in regola per essere base, ma può essere sottobase di un'unica topologia che chiameremo topologia prodotto.
Ahah, sì. E questo è esattamente quello che fa il Munkres. Questa $S$ non è una base perchè (come diceva già Martino un po' di post fa) non posso scrivere l'intersezione di due suoi elementi $P_X^{-1}(U) nn P_Y^{-1}(V)$ come unione di altri elementi.
Tuttavia, $S$ è una sottobase, perchè se ci aggiungo le intersezioni finite ottengo proprio i rettangoli aperti che sono una base della topologia prodotto.
"dissonance":
Una cosa importante che vorrei sottolineare è che la topologia prodotto così costruita è fatta in modo tale da essere la meno fine tra tutte le topologie che rendono continue le proiezioni $P_X, P_Y$. Questo è evidente dalla costruzione: abbiamo richiesto che siano aperte le controimmagini $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ e neanche un insieme in più.
Sì, certo, ora il teorema iniziale è un giochetto: ovviamente la topologia prodotto è la meno fine per cui le proiezioni sono continue proprio per costruzione.
"dissonance":
Qui c'è la radice di una delle proprietà più importanti della topologia prodotto: la proprietà universale.
Sì, la conosco (e, aggiungo, mi piacerebbe capire perchè si chiama universale). L'ho solo sentita enunciare, ma mai dimostrata.
Proprietà universale del prodotto. Siano $X,Y,Z$ spazi topologici e supponiamo che su $X times Y$ ci sia la topologia prodotto. Allora una funzione $f: Z to X times Y$ è continua se e soltanto se, indicate con $p_i$ le proiezioni, le due funzioni $f_x: Z to X$ ($f_x=p_x circ f$) e $f_y: Z to Y$ ($f_y = p_y circ f$) sono continue.
GRAZIE
Paolo, la famiglia di cui parli,
[tex]\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \}[/tex],
non solo e' sottobase di una topologia, non solo ne e' base, ma se aggiungi [tex]\emptyset[/tex] e [tex]\mathbb{R}[/tex] coincide con la topologia che genera. Osserva che l'ordine di inclusione in essa e' totale! E ovviamente se l'ordine di inclusione rende una topologia un insieme totalmente ordinato allora tale topologia non puo' essere di Hausdorff (e in realta' ha altre proprieta' "patologiche", per esempio e' irriducibile - cioe' ogni aperto non vuoto e' denso - e potresti domandarti quali altre conseguenze ottieni).
Sul fatto di prendere confidenza con i prodotti, la mia posizione e' diversa da quella di dissonance. Io ti consiglio di affrontare una "terapia d'urto", cercare di capire cose ben piu' difficili di quelle di cui hai bisogno. Insomma, alle cose che vuoi capire secondo me ci devi arrivare da sopra (dopo aver tentato di capire cose piu' difficili) e non da sotto (non credo che uno scopo si possa raggiungere, tutt'al piu' lo si puo' distanziare arbitrariamente poco). Quindi ti consiglio di guardarti Alexander/Tychonoff
[tex]\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \}[/tex],
non solo e' sottobase di una topologia, non solo ne e' base, ma se aggiungi [tex]\emptyset[/tex] e [tex]\mathbb{R}[/tex] coincide con la topologia che genera. Osserva che l'ordine di inclusione in essa e' totale! E ovviamente se l'ordine di inclusione rende una topologia un insieme totalmente ordinato allora tale topologia non puo' essere di Hausdorff (e in realta' ha altre proprieta' "patologiche", per esempio e' irriducibile - cioe' ogni aperto non vuoto e' denso - e potresti domandarti quali altre conseguenze ottieni).
Sul fatto di prendere confidenza con i prodotti, la mia posizione e' diversa da quella di dissonance. Io ti consiglio di affrontare una "terapia d'urto", cercare di capire cose ben piu' difficili di quelle di cui hai bisogno. Insomma, alle cose che vuoi capire secondo me ci devi arrivare da sopra (dopo aver tentato di capire cose piu' difficili) e non da sotto (non credo che uno scopo si possa raggiungere, tutt'al piu' lo si puo' distanziare arbitrariamente poco). Quindi ti consiglio di guardarti Alexander/Tychonoff
"Martino":Questa frase, di sapore topologico, è proprio appropriata in questo topic!
(non credo che uno scopo si possa raggiungere, tutt'al piu' lo si puo' distanziare arbitrariamente poco)
In ogni caso io vorrei riprendere il discorso dalla proprietà universale del prodotto. Sono sicuro che il thread non si ingarbuglierà. Un risultato utilissimo sulle sottobasi è questo lemma:
Lemma Siano [tex]X, Y[/tex] spazi topologici, [tex]f \colon X \to Y[/tex], [tex]\mathfrak{S}[/tex] una sottobase di [tex]Y[/tex]. Se [tex]f^{-1}(V)[/tex] è aperto in [tex]X[/tex] per ogni [tex]V \in \mathfrak{S}[/tex] allora [tex]f[/tex] è continua.
La dimostrazione è immediata, ma comunque la puoi trovare sul Munkres, §18. Adesso non è difficile dimostrare la proprietà universale [size=75](*)[/size] della topologia prodotto: se [tex]f \colon Z \to X \times Y[/tex] è tale che [tex]P_X\circ f, P_Y\circ f[/tex] sono continue, per definizione questo significa proprio che [tex]f^{-1}(U)[/tex] è aperto in [tex]Z[/tex] per ogni [tex]U[/tex] nella sottobase
[tex]$\mathfrak{S}=\{P_X^{-1}(A), P_Y^{-1}(B) \mid A \subset X, B \subset Y,\ \text{aperti} \}.[/tex]
Come vedi è importante che la topologia sia esattamente la meno fine tra le topologie che rendono continue le proiezioni: aggiungi solo un aperto in più e la proprietà universale va a farsi benedire, perché [tex]\mathfrak{S}[/tex] non è più una sottobase.
In realtà questa proprietà vale anche per le topologie di sottospazio e di quoziente, con le dovute modifiche.
- [*:38mzzj9e]Se [tex]S \subset X[/tex] è un sottospazio, una mappa [tex]f \colon Y \to S[/tex] (a valori in [tex]S[/tex]) è continua se e solo se [tex]I_{S, X}\circ f[/tex] è continua ([tex]I_{S, X}[/tex] è l'inclusione di [tex]S[/tex] in [tex]X[/tex]). [/*:m:38mzzj9e][*:38mzzj9e]Se [tex]P \colon X \to S[/tex] è una mappa quoziente, una applicazione [tex]f \colon S \to Y[/tex] (definita in [tex]S[/tex]) è continua se e solo se [tex]f \circ P[/tex] è continua. [/*:m:38mzzj9e][/list:u:38mzzj9e]
Ed il motivo è sempre lo stesso: in tutti i casi stai costruendo una topologia su uno spazio imponendo che essa sia la meno fine (più fine, nel caso del quoziente) che renda continue certe applicazioni (prima [tex]P_X, P_Y[/tex], ora [tex]I_{S, X}, P[/tex] rispettivamente). Come bonus salta fuori una proprietà universale riguardo la continuità.
Questo fatto lo ritrovi spesso: intanto, se decidi di seguire il consiglio di Martino e di approfondire i prodotti infiniti, vedrai che in quell'ambito vale pari pari. L'unica differenza è che ora non ci sono più solo due proiezioni [tex]P_X, P_Y[/tex] ma una infinità - poco male, se conosci il concetto di sottobase. Anche in altri contesti si trova questa idea di "topologia meno fine che renda continue una o più applicazioni": geometria differenziale, analisi... La topologia debole di uno spazio di Banach, per esempio, è basata esattamente su questa idea.
_____________
(*) Il motivo per cui si usa questo linguaggio è da ricercarsi nel contesto della teoria delle categorie (di cui io sono digiuno
).
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