Topologia prodotto: passaggio oscuro sul Sernesi
Leggo da Sernesi, Geometria 2, cap. 2 paragrafo 6 ("Prodotti").
Proposizione 6.4. Siano $X$ e $Y$ sono spazi topologici. La topologia prodotto $X times Y $ è la topologia meno fine per cui le proiezioni (sui fattori) sono continue.
Dimostrazione. Siano $T_1$ e $T_2$ le topologie su $X$ e su $Y$. Siano $p_1^-1(T_1)={p_1^-1(A)=A times Y, " " A in T_1}$ e $p_2^-1(T_2)={p_2^-1(A)=X times A, " " A in T_2}$.
Evidentemente la topologia meno fine che rende le $p$ continue è generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ed ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$. Visto che $p^-1(T_1)$ e $p^-1(T_2)$ sono topologie, un'intersezione finita del tipo suddetto si riconduce all'intersezione di un elemento di $p^-1(T_1)$ con uno di $p^-1(T_2)$; quindi la topolgia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base
${(A_1 times X)nn(A_2 times Y)=A_1 times A_2}$ con $A_1 in T_1$ e $A_2 in T_2$
che coincide con la base della topologia prodotto.
Mi sono parecchio oscuri i passi che ho sottolineato. Anzitutto, credo di non aver capito che cosa si intende per topologia generata da una famiglia: io intendevo topologia che ha per base quella famiglia, ma evidentemente non è così. E perchè la topologia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$?
Grazie in anticipo.
Proposizione 6.4. Siano $X$ e $Y$ sono spazi topologici. La topologia prodotto $X times Y $ è la topologia meno fine per cui le proiezioni (sui fattori) sono continue.
Dimostrazione. Siano $T_1$ e $T_2$ le topologie su $X$ e su $Y$. Siano $p_1^-1(T_1)={p_1^-1(A)=A times Y, " " A in T_1}$ e $p_2^-1(T_2)={p_2^-1(A)=X times A, " " A in T_2}$.
Evidentemente la topologia meno fine che rende le $p$ continue è generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ed ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$. Visto che $p^-1(T_1)$ e $p^-1(T_2)$ sono topologie, un'intersezione finita del tipo suddetto si riconduce all'intersezione di un elemento di $p^-1(T_1)$ con uno di $p^-1(T_2)$; quindi la topolgia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base
${(A_1 times X)nn(A_2 times Y)=A_1 times A_2}$ con $A_1 in T_1$ e $A_2 in T_2$
che coincide con la base della topologia prodotto.
Mi sono parecchio oscuri i passi che ho sottolineato. Anzitutto, credo di non aver capito che cosa si intende per topologia generata da una famiglia: io intendevo topologia che ha per base quella famiglia, ma evidentemente non è così. E perchè la topologia generata da $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$ ha per base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $p^-1(T_1) uu p^-1(T_2)$?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ancora una volta vi ringrazio per il vostro aiuto.
@ Martino: Ti ringrazio per le osservazioni e per i preziosi consigli di studio
@ dissonance:
Ti ringrazio molto, quel lemma è proprio salvifico! Ora sì che apprezzo le sottobasi!
Ho letto la dimostrazione della proprietà universale del prodotto sul Sernesi ma non mi è piaciuta granchè: passando dalle sottobasi invece è una figata
Be', sì, non dovrebbe essere difficile dimostrarlo: basta osservare che gli aperti di base di $Y$ saranno intersezioni finite di elementi della sottobase: ad esempio, $U=V_1 nn V_2 nn ... nn V_n$; ma $f^-1(U)=f^-1(V_1 nn V_2 nn ... nn V_n) = f^-1(V_1) nn ... nn f^-1(V_n)$ che è quindi un aperto di $X$ perchè intersezione finita di aperti di $X$
(ovviamente, uso il fatto che una funzione $f: X to Y$ è continua sse la controimmagine di ogni aperto di base di $Y$ è aperta in $X$)
E' perfettamente chiaro il discorso che fai su prodotti e sottospazi (ora dimostro anche la proprietà per la topologia indotta); però, dissonance, mi sorge un dubbio: siamo sicuri che la topologia quoziente sia la meno fine? A me sembra che sia la topologia più fine che rende la proiezione (sul quoziente) continua. Infatti, a parole, hai un sacco di aperti!
Quello che voglio dire è questo: prendi un'applicazione suriettiva e continua, $p: X to Y$ con $X,Y$ spazi topologici. La topologia quoziente su $Y$ è quella dove $U subseteq Y " aperto in " Y iff p^-1(U) " aperto in " X $.
Ma $Y$ si può vedere in maniera naturale "come" quoziente $X/rho$ (dove $x rho x' iff p(x)=p(x')$ è la classica relazione di equivalenza associata a una mappa).
Se tu prendi una qualsiasi topologia $T'$ che rende continua la $p$ secondo me hai $T' subseteq T_"quoziente"$, cioè la topologia quoziente è la più fine. Infatti, gli aperti di $T'$ sono necessariamente aperti anche nella topologia quoziente, ma non è detto il viceversa. Insomma, nella topologia quoziente hai un'implicazione in più, che nella continuità perdi (questa cosa qui me l'avevi insegnata tu via pm quest'estate, ti ricordi? ).
Capisco; grazie per gli spunti di approfondimento.
Non ti sentire il solo
Grazie per tutto.
@ Martino: Ti ringrazio per le osservazioni e per i preziosi consigli di studio
@ dissonance:
Ti ringrazio molto, quel lemma è proprio salvifico! Ora sì che apprezzo le sottobasi!
Ho letto la dimostrazione della proprietà universale del prodotto sul Sernesi ma non mi è piaciuta granchè: passando dalle sottobasi invece è una figata
"dissonance":
Lemma Siano [tex]X, Y[/tex] spazi topologici, [tex]f \colon X \to Y[/tex], [tex]\mathfrak{S}[/tex] una sottobase di [tex]Y[/tex]. Se [tex]f^{-1}(V)[/tex] è aperto in [tex]X[/tex] per ogni [tex]V \in \mathfrak{S}[/tex] allora [tex]f[/tex] è continua.
Be', sì, non dovrebbe essere difficile dimostrarlo: basta osservare che gli aperti di base di $Y$ saranno intersezioni finite di elementi della sottobase: ad esempio, $U=V_1 nn V_2 nn ... nn V_n$; ma $f^-1(U)=f^-1(V_1 nn V_2 nn ... nn V_n) = f^-1(V_1) nn ... nn f^-1(V_n)$ che è quindi un aperto di $X$ perchè intersezione finita di aperti di $X$
(ovviamente, uso il fatto che una funzione $f: X to Y$ è continua sse la controimmagine di ogni aperto di base di $Y$ è aperta in $X$)
"dissonance":
Adesso non è difficile dimostrare la proprietà universale [size=75](*)[/size] della topologia prodotto: se [tex]f \colon Z \to X \times Y[/tex] è tale che [tex]P_X\circ f, P_Y\circ f[/tex] sono continue, per definizione questo significa proprio che [tex]f^{-1}(U)[/tex] è aperto in [tex]Z[/tex] per ogni [tex]U[/tex] nella sottobase
[tex]$\mathfrak{S}=\{P_X^{-1}(A), P_Y^{-1}(B) \mid A \subset X, B \subset Y,\ \text{aperti} \}.[/tex]
Come vedi è importante che la topologia sia esattamente la meno fine tra le topologie che rendono continue le proiezioni: aggiungi solo un aperto in più e la proprietà universale va a farsi benedire, perché [tex]\mathfrak{S}[/tex] non è più una sottobase.
In realtà questa proprietà vale anche per le topologie di sottospazio e di quoziente, con le dovute modifiche.
[*:3galzdeu]Se [tex]S \subset X[/tex] è un sottospazio, una mappa [tex]f \colon Y \to S[/tex] (a valori in [tex]S[/tex]) è continua se e solo se [tex]I_{S, X}\circ f[/tex] è continua ([tex]I_{S, X}[/tex] è l'inclusione di [tex]S[/tex] in [tex]X[/tex]). [/*:m:3galzdeu][*:3galzdeu]Se [tex]P \colon X \to S[/tex] è una mappa quoziente, una applicazione [tex]f \colon S \to Y[/tex] (definita in [tex]S[/tex]) è continua se e solo se [tex]f \circ P[/tex] è continua. [/*:m:3galzdeu][/list:u:3galzdeu]
Ed il motivo è sempre lo stesso: in tutti i casi stai costruendo una topologia su uno spazio imponendo che essa sia la meno fine che renda continue certe applicazioni (prima [tex]P_X, P_Y[/tex], ora [tex]I_{S, X}, P[/tex] rispettivamente). Come bonus salta fuori una proprietà universale riguardo la continuità.
E' perfettamente chiaro il discorso che fai su prodotti e sottospazi (ora dimostro anche la proprietà per la topologia indotta); però, dissonance, mi sorge un dubbio: siamo sicuri che la topologia quoziente sia la meno fine? A me sembra che sia la topologia più fine che rende la proiezione (sul quoziente) continua. Infatti, a parole, hai un sacco di aperti!
Quello che voglio dire è questo: prendi un'applicazione suriettiva e continua, $p: X to Y$ con $X,Y$ spazi topologici. La topologia quoziente su $Y$ è quella dove $U subseteq Y " aperto in " Y iff p^-1(U) " aperto in " X $.
Ma $Y$ si può vedere in maniera naturale "come" quoziente $X/rho$ (dove $x rho x' iff p(x)=p(x')$ è la classica relazione di equivalenza associata a una mappa).
Se tu prendi una qualsiasi topologia $T'$ che rende continua la $p$ secondo me hai $T' subseteq T_"quoziente"$, cioè la topologia quoziente è la più fine. Infatti, gli aperti di $T'$ sono necessariamente aperti anche nella topologia quoziente, ma non è detto il viceversa. Insomma, nella topologia quoziente hai un'implicazione in più, che nella continuità perdi (questa cosa qui me l'avevi insegnata tu via pm quest'estate, ti ricordi?
). "dissonance":
Questo fatto lo ritrovi spesso: intanto, se decidi di seguire il consiglio di Martino e di approfondire i prodotti infiniti, vedrai che in quell'ambito vale pari pari. L'unica differenza è che ora non ci sono più solo due proiezioni [tex]P_X, P_Y[/tex] ma una infinità - poco male, se conosci il concetto di sottobase. Anche in altri contesti si trova questa idea di "topologia meno fine che renda continue una o più applicazioni": geometria differenziale, analisi... La topologia debole di uno spazio di Banach, per esempio, è basata esattamente su questa idea.
Capisco; grazie per gli spunti di approfondimento.
"dissonance":
(*) Il motivo per cui si usa questo linguaggio è da ricercarsi nel contesto della teoria delle categorie (di cui io sono digiuno).
Non ti sentire il solo
Grazie per tutto.
Eh già, la topologia quoziente è la più fine, non la meno fine, delle topologie su [tex]S[/tex] che rendano continua [tex]P \colon X \to S[/tex]. Infatti la meno fine è la topologia banale. Scusa Paolo, è stata una svista. Per fortuna vedo che hai le idee molto chiare sull'argomento!
Figurati, dissonance, tranquillo, non c'è problema
Te l'ho detto, i quozienti mi piacciono parecchio, erano i prodotti che non mi andavano giù, prima di discuterne con voi
Comunque, direi che lo schema mentale va bene, anche quella si può classificare come proprietà universale delle identificazioni.
Per completezza:
Proprietà (universale della topologia indotta). Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico, [tex]S[/tex] un suo sottoinsieme e [tex]j : S \hookrightarrow X[/tex] l'immersione canonica. Una funzione [tex]f: Y \to S[/tex] è continua se e soltanto se [tex]j \circ f[/tex]è continua.
Che dite? Può andare?
Te l'ho detto, i quozienti mi piacciono parecchio, erano i prodotti che non mi andavano giù, prima di discuterne con voi
Comunque, direi che lo schema mentale va bene, anche quella si può classificare come proprietà universale delle identificazioni.
Per completezza:
Proprietà (universale della topologia indotta). Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico, [tex]S[/tex] un suo sottoinsieme e [tex]j : S \hookrightarrow X[/tex] l'immersione canonica. Una funzione [tex]f: Y \to S[/tex] è continua se e soltanto se [tex]j \circ f[/tex]è continua.
Che dite? Può andare?
Esatto. E' sempre la stessa cosa, come ti sei accorto: la topologia su $S$ è ${j^{-1}(A)\ :\ A\ "aperto di " X}$. Questa è una topologia e non solo una sottobase perché stai imponendo la continuità di una applicazione sola, $j$, laddove in precedenza ne avevi due, $P_X, P_Y$. A parte questo la tecnica è la stessa.
Tra un bicchiere di champagne e qualche fetta di pandoro, ho pensato un po'.
Mi domandavo, ad esempio, se era lecito risolvere questo esercizio passando dalla proprietà universale del prodotto.
Proprietà. Sia [tex]f: [0,1] \to \mathbb{R}[/tex] una funzione. Il grafico della funzione, cioè l'insieme [tex]\Gamma_f =\{(x,y) \in [0,1] \times \mathbb{R}\ \vert y=f(x)\}[/tex], è compatto se e soltanto se [tex]f[/tex] è continua.
Dimostrazione. In una direzione ho qualche idea. Supponiamo di avere $f$ continua e di voler mostrare che il grafico è compatto. Allora:
Mi domandavo, ad esempio, se era lecito risolvere questo esercizio passando dalla proprietà universale del prodotto.
Proprietà. Sia [tex]f: [0,1] \to \mathbb{R}[/tex] una funzione. Il grafico della funzione, cioè l'insieme [tex]\Gamma_f =\{(x,y) \in [0,1] \times \mathbb{R}\ \vert y=f(x)\}[/tex], è compatto se e soltanto se [tex]f[/tex] è continua.
Dimostrazione. In una direzione ho qualche idea. Supponiamo di avere $f$ continua e di voler mostrare che il grafico è compatto. Allora:
[*:2y2k1y6e] I modo: osservo che la funzione [tex]g: [0,1] \to [0,1] \times \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]x \mapsto (x,f(x))[/tex] risulta essere continua per la propr. universale di cui abbiamo parlato (infatti, l'identità è continua e $f$ pure per ipotesi) e risulta [tex]\Gamma_f =\text{Im} g[/tex]; ricordando che l'immagine continua di un compatto è compatta, si ha l'asserto.
[/*:m:2y2k1y6e]
[*:2y2k1y6e] II modo (di cui non ho verificato i dettagli): [tex]\Gamma_f \subseteq [0,1] \times \text{im} f[/tex]; per lo stesso motivo di sopra, [tex]\text{im} f[/tex] è compatto (perchè [tex][0,1][/tex] lo è). Per Tychonoff, prodotto di compatti è compatto. Ad "occhio", inoltre, [tex]\Gamma_f[/tex] mi pare chiuso nel prodotto e un sottoinsieme chiuso di un compatto è compatto.[/*:m:2y2k1y6e][/list:u:2y2k1y6e]
Che dite di queste due strade? Vi sembrano corrette entrambe?
Quanto all'altra implicazione mi sono un po' bloccato... potete darmi una mano per piacere?
Grazie.
La prima strada è corretta ed è anche la più semplice. La seconda richiede di dimostrare che $f$ ha il grafico chiuso, il che è vero e una dimostrazione veloce la puoi ottenere usando le successioni: prendi una successione convergente $(x_n, f(x_n))$ nel grafico di $f$ e vedi che succede. Sicuramente si potrà fornire una dimostrazione più intrinseca che non faccia uso delle successioni, comunque. Lo stesso vale per l'altra implicazione, di cui abbiamo parlato tempo fa:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 83-10.html
Quel thread è un po' incasinato in realtà. Nel caso fai un fischio che vedo di riscrivere qui i punti salienti.
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 83-10.html
Quel thread è un po' incasinato in realtà. Nel caso fai un fischio che vedo di riscrivere qui i punti salienti.
Ah Paolo ho trovato un esercizio del Munkres che ti può interessare: è il numero 8 di §26. Richiede di avere risolto anche il precedente numero 7 e non fa uso delle successioni, che come sai sono sufficienti a descrivere solo le topologie metrizzabili e dunque fanno perdere generalità.
Caro dissonance, ti ringrazio molto per il materiale che mi hai segnalato.
E' molto interessante il thread di cui parli, l'ho visto e tratta esattamente di questa questione. C'è da dire che, però, che l'esercizio ce l'ha assegnato in un foglio di esercizi per casa il nostro prof e, nel corso, non abbiamo trattato praticamente nulla delle successioni (sì, qualcosa in generale: definizione, limite e cose carine tipo far cadere l'unicità del limite in spazi non Hausdorff; però niente sulle sottosuccessioni).
Naturalmente, non è un problema, mi vedrò da solo questi argomenti; tuttavia, il fatto che ce l'abbia assegnato mi induce a pensare che ci sia una dimostrazione topologica, magari neanche troppo difficile, che non fa uso delle successioni e che però ora però mi sfugge.
Anche io ho pensato di usare quel lemma di cui si parla nel thread segnalato (il pasting lemma) ma non so come.
D'altra parte, ho anche pensato di ragionare per assurdo. Se $f$ non fosse continua, ci sarebbe un aperto di $RR$ che ha controimmagine non aperta in $[0,1]$, ma non so dove si può andare a finire.
Ti ringrazio per la segnalazione sul Munkres, mi sembrano dei begli esercizi. Tuttavia, lì spunta anche l'ipotesi Hausdorff che aiuta non poco: in effetti, quelle due proprietà si avvicinano al discorso "quozienti di Hausdorff" (su cui ho almeno una domanda che proporrò presto in questo topic recente).
Ancora una volta, dissonance: GRAZIE.
E' molto interessante il thread di cui parli, l'ho visto e tratta esattamente di questa questione. C'è da dire che, però, che l'esercizio ce l'ha assegnato in un foglio di esercizi per casa il nostro prof e, nel corso, non abbiamo trattato praticamente nulla delle successioni (sì, qualcosa in generale: definizione, limite e cose carine tipo far cadere l'unicità del limite in spazi non Hausdorff; però niente sulle sottosuccessioni).
Naturalmente, non è un problema, mi vedrò da solo questi argomenti; tuttavia, il fatto che ce l'abbia assegnato mi induce a pensare che ci sia una dimostrazione topologica, magari neanche troppo difficile, che non fa uso delle successioni e che però ora però mi sfugge.
Anche io ho pensato di usare quel lemma di cui si parla nel thread segnalato (il pasting lemma) ma non so come.
D'altra parte, ho anche pensato di ragionare per assurdo. Se $f$ non fosse continua, ci sarebbe un aperto di $RR$ che ha controimmagine non aperta in $[0,1]$, ma non so dove si può andare a finire.
Ti ringrazio per la segnalazione sul Munkres, mi sembrano dei begli esercizi. Tuttavia, lì spunta anche l'ipotesi Hausdorff che aiuta non poco: in effetti, quelle due proprietà si avvicinano al discorso "quozienti di Hausdorff" (su cui ho almeno una domanda che proporrò presto in questo topic recente).
Ancora una volta, dissonance: GRAZIE.
Usare le successioni è infatti una tecnica tipica dell'Analisi in cui si ha maggiormente a che fare con spazi metrizzabili. Di solito, dove c'è una dimostrazione con le successioni c'è anche una dimostrazione senza successioni e ognuna ha vantaggi e svantaggi. In questo caso, come noti anche tu, sicuramente il tuo professore ha in mente una dimostrazione senza successioni. Inoltre, il fatto che abbia scelto spazi così concreti ($[0, 1], RR$) suggerisce di fare un bel disegnino! E ancora, siccome penso di avere intuito dove vuole andare a parare il tuo professore, mi permetto di rifilare un piccolo suggerimento: per dimostrare che $f$ è continua puoi anche dimostrare che la controimmagine di un chiuso di $RR$ è un chiuso di $[0, 1]$.
Dissonance, ti ringrazio ma niente da fare, non ho cavato nulla.
Non riesco a capire come fare a concludere qualcosa sulla funzione: cioè il mio punto di partenza è il grafico, che è un sottoinsieme di $[0,1] times RR$.
Come arrivo a dire qualcosa su $f$?
Ho fatto un disegnino, come suggerisci, ma non capisco dove fallisce l'argomento. Cioè la funzione è definita su tutto $[0,1]$, mettiamo che in un punto salti: che cosa fa saltare l'argomento?
Scusami, non è che potresti darmi un altro piccolo spunto di riflessione, per piacere?
Grazie.
Non riesco a capire come fare a concludere qualcosa sulla funzione: cioè il mio punto di partenza è il grafico, che è un sottoinsieme di $[0,1] times RR$.
Come arrivo a dire qualcosa su $f$?
Ho fatto un disegnino, come suggerisci, ma non capisco dove fallisce l'argomento. Cioè la funzione è definita su tutto $[0,1]$, mettiamo che in un punto salti: che cosa fa saltare l'argomento?
Scusami, non è che potresti darmi un altro piccolo spunto di riflessione, per piacere?
Grazie.
Se c'è un salto il grafico non può essere compatto perché, prima ancora, non può essere chiuso. Guarda per esempio il grafico a questo indirizzo:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... on_CDF.png
Quei due pallini vuoti sono altrettanti punti di aderenza del grafico non contenuti nello stesso. Tu mi dirai: ma allora, è sufficiente richiedere che il grafico sia chiuso? e la risposta è no, perché esistono discontinuità più subdole dei semplici salti: ad esempio il grafico della funzione non continua
$f(x)={(\frac{1}{x}, x\in (0, 1]),(0, x=0):}$
è un sottoinsieme chiuso e non limitato (quindi non compatto) di $RR^2$.
In generale il grafico chiuso è un primo passo verso la continuità, ma non è sufficiente a garantire la continuità tranne in casi particolari come ad esempio quello dell'esercizio di Munkres, che è essenzialmente lo stesso del tuo professore con l'ipotesi di compattezza spostata dal grafico al codominio di $f$.
Un suggerimento per la risoluzione del problema:
Ti ricordi come si disegna la controimmagine di un intervallo chiuso? Prendi un intervallo chiuso sull'asse delle $y$, disegna la striscia orizzontale generata da questo intervallo e intersecala con il grafico della funzione. Poi proietta l'intersezione sull'asse delle $x$. Rifletti un po' su questa costruzione, se proprio non ce la fai ti passo qualche altro elemento.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... on_CDF.png
Quei due pallini vuoti sono altrettanti punti di aderenza del grafico non contenuti nello stesso. Tu mi dirai: ma allora, è sufficiente richiedere che il grafico sia chiuso? e la risposta è no, perché esistono discontinuità più subdole dei semplici salti: ad esempio il grafico della funzione non continua
$f(x)={(\frac{1}{x}, x\in (0, 1]),(0, x=0):}$
è un sottoinsieme chiuso e non limitato (quindi non compatto) di $RR^2$.
In generale il grafico chiuso è un primo passo verso la continuità, ma non è sufficiente a garantire la continuità tranne in casi particolari come ad esempio quello dell'esercizio di Munkres, che è essenzialmente lo stesso del tuo professore con l'ipotesi di compattezza spostata dal grafico al codominio di $f$.
Un suggerimento per la risoluzione del problema:
Ti ricordi come si disegna la controimmagine di un intervallo chiuso? Prendi un intervallo chiuso sull'asse delle $y$, disegna la striscia orizzontale generata da questo intervallo e intersecala con il grafico della funzione. Poi proietta l'intersezione sull'asse delle $x$. Rifletti un po' su questa costruzione, se proprio non ce la fai ti passo qualche altro elemento.
Forse ci sono, ma devo sistemare meglio i dettagli. Utilissimo il tuo hint, grazie: proiettare è la parola chiave!
Prendiamo un intervallo $[a,b]$ sull'asse $y$. Disegniamo la striscia che esso genera, striscia che formalmente corrisponde a [tex][0,1] \times [a,b][/tex].
Ora chiamo $pi$ la proiezione così costruita: [tex]\pi: [0,1] \times [a,b] \cap \Gamma_f \to [0,1][/tex] che manda [tex](x,f(x)) \mapsto x[/tex], [tex]a\le f(x) \le b[/tex].
Ora, la nostra [tex]\pi[/tex] può vedersi come restrizione della [tex]\bar{\pi}: \Gamma_f \to [0,1][/tex]: ebbene, [tex]\bar{\pi}[/tex] risulta essere l'inversa della $g$ che consideravo qualche post fa (ovviamente quella $g$ non era suriettiva, ma per renderla tale è sufficiente restringere il codominio a [tex]\Gamma_f[/tex]). Siccome $g$ è continua, anche [tex]\bar{\pi}[/tex] risulta essere continua. In definitiva, [tex]\bar{\pi}[/tex] è una mappa continua da un compatto (il grafico) a un Hausdorff ($[0,1] subseteq RR$) e quindi è chiusa. Ma allora è chiusa anche $pi$ che è restrizione di [tex]\bar{\pi}[/tex] a
[tex][0,1] \times [a,b] \cap \Gamma_f[/tex].
Avrei solo una domanda: è corretto quanto ho detto? E ora come posso dire formalmente che tale proiezione consiste proprio con il trovare la controimmagine di $[a,b]$ mediante la $f$?
Dissonance, GRAZIE, non sai che immenso aiuto mi stai dando.
P.S. Grazie anche per link, spiegazione ed esempio (non so perchè non si veda, ma passando il mouse sopra si vede la sintassi della formula): non avevo mai pensato a questa storia del grafico chiuso.
Prendiamo un intervallo $[a,b]$ sull'asse $y$. Disegniamo la striscia che esso genera, striscia che formalmente corrisponde a [tex][0,1] \times [a,b][/tex].
Ora chiamo $pi$ la proiezione così costruita: [tex]\pi: [0,1] \times [a,b] \cap \Gamma_f \to [0,1][/tex] che manda [tex](x,f(x)) \mapsto x[/tex], [tex]a\le f(x) \le b[/tex].
Ora, la nostra [tex]\pi[/tex] può vedersi come restrizione della [tex]\bar{\pi}: \Gamma_f \to [0,1][/tex]: ebbene, [tex]\bar{\pi}[/tex] risulta essere l'inversa della $g$ che consideravo qualche post fa (ovviamente quella $g$ non era suriettiva, ma per renderla tale è sufficiente restringere il codominio a [tex]\Gamma_f[/tex]). Siccome $g$ è continua, anche [tex]\bar{\pi}[/tex] risulta essere continua. In definitiva, [tex]\bar{\pi}[/tex] è una mappa continua da un compatto (il grafico) a un Hausdorff ($[0,1] subseteq RR$) e quindi è chiusa. Ma allora è chiusa anche $pi$ che è restrizione di [tex]\bar{\pi}[/tex] a
[tex][0,1] \times [a,b] \cap \Gamma_f[/tex].
Avrei solo una domanda: è corretto quanto ho detto? E ora come posso dire formalmente che tale proiezione consiste proprio con il trovare la controimmagine di $[a,b]$ mediante la $f$?
Dissonance, GRAZIE, non sai che immenso aiuto mi stai dando.
P.S. Grazie anche per link, spiegazione ed esempio (non so perchè non si veda, ma passando il mouse sopra si vede la sintassi della formula): non avevo mai pensato a questa storia del grafico chiuso.
Ok Paolo ci sei quasi!
Adesso però cerca di metterla in termini più semplici. In primo luogo non occorre scomodare la $g$: $pi$ è continua perché è la restrizione al grafico di $f$ della proiezione di $RR^2$ sull'asse delle $x$, mappa continua per definizione di topologia prodotto.
Poi devi ancora mostrare che $pi([0, 1] \times [a, b] nn Gamma_f)=f^{-1}([a, b])$, per quanto sia una cosa ovvia.
Infine, liberati dalla necessità di considerare solo intervalli chiusi: devi dimostrare che la controimmagine di un chiuso arbitrario di $RR$ è un chiuso di $[0, 1]$.
Sistema questo e hai finito. Ah e se non vedi le formule, è colpa di Firefox: vedi qui per il trucco che uso io quando riscontro lo stesso problema. Nello stesso thread ci sono suggerimenti anche di altri utenti, con altri trucchi.
Adesso però cerca di metterla in termini più semplici. In primo luogo non occorre scomodare la $g$: $pi$ è continua perché è la restrizione al grafico di $f$ della proiezione di $RR^2$ sull'asse delle $x$, mappa continua per definizione di topologia prodotto.
Poi devi ancora mostrare che $pi([0, 1] \times [a, b] nn Gamma_f)=f^{-1}([a, b])$, per quanto sia una cosa ovvia.
Infine, liberati dalla necessità di considerare solo intervalli chiusi: devi dimostrare che la controimmagine di un chiuso arbitrario di $RR$ è un chiuso di $[0, 1]$.
Sistema questo e hai finito. Ah e se non vedi le formule, è colpa di Firefox: vedi qui per il trucco che uso io quando riscontro lo stesso problema. Nello stesso thread ci sono suggerimenti anche di altri utenti, con altri trucchi.
Anzitutto grazie per la risposta.
Verissimo, non ci avevo pensato ma è decisamente molto più elegante.
Non so se mi sto perdendo ancora qualcosa, ma forse questo è immediato da definizione:
[tex]\pi ( [0, 1] \times [a, b] \cap \Gamma_f) =\{x \in [0,1] \vert f(x)=k, k \in [a,b]\} =\{x \in [0,1], f(x) \in [a,b]\} = f^{-1}([a,b])[/tex].
Giusto capo?
In effetti, senza accorgermene, ho applicato ai chiusi una proprietà degli aperti. La tua lecitissima e corretta osservazione mi fa venire un dubbio: esiste un concetto analogo a quello di base per i chiusi? Ci devo pensare.
Comunque, nel nostro caso, direi che basterà sostituire a $[a,b]$ un generico $C$ chiuso di $RR$.
Se quanto ho scritto è corretto, nel mio prossimo post riprendo tutta la proprietà e riscrivo tutta la dimostrazione, in modo da mettere ordine e chiudere definitivamente la questione.
Grazie ancora!
P.S. Quanto alle formule, boh, non mi era mai successo: non uso firefox, uso Safari. Boh, vedrò di leggere con calma il topic che mi hai segnalato. Grazie.
"dissonance":
Adesso però cerca di metterla in termini più semplici. In primo luogo non occorre scomodare la $g$: $pi$ è continua perché è la restrizione al grafico di $f$ della proiezione di $RR^2$ sull'asse delle $x$, mappa continua per definizione di topologia prodotto.
Verissimo, non ci avevo pensato ma è decisamente molto più elegante.
"dissonance":
Poi devi ancora mostrare che $pi([0, 1] \times [a, b] nn Gamma_f)=f^{-1}([a, b])$, per quanto sia una cosa ovvia.
Non so se mi sto perdendo ancora qualcosa, ma forse questo è immediato da definizione:
[tex]\pi ( [0, 1] \times [a, b] \cap \Gamma_f) =\{x \in [0,1] \vert f(x)=k, k \in [a,b]\} =\{x \in [0,1], f(x) \in [a,b]\} = f^{-1}([a,b])[/tex].
Giusto capo?
"dissonance":
Infine, liberati dalla necessità di considerare solo intervalli chiusi: devi dimostrare che la controimmagine di un chiuso arbitrario di $RR$ è un chiuso di $[0, 1]$.
In effetti, senza accorgermene, ho applicato ai chiusi una proprietà degli aperti. La tua lecitissima e corretta osservazione mi fa venire un dubbio: esiste un concetto analogo a quello di base per i chiusi? Ci devo pensare.
Comunque, nel nostro caso, direi che basterà sostituire a $[a,b]$ un generico $C$ chiuso di $RR$.
Se quanto ho scritto è corretto, nel mio prossimo post riprendo tutta la proprietà e riscrivo tutta la dimostrazione, in modo da mettere ordine e chiudere definitivamente la questione.
Grazie ancora!
P.S. Quanto alle formule, boh, non mi era mai successo: non uso firefox, uso Safari. Boh, vedrò di leggere con calma il topic che mi hai segnalato. Grazie.
"Paolo90":
In effetti, senza accorgermene, ho applicato ai chiusi una proprietà degli aperti. La tua lecitissima e corretta osservazione mi fa venire un dubbio: esiste un concetto analogo a quello di base per i chiusi? Ci devo pensare.
Vediamo se riesco a dire ancora qualcosa di Topologia sensato.
Forse non è utile alla discussione (che non ho onestamente seguito
), però un'idea potrebbe essere la seguente.Preso lo spazio topologico [tex]$(X,\tau)$[/tex] e [tex]$C$[/tex] chiuso, [tex]$\exists A\in\tau \quad \text{t.c.} \quad C=X\setminus A$[/tex] e esprimendo [tex]$A$[/tex] come unione degli elementi della base
[tex]$A=\cup_{j} B_j$[/tex] ho
$C=X\setminus A=X\setminus \cup_{j} B_j= cap_{j} X\setminus B_j $
dove nell'ultimo passaggio ho usato la nota formula di De Morgan.
Quindi dedurrei che un analogo della base per i chiusi si può ottenere pensando che un chiuso arbitrario è intersezione di complementari (sono elementi chiusi) degli elementi della base.
@Paolo: si, è tutto corretto.
Per quanto riguarda l'analogo del concetto di "base" con i chiusi, è giusto il discorso che fa Steven. Siccome ragionare in termini di intersezioni è più scomodo che in termini di unioni, presumo sia questo il motivo per cui si preferisce ragionare in termini di aperti piuttosto che di chiusi: infatti non ho mai letto da nessuna parte una sistematizzazione del concetto di "base" con i chiusi. Questo naturalmente non significa che una tale sistematizzazione non sia mai stata fatta! Anzi, sono sicuro del contrario. Ma, nel mio piccolo, non la ritengo una cosa molto utile.
Per quanto riguarda l'analogo del concetto di "base" con i chiusi, è giusto il discorso che fa Steven. Siccome ragionare in termini di intersezioni è più scomodo che in termini di unioni, presumo sia questo il motivo per cui si preferisce ragionare in termini di aperti piuttosto che di chiusi: infatti non ho mai letto da nessuna parte una sistematizzazione del concetto di "base" con i chiusi. Questo naturalmente non significa che una tale sistematizzazione non sia mai stata fatta! Anzi, sono sicuro del contrario. Ma, nel mio piccolo, non la ritengo una cosa molto utile.
Allora siamo pronti per chiudere il discorso su questa proprietà. Come promesso riporto enunciato e dimostrazione in questo post, in modo che il topic risulti ordinato.
Proprietà. Sia [tex]f: [0,1] \to \mathbb{R}[/tex] una funzione. Il grafico della funzione, cioè l'insieme [tex]\Gamma_f =\{(x,y) \in [0,1] \times \mathbb{R}\ \vert y=f(x)\}[/tex], è compatto se e soltanto se [tex]f[/tex] è continua.
Vi ringrazio per il vostro aiuto e per i vostri interventi (
ciao Ste! E' un piacere ritrovarti ).
Avevo pensato anche io questa cosa ieri sera, poi mi sono bloccato ad un certo punto. Tutto pare funzionare in maniera quasi magica, modificando opportunamente unioni con intersezioni etc.
In particolare, uno può dire che una famiglia $ccF$ di chiusi è una base di (chiusi di) una topologia se i chiusi sono tutti e soli intersezioni di elementi di $ccF$. Però come la mettiamo con la caratterizzazione delle basi di aperti che abbiamo? Mi riferisco a questo teorema:
Caratterizzazioni delle basi. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una famiglia di sottoinsiemi $ccB$ risulti base per un'unica topologia $ccT$ su un dato insieme $X$ è che
Proprietà. Sia [tex]f: [0,1] \to \mathbb{R}[/tex] una funzione. Il grafico della funzione, cioè l'insieme [tex]\Gamma_f =\{(x,y) \in [0,1] \times \mathbb{R}\ \vert y=f(x)\}[/tex], è compatto se e soltanto se [tex]f[/tex] è continua.
Vi ringrazio per il vostro aiuto e per i vostri interventi (
ciao Ste! E' un piacere ritrovarti ). "dissonance":
Per quanto riguarda l'analogo del concetto di "base" con i chiusi, è giusto il discorso che fa Steven. Siccome ragionare in termini di intersezioni è più scomodo che in termini di unioni, presumo sia questo il motivo per cui si preferisce ragionare in termini di aperti piuttosto che di chiusi: infatti non ho mai letto da nessuna parte una sistematizzazione del concetto di "base" con i chiusi. Questo naturalmente non significa che una tale sistematizzazione non sia mai stata fatta! Anzi, sono sicuro del contrario. Ma, nel mio piccolo, non la ritengo una cosa molto utile.
Avevo pensato anche io questa cosa ieri sera, poi mi sono bloccato ad un certo punto. Tutto pare funzionare in maniera quasi magica, modificando opportunamente unioni con intersezioni etc.
In particolare, uno può dire che una famiglia $ccF$ di chiusi è una base di (chiusi di) una topologia se i chiusi sono tutti e soli intersezioni di elementi di $ccF$. Però come la mettiamo con la caratterizzazione delle basi di aperti che abbiamo? Mi riferisco a questo teorema:
Caratterizzazioni delle basi. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una famiglia di sottoinsiemi $ccB$ risulti base per un'unica topologia $ccT$ su un dato insieme $X$ è che
[*:qrjboy3z] $uuu_(B in ccB) B = X$[/*:m:qrjboy3z]
[*:qrjboy3z] dati due elementi della base, la loro intersezione è ottenibile come unione di elementi della base stessa.[/*:m:qrjboy3z][/list:u:qrjboy3z]
Come diventa la prima condizione con i chiusi? Facciamo un unione infinita? No, non saremmo sicuri che quello che otteniamo è un chiuso. Facciamo un'intersezione infinita e chiediamo che sia vuota? Mi pare abbia poco senso.
Ci tengo a precisare che questa domanda mi è sorta facendo l'esercizio precedente. Quando hai osservato che avevo dimostrato tutto solo per i chiusi del tipo $[a,b]$ (e ciò non era ovviamente sufficiente), mi sono chiesto: non è che basta dimostrare la proprietà solo sui chiusi di quel tipo? Gli altri si otterranno come intersezione di quelli, no?
Scusate la mia curiosità (sono proprio rompiballe, eh!
)Grazie
Ciao! Qualche commento 
) la famiglia di chiusi [tex]\mathcal{C}=\{X-B\ |\ B \in \mathcal{B}\}[/tex]. Dire che l'unione dei [tex]B[/tex] è [tex]X[/tex] è equivalente a dire che l'intersezione dei [tex]C[/tex] è vuota. La seconda condizione invece diventa: dati [tex]B=X-C[/tex], [tex]B'=X-C'[/tex], l'intersezione [tex]B \cap B' = X-(C \cup C')[/tex] è del tipo [tex]\cup_j (X-C_j) = X- \cap_j C_j[/tex], in altre parole [tex]C \cup C' = \cap_j C_j[/tex], cioè l'unione di due chiusi della cobase è intersezione di chiusi nella cobase.
"Paolo90":Non è vero che la restrizione (del dominio) di una mappa chiusa è una mappa chiusa, per esempio l'identità [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] con le topologie banali è continua e chiusa, ma la restrizione [tex][0,1] \to \mathbb{R}[/tex] (l'inclusione) non è chiusa. Naturalmente però questo non compromette niente, basta prendere [tex]\pi[/tex] fin da subito.
Allora è chiusa anche $pi$ che è restrizione di [tex]\bar{\pi}[/tex].
Come diventa la prima condizione con i chiusi? Facciamo un unione infinita? No, non saremmo sicuri che quello che otteniamo è un chiuso. Facciamo un'intersezione infinita e chiediamo che sia vuota? Mi pare abbia poco senso.Per capire cosa succede basta sostituire a tutti i [tex]B[/tex] nella base i complementari [tex]C=X-B[/tex]. Data una base [tex]\mathcal{B}[/tex] chiamiamo "cobase" (non so se è terminologia standard, me la sto inventando ora
) la famiglia di chiusi [tex]\mathcal{C}=\{X-B\ |\ B \in \mathcal{B}\}[/tex]. Dire che l'unione dei [tex]B[/tex] è [tex]X[/tex] è equivalente a dire che l'intersezione dei [tex]C[/tex] è vuota. La seconda condizione invece diventa: dati [tex]B=X-C[/tex], [tex]B'=X-C'[/tex], l'intersezione [tex]B \cap B' = X-(C \cup C')[/tex] è del tipo [tex]\cup_j (X-C_j) = X- \cap_j C_j[/tex], in altre parole [tex]C \cup C' = \cap_j C_j[/tex], cioè l'unione di due chiusi della cobase è intersezione di chiusi nella cobase.
Io sono d'accordo con tutte le osservazioni di Martino e in particolare vorrei aggiungere una cosuccia:
"Martino":Non è vero che la restrizione (del dominio) di una mappa chiusa è una mappa chiusa, per esempio l'identità [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] con le topologie banali è continua e chiusa, ma la restrizione [tex][0,1] \to \mathbb{R}[/tex] (l'inclusione) non è chiusa. Naturalmente però questo non compromette niente, basta prendere [tex]\pi[/tex] fin da subito.[/quote]Inoltre, io eviterei di introdurre il concetto di applicazione chiusa. Infatti non serve. Ti basta osservare che $pi$ è continua e definita in un compatto, quindi ha l'immagine compatta in $[0, 1]$ e in particolare chiusa. Fine.
[quote="Paolo90"]Allora è chiusa anche $pi$ che è restrizione di [tex]\bar{\pi}[/tex].
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