Topologia: metriche equivalenti

[lewis1]

Ciao a tutti!
Vorrei chiedervi aiuto a proposito un esercizio di topologia che mi sta facendo impazzire...

Dimostrare che su $(RR^n , d_e)$, $d_e$ e $d'_e$ non sono equivalenti, con $d_e (x,y) = ||x-y||$ metrica euclidea, e $d'_e (x,y) = (d_e (x,y))/(1+ d_e (x,y))$ normalizzazione di $d_e$.

Allora: due metriche sono equivalenti se $EE a, b in RR_(>0)$ tali che $ad_e < d'_e < bd_e$
Per comodità pongo $d_e (x,y) = t$, da cui $d'_e = t/(1+t)$, e tenendo presente che $t>0$ (t=0 solo nel caso in cui x coincida con y per definizione di metrica)

Perciò io dovrei dimostrare che $\nexists a,b | at < t/(1+t) < bt $
Risolvendo le due disuguaglianze separatamente:

1) $at < t/(1+t)$ Divido entrambi i membri per t (è una quantità positiva se $x!=y$)
$a< 1/(1+t)$ Poichè $1/(1+t) > 0$, basta scegliere a tra 0 e $1/(1+t)$

2) $t/(t+1) < bt$ Di nuovo divido per t, e ottengo $b> 1/(1+t)$

Io avrei trovato a e b per i quali la relazione vale...
Dove ho sbagliato?

Grazie anticipo

_L_

[apatriarca]

Che $a$ e $b$ devono essere costanti per ogni (x, y) e quindi le relazioni che hai scritto devono valere $\forall t$. Mi sembra a questo punto evidente che il tuo $a$ può essere solo $0$ ($1/(1 + t)$ tende a $0$ quando $t$ tende a $\infty$). $b$ invece esiste, essendo $1/(1+t) <= 1$.