[Topologia generale] Esercizi

[Seneca1]

Esercizio. Dimostrare che l'intervallo $[0,1]$ in $\mathbb{R}_l$ (lower limit topology) non è compatto.

Svolg: Suppongo per assurdo che $[0,1]$ sia compatto come sottospazio di $\mathbb{R}_l$.
$\mathbb{R}_l$ di Hausdorff $\Rightarrow$ $[0,1]$ di Hausdorff. Uso il seguente semplice risultato (esercizio del Munkres):

Lemma: Se $\tau_1 , \tau_2$ sono due topologie su $X$ e ambedue rendono $X$ uno spazio topologico compatto di Hausdorff; allora o $\tau_1 = \tau_2$ o $\tau_1 , \tau_2$ non sono confrontabili.

Osservo che anche $[0,1]$ come sottospazio di $\mathbb{R}$ con la topologia standard è compatto e di Hausdorff. Allora (lemma) la topologia standard la topologia del limite inferiore sono uguali o non sono confrontabili, ciò che è assurdo: infatti la topologia standard di $\mathbb{R}$ è (strettamente) meno fine della topologia del limite inferiore.

Che ve ne pare?

[perplesso1]

Mi sembra giusto. Però penso che potevi farla più semplice: considera il ricoprimento di $[0,1]$ formato dagli intervalli $[0,1-1/n)$ (per $n >=2$) e da ${1}$. Se non mi inganno non ammette sottoricoprimento finito.

[Seneca1]

Oh sì, decisamente più semplice. Grazie.

[Seneca1]

Esercizio. Dimostrare che $[0,1]$ in $\mathbb{R}_l$ non è limit point compact.

Dovrei trovare un sottoinsieme infinito di $[0,1]$ che non ha alcun punto limite. Qualcuno ha un hint?

[perplesso1]

Pensa a una successione in $[0,1]$ che non ammette limite... questo esercizio mi sembra MOLTO simile al precedente.

[Seneca1]

Sì, è vero... Dannati aperti strambi.

[Seneca1]

Propongo un altro esercizio. Dimostrare che \[ [0,1]^\omega \subset \mathbb{R}^\omega = \{ \text{l'insieme di tutte le successioni reali} \} \]
dove $\mathbb{R}^\omega$ ha la topologia box (cioè gli aperti sono prodotti cartesiani di aperti di $\mathbb{R}$ con la topologia standard) non è limit point compact.

La mia idea è quella di considerare una successione di successioni (cioè di elementi di $[0,1]^\omega$) come segue:

\[ \begin{align} && [0,1] &\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times& ...\\\\ (x_n)_1 && 1&& 0 && 0 && 0 && 0 && ... \\ (x_n)_2 && 0 && 1 && 0 && 0 && 0 && ... \\ (x_n)_3 && 0&& 0 && 1 && 0 && 0 && ... \\ (x_n)_4 && 0&& 0 && 0 && 1&& 0 && ... \end{align} \]
Ciascun $(x_n)_i$ , $i \in \mathbb{N}$ ha un intorno aperto $(U_n)_i$ tale che $(x_n)_j \notin U_i$ se $j \ne i$.

\[ \begin{align} (U_n)_1 && \left ( \frac{1}{2} ,1 \right ] &\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times& ...\\(U_n)_2 && [0,1]&\times&\left ( \frac{1}{2} ,1 \right ] &\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times& ... \\(U_n)_3 && [0,1]&\times&[0,1]&\times&\left ( \frac{1}{2} ,1 \right ] &\times&[0,1]&\times&[0,1]&\times& ... \end{align} \]

Tuttavia ho dei dubbi sulla correttezza del ragionamento: infatti questo dovrebbe provare che $[0,1]^\omega$ non è limit point compact; però gli aperti scelti sono aperti anche nella topologia prodotto, ovvero $[0,1]^\omega$ con la topologia prodotto risulterebbe non limit point compact e quindi nemmeno compatto, in contraddizione con il teorema di Tychonoff. Dove sbaglio?

[perplesso1]

Vedi se ti convince questo: nella topologia prodotto quella successione di successioni convergerebbe alla successione nulla, invece nella topologia box c'è almeno un intorno della successione nulla che è disgiunto da ogni $(x_n)_i$, per esempio $[0,1/2)^ \omega$.

[Seneca1]

Ora lo vedo, giusto. Quindi (con topologia prodotto) $\bb{0} = (0, 0 , 0 , ... , 0 , ... )$ è un "punto limite" per l'insieme di successioni che ho costruito? Mentre se consideriamo la topologia box il controesempio va bene, giusto?

Ti ringrazio!

Ho altri due esercizi:

Esercizio 1. Provare che $[0,1]^\omega \subset \mathbb{R}^\omega$ con la topologia uniforme non è limit point compact.

Sia $\delta$ la metrica uniforme e siano $x , y \in [0, 1]^\omega$ successioni reali. La distanza $\delta$ è definita come:
\[ \delta(x,y) = \sup \{ \min \{ |x_n - y_n| , 1 \} : n \in \mathbb{N} \} \]
$\forall x , y \in \{ \text{ successioni dell'esempio precedente } \}, x \ne y$, la distanza tra i due elementi è sempre massima, cioè $\delta(x,y) = 1$. Quindi questo particolare insieme di punti non ha un punto limite in $[0,1]^\omega$.

Sembra corretto?

Esercizio 2. Dimostrare che gli intervalli $(0,1) , (0,1] , [0,1]$ non sono omeomorfi (considerare il complemento di un punto che può essere connesso o non).

Io direi questo: \( [0,1] \overset{\text{omeom.}}{\cong} (0,1) \) o \( [0,1] \overset{\text{omeom.}}{\cong} (0,1] \); infatti $[0,1]$ è compatto e l'omeomorfismo è una mappa continua.
Non può essere nemmeno \([0,1) \overset{\text{omeom.}}{\cong} (0,1) \), infatti, se $f$ è un omeomorfismo tra i due spazi, \( f^{-1}(0,1) \) dovrebbe essere aperto.

Basta questo, lasciando perdere il suggerimento?

[perplesso1]

"Seneca":
Ora lo vedo, giusto. Quindi (con topologia prodotto) 0=(0,0,0,…,0,…) è un "punto limite" per l'insieme di successioni che ho costruito? Mentre se consideriamo la topologia box il controesempio va bene, giusto?

Sì

"Seneca":Io direi questo: $[0,1]≅omeom.(0,1)$ o $[0,1]≅omeom.(0,1]$; infatti $[0,1]$ è compatto e l'omeomorfismo è una mappa continua.

Se con questo intendi dire che $[0,1]$ è compatto e quindi non può essere omeomorfo a un non-compatto. Sì è ok.

"Seneca":Non può essere nemmeno $[0,1)≅(0,1)$, infatti, se $f$ è un omeomorfismo tra i due spazi, $f^{−1}(0,1)$ dovrebbe essere aperto.

Con questo non hai dimostrato niente infatti $f^{−1}(0,1) = [0,1)$ che è aperto in se stesso. Curiosità: perchè non vuoi usare il suggerimento?

P.S. Mi sembra corretto anche l'esercizio sulla topologia uniforme.

[Seneca1]

"perplesso":
Con questo non hai dimostrato niente infatti $f^{−1}(0,1) = [0,1)$ che è aperto in se stesso. Curiosità: perchè non vuoi usare il suggerimento?

Mi sembrava non ce ne fosse bisogno... Infatti ho fatto quell'ingenuità lì.

Allora farei così:

Suppongo per assurdo che un omeomorfismo \( \psi : [0,1) \longrightarrow (0,1) \) esista. \( \underbrace{\psi( [0,1) \setminus \{0\})}_{\text{connesso}} = \underbrace{(0, \psi(0)) \cup (\psi(0), 1)}_{\text{sconnesso}} \), contraddizione.

Grazie perplesso.
Più tardi continuerò con altri esercizi; se avrai pazienza di aiutarmi a rivederli ne sarei felice.

[Seneca1]

Esercizio 1. Se uno spazio $X$ di Hausdorff è numerabilmente compatto $\Rightarrow$ $X$ è limit point compact. (mi interessa soprattutto questa direzione)

Svolgimento: $[\Rightarrow]$ $X$ è countably compact e suppongo per assurdo che esista un sottoinsieme infinito $S$ di $X$ tale che $S$ sia privo di limit points in $X$ $\Rightarrow$ $\forall x \in X$, $\exists I_x$ intorno aperto di $x$ tale che $(I_x \cap S ) \setminus \{x\} = \emptyset$. $S$ è chiuso e aperto: \(\displaystyle \bigcup_{x \in S} I_x = S \)
$\Rightarrow$ $S$ è aperto; $S = \overline{S}$ $\Rightarrow$ $S$ è chiuso. Allora $X \setminus S$ è aperto.
Estraggo da $S$ una porzione numerabile $S_1 \subset S$; $S_2 = S \setminus S_1$, $S_1 , S_2$ ambedue aperti. Allora un possibile ricoprimento numerabile di $X$ è:
\[ \mathcal{U} = \left \{ \bigcup_{ x \in S_1 } I_x \right \} \cup \{ S_2 , X \setminus S \} \]
Si vede immediatamente che $\mathcal{U}$ non ha un sottoricoprimento finito, contraddizione.

A me sembra tutto giusto... Vorrei averne conferma.

Esercizio 2. i) Se $X_\alpha$, $\alpha \in J$, sono spazi di Hausdorff, dimostrare che il prodotto \( \displaystyle \prod_{\alpha \in J} X_\alpha \) è di Hausdorff.

ii) Se $X_\alpha$, $\alpha \in J$, sono spazi connessi per archi, dimostrare che il prodotto \( \displaystyle \prod_{\alpha \in J} X_\alpha \) è connesso.

Svolgimento: i) \( \displaystyle x, y \in \prod_{\alpha \in J} X_\alpha \), \[ x = (x_\alpha)_{\alpha \in J} \;\;\; , \;\;\; y = (y_\alpha)_{\alpha \in J} \]
$x \ne y$ $\Rightarrow$ $\exists I \subseteq J$ tale che $x_i \ne y_i, i \in I$ e siano $A_i , B_i$ intorni aperti disgiunti di $x_i , y_i$ $\Rightarrow$ definisco:
\begin{equation*} U_\alpha = \begin{cases} X_\alpha , & \mbox{se } \alpha \in J \setminus I \\ A_\alpha , & \mbox{se } \alpha \in I\end{cases} \end{equation*} \begin{equation*}
V_\alpha = \begin{cases} X_\alpha , & \mbox{se } \alpha \in J \setminus I \\ B_\alpha , & \mbox{se } \alpha \in I\end{cases} \end{equation*}
\( \displaystyle \prod_{\alpha \in J} U_\alpha \) , \( \displaystyle \prod_{\alpha \in J} V_\alpha \) sono intorni aperti disgiunti di $x$ e $y$ rispettivamente $\Rightarrow$ \( \displaystyle \prod_{\alpha \in J} X_\alpha \) è di Hausdorff.

ii) \( \displaystyle x, y \in \prod_{\alpha \in J} X_\alpha \), \[ x = (x_\alpha)_{\alpha \in J} \;\;\; , \;\;\; y = (y_\alpha)_{\alpha \in J} \]
$\forall \alpha \in J$, $X_\alpha$ è connesso $\Rightarrow$ $\forall \alpha$, $\exists f_\alpha : [0,1] \rightarrow X_\alpha$ continua tale che $f_\alpha (0) = x_\alpha$ , $f_\alpha (1) = y_\alpha$. Allora $( f_\alpha )_{\alpha \in J} : [0,1] \rightarrow \prod_{\alpha \in J} X_\alpha$ è un'applicazione continua.

Grazie in anticipo a chi vorrà controllare.

[perplesso1]

"Seneca":Grazie perplesso.
Più tardi continuerò con altri esercizi; se avrai pazienza di aiutarmi a rivederli ne sarei felice.

Figurati, nei limiti delle mie capacità (perche sono un dilettante) aiuto volentieri. Ora però fa troppo caldo non mi riesce di ragionare , appena ho voglia e tempo ci do un'occhiata.

[perplesso1]

"Seneca":$⋃_{x∈S} I_x=S$

Il fatto che $I_x$ intersechi $S$ nel solo punto $x$ non esclude che possa contenere anche punti estranei a $S$, o sbaglio? In generale dubito che $S$ sia necessariamente aperto o almeno a prima vista non mi sembra. Se è vero me lo potresti spiegare un pò meglio? Comunque io la soluzione l' avevo pensata più o meno simile alla tua

Supponi $X$ non sia limit point compact. Allora esiste un sottoinsieme infinito numerabile $S$ che non ha punti limite. Per ogni $s \in S$ esiste un intorno $I_s$ che interseca $S$ nel solo punto $s$. Inoltre $S$ è chiuso perchè contiene tutti i suoi punti limite (cioè nessuno). Allora $X - S$ è aperto e la famiglia ${X-S} \cup {I_s}_{s \in S}$ è un ricoprimento numerabile di $X$ che chiaramente non ammette sottoricoprimento finito (perchè un numero finito di $I_s$ non possono coprire $S$). Concludiamo che $X$ non è numerabilmente compatto.

L'esercizio 2.ii mi sembra perfetto. Invece sul 2.i ho un dubbio

"Seneca":$∃I⊆J$ tale che $x_i≠y_i$ ...... $\prod_{\alpha \in J} U_\alpha $ e $\prod_{\alpha \in J} V_\alpha $ ... sono intorni aperti

E che succede se $I$ è infinto?

[Seneca1]

"perplesso":[quote="Seneca"]$⋃_{x∈S} I_x=S$

Il fatto che $I_x$ intersechi $S$ nel solo punto $x$ non esclude che possa contenere anche punti estranei a $S$, o sbaglio?[/quote]
Non sbagli.

"perplesso":Invece sul 2.i ho un dubbio [...] e che succede se $I$ è infinto?

Hai ragione anche qui. In realtà basta estrarre un indice $j$ da $I$ e definire:
\begin{equation*} U_\alpha = \begin{cases} X_\alpha , & \mbox{se } \alpha \ne j \\ A_\alpha , & \mbox{se } \alpha = j \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*}
V_\alpha = \begin{cases} X_\alpha , & \mbox{se } \alpha \ne j \\ B_\alpha , & \mbox{se } \alpha = j\end{cases} \end{equation*}
Grazie!

[Seneca1]

Esercizio. Sia $\mathbb{R}^{\infty}$ il sottoinsieme di $\mathbb{R}^{\omega}$ di tutte le successioni definitivamente nulle. Trovare la chiusura di $\mathbb{R}^{\infty}$ in $\mathbb{R}^{\omega}$ per ciascuna delle topologie: prodotto, uniforme e box su $\mathbb{R}^{\omega}$.

Svolgimento: Box: Se $x \in \mathbb{R}^\omega \setminus \mathbb{R}^{\infty}$, $x = (x_1 , ... , x_n , ... )$. Devo provare che esiste un intorno di $x$ che non interseca $\mathbb{R}^{\infty}$: poiché non tutte le componenti di $x$ sono nulle, definisco una successione di aperti di $\mathbb{R}$ nel modo seguente:
se $x_i \ne 0$ allora sia $U_i$ un intorno aperto di $x_i$ tale che $0 \notin U_i$;
se $x_i = 0$, sia $U_i$ un qualsiasi intorno aperto di $0$.
Allora l'intorno aperto $U_1 \times U_2 \times ... \times U_n \times ...$ di $x$ non interseca $\mathbb{R}^{\infty}$ in alcun punto.
$\Rightarrow$ $\overline{\mathbb{R}^{\infty}} = \mathbb{R}^{\infty}$.

Prodotto: Se $x \in \mathbb{R}^\omega \setminus \mathbb{R}^{\infty}$, $x = (x_1 , ... , x_n , ... )$.
Un qualsiasi intorno aperto di $x$ interseca $\mathbb{R}^{\infty}$. Infatti gli intorni aperti di $x$ sono del tipo \[U = U_1 \times U_2 \times ... \times U_n \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times ...\]
$\Rightarrow$ $\overline{\mathbb{R}^{\infty}} = \mathbb{R}^{\omega}$.

Uniforme: La distanza che induce la topologia uniforme è:\[ \delta(x,y) = \sup \{ \min \{ |x_n - y_n| , 1 \} : n \in \mathbb{N} \} \]
Qualche idea per questo caso?

[j18eos]

Hai svolto bene, peccato che per il secondo punto avresti potuto ottenere una dimostrazione più elegante studiando le funzioni di proiezione.

Per il terzo punto suggirisco di tentare con le successioni di Cauchy!

[perplesso1]

Propongo un esercizio semplice e divertente che richiede pochissime conoscenze di topologia.

Sia $A$ un sottoinsieme di uno spazio topologico $X$. Indichiamo con $A'$ il complemento di $A$, indichiamo con $A^{-}$ la chiusura di $A$ e poniamo $A^{\bot} = A^{-'}$. Ricordiamo alcune proprietà elementari di questi operatori:

1) $A'' = A$
2) $A \subseteq B -> B' \subseteq A'$
3) $A \subseteq A^{-}$
4) $A^{--}=A^{-}$
5) $(A \cup B)^{-} = A^{-} \cup B^{-}$


Dimostrare i seguenti fatti:

6) $P \subseteq Q -> Q^{\bot} \subseteq P^{\bot}$
7) Se $P$ è aperto $P \subseteq P^{\bot \bot}$
8) Se $P$ è aperto $P^{\bot}=P^{\bot \bot \bot}$
9) Se $P$ e $Q$ sono aperti $(P \cap Q)^{\bot \bot} = P^{\bot bot} \cap Q^{\bot \bot}$

Spero non risulti troppo facile.

[Seneca1]

@ j18eos: grazie della dritta; più tardi provo a vedere cosa cavo fuori dal buco.

@ perplesso: grazie del rilancio.

[Seneca1]

"j18eos":Per il terzo punto suggirisco di tentare con le successioni di Cauchy!

Con le successioni di Cauchy non sono riuscito a risolvere. Ho pensato però il seguente argomento:

Sia $x$ una successione infinitesima. Allora ogni intorno di $x$ interseca $\mathbb{R}^{\infty}$ ( \( \Rightarrow x \in \overline{\mathbb{R}^{\infty}} \) ).
Sia $B_\delta (x, 2 \epsilon)$ un intorno di $x$. Essendo $x$ infinitesima $\exists N_\epsilon \in \mathbb{N}$ tale che $| x_n | < \epsilon$ , $\forall n > N_\epsilon$. Allora
\[ y = y_n = ( x_1 , x_2 , ... , x_{N_\epsilon} , 0 , 0 , ... , 0 , ... ) \;\;\; \in \mathbb{R}^{\infty} \cap B_\delta (x, \epsilon)\]
avendo che $\delta(x, y) = \epsilon < 2 \epsilon$.
Chiaramente è evidente il fatto che se una successione non è infinitesima, allora esiste un intorno di questa che non interseca $\mathbb{R}^{\infty}$.

Vi convince?

[Seneca1]

Esercizio 1. Sia $p : E \rightarrow B$ un'applicazione quoziente (cioè continua e suriettiva).
1) $f : B -> X$ è continua se e solo se $f \circ p$ è continua.

$[\Rightarrow]$: \[ E \;\;\overset{p}{\rightarrow} \; \;B \;\;\overset{f}{\rightarrow} \;\;X \]
$f$ continua $\iff$ $\forall U \subset X$ aperto, $f^{-1}(U)$ aperto in $B$. Ma $B$ ha la topologia quoziente, quindi $f^{-1}(U) \subset B$ è aperto in $B$ se e solo se $p^{-1}(f^{-1}(U))$ è aperto in $E$. Per ipotesi $f \circ p$ è continua $\Rightarrow$ $\forall U \subset X$, $(f \circ p)^{-1}(U) = p^{-1}(f^{-1}(U))$ è aperto in $E$. \( \square \)

Il viceversa è banale, ricordando (brevemente) che la composizione di funzioni continue dà luogo ad una funzione continua.

2) Se $B$ è connesso e $p^{-1}(b)$ è connesso $\forall b \in B$, allora provare che $E$ è connesso.

Per assurdo supponiamo che $(A,C)$ sia una sconnessione di $E$. Inoltre, $\forall b \in B$ , si danno due casi: $p^{-1}(b) \subset A$ o $p^{-1}(b) \subset C$ (perché altrimenti, per qualche $b$, $p^{-1}(b)$ sarebbe sconnesso, contro l'ipotesi). Siano $Y_A , Y_C$ gli insiemi dei $b \in B$ tali che $p^{-1}(b) \subset A$, $p^{-1}(b) \subset C$ (rispettivamente).

Allora \( \displaystyle A = \bigcup_{ b \in Y_A } p^{-1}(b) = p^{-1} (Y_A)\) e \( \displaystyle C = p^{-1} (Y_C) \)

Chiaramente $Y_A \cup Y_B = B$ e $Y_A \cap Y_B = \emptyset$ e inoltre $Y_A , Y_B$ sono aperti perché le loro controimmagini sono ($A , B$) aperti in $E$. Allora $B$ sarebbe sconnesso, contraddizione. \( \square \)

Sembra corretto? Grazie.