[topologia] Dubbi (sciocchi) su basi ed interno
Alle prese con le prime nozioni di topologia ho un paio di dubbi (sciocchi) che vorrei condividere.
Per essere più concreto considero questo insieme [tex]$B=\{ \{x\} \cup ]0,\infty[ | x \in \mathbb{R} \}[/tex]
Questa rappresenta la base di una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex].
Quindi un aperto di quell'unica topologia che ha $B$ come base deve essere scritto come unione di quegli insiemi.
Ora la mia domanda è: come unione di tutti quegli insiemi vero? Cioè un elemento di $B$ è unione di $x in RR$ con l'intervallo $]0,\infty[$. Quindi ad esempio ${x}$ non è un aperto della topologia. Giusto?
La topologia avente $B$ come base potrebbe essere descritta nel seguente modo?
[tex]$\mathcal{A}=\{A \subset \mathbb{R} | A=[x, \infty[, x \leq 0\}[/tex].
Adesso rispetto a questa topologia, mi si chiede di determinare l'interno di $[-1,0]$ e se tutto quello che ho scritto sopra dovesse essere vero, beh l'interno risulterebbe vuoto.
Grazie a tutti
Per essere più concreto considero questo insieme [tex]$B=\{ \{x\} \cup ]0,\infty[ | x \in \mathbb{R} \}[/tex]
Questa rappresenta la base di una topologia su [tex]\mathbb{R}[/tex].
Quindi un aperto di quell'unica topologia che ha $B$ come base deve essere scritto come unione di quegli insiemi.
Ora la mia domanda è: come unione di tutti quegli insiemi vero? Cioè un elemento di $B$ è unione di $x in RR$ con l'intervallo $]0,\infty[$. Quindi ad esempio ${x}$ non è un aperto della topologia. Giusto?
La topologia avente $B$ come base potrebbe essere descritta nel seguente modo?
[tex]$\mathcal{A}=\{A \subset \mathbb{R} | A=[x, \infty[, x \leq 0\}[/tex].
Adesso rispetto a questa topologia, mi si chiede di determinare l'interno di $[-1,0]$ e se tutto quello che ho scritto sopra dovesse essere vero, beh l'interno risulterebbe vuoto.
Grazie a tutti
Risposte
Ciao Mistake! 
Giusto.
No, prendi ad esempio [tex]A=]0,+\infty[[/tex]. Esso è aperto nella topologia che ha [tex]B[/tex] come base, ma [tex]A\notin\mathcal{A}[/tex].
Ah, in [tex]\mathcal{A}[/tex] manca [tex]\mathbb{R}[/tex] che, ovviamente, deve essere un aperto.
Esatto. Nessuno aperto di questa topologia è contenuto in [tex][-1,0][/tex].
"mistake89":
Ora la mia domanda è: come unione di tutti quegli insiemi vero? Cioè un elemento di $B$ è unione di $x in RR$ con l'intervallo $]0,\infty[$. Quindi ad esempio ${x}$ non è un aperto della topologia. Giusto?
Giusto.
"mistake89":
La topologia avente $B$ come base potrebbe essere descritta nel seguente modo?
[tex]$\mathcal{A}=\{A \subset \mathbb{R} | A=[x, \infty[, x \leq 0\}[/tex].
No, prendi ad esempio [tex]A=]0,+\infty[[/tex]. Esso è aperto nella topologia che ha [tex]B[/tex] come base, ma [tex]A\notin\mathcal{A}[/tex].
Ah, in [tex]\mathcal{A}[/tex] manca [tex]\mathbb{R}[/tex] che, ovviamente, deve essere un aperto.
"mistake89":
Adesso rispetto a questa topologia, mi si chiede di determinare l'interno di $[-1,0]$ e se tutto quello che ho scritto sopra dovesse essere vero, beh l'interno risulterebbe vuoto.
Esatto. Nessuno aperto di questa topologia è contenuto in [tex][-1,0][/tex].
Ti ringrazio Cirasa mi hai tolto un grosso dubbio.
Per la svista ho capito, effettivamente perdo così facendo l'intervallo aperto $]0,infty[$. Quindi esplicitamente come avrei potuto scrivere quella topologia?
[tex]$\mathcal{A}= \{ A \subset \mathbb{R} | A=[a,b] \cup ]0,\infty[, a
Grazie ancora
PS Nell'esercizio intendevi $[-1,0]$, vero? Altrimenti non ho capito
Per la svista ho capito, effettivamente perdo così facendo l'intervallo aperto $]0,infty[$. Quindi esplicitamente come avrei potuto scrivere quella topologia?
[tex]$\mathcal{A}= \{ A \subset \mathbb{R} | A=[a,b] \cup ]0,\infty[, a
Grazie ancora
PS Nell'esercizio intendevi $[-1,0]$, vero? Altrimenti non ho capito
"mistake89":
PS Nell'esercizio intendevi $[-1,0]$, vero? Altrimenti non ho capito
Sì, una svista. Ho sistemato.
"mistake89":
Per la svista ho capito, effettivamente perdo così facendo l'intervallo aperto $]0,infty[$. Quindi esplicitamente come avrei potuto scrivere quella topologia?
[tex]$\mathcal{A}= \{ A \subset \mathbb{R} | A=[a,b] \cup ]0,\infty[, a
Ancora no, perchè per esempio [tex]A=\{-2,-1\}\cup ]0,+\infty[[/tex] è un aperto nella topologia avente [tex]B[/tex] come base, ma non appartiene a questo insieme [tex]\mathcal{A}[/tex].
Prova a pensare come possono essere fatti questi aperti. Sono unioni di famiglie qualsiasi di aperti del tipo [tex]\{x\}\cup ]0,+\infty[[/tex], con [tex]x\in\mathbb{R}[/tex].
Insomma, [tex]]0,+\infty[[/tex] ci sta certamente negli aperti della topologia. Ma poi che altro?
Prova a capire perché questa topologia si può descrivere come
[tex]$\mathcal{A}= \{\,B\cup]0,+\infty[:\,B\subset \mathbb{R}\,\}\cup\{\emptyset\}[/tex]
Proprio adesso ci stavo pensando al fatto che avevo cannato ancora In realtà pensavo che ancora non avrei potuto scrivere l'intervallo $]0,infty+[$.
Se $B$ è un sottoinsieme (finito) di $RR$, sarà unione di qualche ${x}$ con $x in RR$, quindi sarà possibile scriverla come ${x} \cup \]0,\infty[$, al variare di $x$.
Mi chiedevo: $B$ potrebbe essere un intervallo? In questo caso dovremmo avere un unione infinita di elementi $x in RR$. E credo che vada bene lo stesso (per gli assiomi della topologia!)
In realtà pensavo che ancora non avrei potuto scrivere l'intervallo $]0,infty+[$.Se $B$ è un sottoinsieme (finito) di $RR$, sarà unione di qualche ${x}$ con $x in RR$, quindi sarà possibile scriverla come ${x} \cup \]0,\infty[$, al variare di $x$.
Mi chiedevo: $B$ potrebbe essere un intervallo? In questo caso dovremmo avere un unione infinita di elementi $x in RR$. E credo che vada bene lo stesso (per gli assiomi della topologia!)
Certo che potrebbe andar bene.
Se [tex]B[/tex] è un qualsiasi sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex], allora [tex]A=B\cup]0,+\infty[[/tex] è un aperto della nostra topologia perchè si può scrivere come unione di aperti nel seguente modo
[tex]$ A=\bigcup_{x\in B}(\{x\}\cup]0,+\infty[)[/tex]
In particolare, va bene anche se [tex]B[/tex] è un intervallo...
Se [tex]B[/tex] è un qualsiasi sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex], allora [tex]A=B\cup]0,+\infty[[/tex] è un aperto della nostra topologia perchè si può scrivere come unione di aperti nel seguente modo
[tex]$ A=\bigcup_{x\in B}(\{x\}\cup]0,+\infty[)[/tex]
In particolare, va bene anche se [tex]B[/tex] è un intervallo...
Ora è tutto più chiaro. Ti ringrazio Cirasa. 
Riporto su questo thread per chiedere conferma su una questione.
Questa topologia è più o meno fine rispetto a quella euclidea su $RR$.
Identifico, data l'equivalenza, la topologie euclidea con quella naturale su $RR$ e a me queste topologie non paiono confrontabili.
Considerando l'intervallo del tipo [tex]$]a,b[ \in \mathcal{A}_n[/tex] con [tex]0 < a < b < +\infty[/tex], questo non appartiene a [tex]\mathcal{A}[/tex]
Mentre considerando [tex]$\{x\} \cup ]0,+\infty[[/tex] questo non appartiene ad [tex]$ \mathcal{A}_n[/tex]
Confermate?
Questa topologia è più o meno fine rispetto a quella euclidea su $RR$.
Identifico, data l'equivalenza, la topologie euclidea con quella naturale su $RR$ e a me queste topologie non paiono confrontabili.
Considerando l'intervallo del tipo [tex]$]a,b[ \in \mathcal{A}_n[/tex] con [tex]0 < a < b < +\infty[/tex], questo non appartiene a [tex]\mathcal{A}[/tex]
Mentre considerando [tex]$\{x\} \cup ]0,+\infty[[/tex] questo non appartiene ad [tex]$ \mathcal{A}_n[/tex]
Confermate?
Ciao mistake!
A me pare corretto il tuo ragionamento. Il concetto di "finezza" (tra due topologie) corrisponde infatti a provare una inclusione in senso insiemistico di una topologia dentro l'altra. Se mostri che esiste un elemento di $T$ che non sta in $T'$ e se mostri che c'è un elemento di $T'$ che non sta in $T$ allora non puoi confrontare le due topologie.
Insomma sono d'accordo con te ma, visto che anche io sono alle prime armi con la Topologia, mi sa che ti conviene aspettare una conferma dall'alto
A me pare corretto il tuo ragionamento. Il concetto di "finezza" (tra due topologie) corrisponde infatti a provare una inclusione in senso insiemistico di una topologia dentro l'altra. Se mostri che esiste un elemento di $T$ che non sta in $T'$ e se mostri che c'è un elemento di $T'$ che non sta in $T$ allora non puoi confrontare le due topologie.
Insomma sono d'accordo con te ma, visto che anche io sono alle prime armi con la Topologia, mi sa che ti conviene aspettare una conferma dall'alto
Grazie Paolo, avere una conferma è sempre confortante
PS Già topologia studiate?
PS Già topologia studiate?
"mistake89":
Grazie Paolo, avere una conferma è sempre confortante
PS Già topologia studiate?
Prego, figurati.
Comunque, sì, da noi Topologia è in Geometria II, che è materia del secondo anno (e come puoi ben immaginare mi piace un sacco, anche se a volte è un po' "tosta").
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