Topologia di sottospazio e prodotto

[NoSignal]

Siano $X$ e $X'$ due insiemi contenuti rispettivamente nelle topologie $tau$ e $tau '$ e $Y$ e $Y'$ due insiemi contenuti rispettivamente nelle topologie $alpha$ e $alpha '$, supponiamo che tali insieme siano non vuoti:
mostrare che se $tau sub tau '$ e $alpha sub alpha '$ allora la topologia prodotto su $X' xx Y'$ è piu fine della topologia prodotto su $X xx Y$;
Questo è un esercizio del Munkres - Topology(2nd Ed.) pag 92

Innanzitutto nell'esercizio non viene specificato ma penso che quando dice topologia prodotto di $X xx Y$ ad esempio, si riferisca alla topologia di sottospazio di $X xx Y$ sullo spazio topologico diciamo $Z xx U$ e quest'ultimo ha topologia generata da tutti gli aperti del tipo $z xx u$ con $z in tau$ e $u in alpha$; lo stesso vale per la topologia prodotto di $X' xx Y'$ come topologia di sottospazio su un certo $Z' xx U'$;
Supponendo che io debba dimostrare la verità dell'affermazione dell'esercizio allora sarà che ogni aperto di $X xx Y$ sarà anche un aperto di $X' xx Y'$: sia per esempio $(X xx Y)nn(z xx u)=(X' xx Y')nn(z' xx u')$ che equivale a $(X nn z)xx(Y nn u)=(X' nn z')xx(Y' nn u')$ allora $X nn z = X' nn z'$ ma se pongo X e X' disgiunti cio non accadrà mai!
Quindi la mia domanda è, sono io che ho interpretato male l'esercizio e/o ho fatto qualche errore?

[vict85]

Penso che tu abbia frainteso il testo. Infatti sicuramente l'autore intendeva che \(X\) e \(X'\) erano lo stesso insieme ma il primo con la topologia indotta da \(\displaystyle \tau \) e il secondo con quella di \(\displaystyle \tau' \) e similmente per \(Y\) e \(Y'\).