Topologia algebrica
Ciao a tutti.
Qualcuno sa dirmi qual'è il metodo per il calcolo del gruppo fondamentale di uno spazio topologico? (ad esempio la bottiglia di klein)
Se lo calcolo con il punto base p cosa cambia? Come si calcola l'abelianizzato del gruppo?
Cosa si intende per gruppo definito tramite una presentazione?
Qualcuno sa dirmi qual'è il metodo per il calcolo del gruppo fondamentale di uno spazio topologico? (ad esempio la bottiglia di klein)
Se lo calcolo con il punto base p cosa cambia? Come si calcola l'abelianizzato del gruppo?
Cosa si intende per gruppo definito tramite una presentazione
Risposte
Io so calcolare il gruppo fondamentale della bottiglia di klein con Seifert-VanKampen, ti mostro il procedimento, il risultato è un esempio di gruppo definito tramite una presentazione.Intanto il disegno
$pi(A)={Id},pi(B)=ZZ**ZZ=$ (B è contraibile sui "bordi" formati da a,b quindi mi rimangono solo i due lacci che generano il prodotto libero tra due copie di $ZZ$)
$pi(AnnB)=ZZ$
considero le applicazioni (immersioni) $i_A:A->AnnB$ e $i_B:B->AnnB$
quindi usando Seifert-VanKampen $pi(X)=pi(AuuB)=pi(A)**pi(B)//K$
dove K è un insieme di relazioni così definite $K={i_A^(-1)(h)=i_B^(-1)|h in pi(AnnB)}$
nel nostro caso $pi(AnnB)=ZZ=$ è ciclico ci basta mettere una sola relazione, dobbiamo capire il laccio h dell'intersezione cosa diventa se visto rispettivamente in A ed in B. Nel primo caso è semplice perchè A è semplicemente connesso quindi $i_A^(-1)(h)=Id$. Nel secondo non è così semplice, ho fatto un altro disegno:
guardandolo si vede che possiamo deformare in maniera continua il laccio h sul bordo del "quadrato cavo" ottieniamo che $i_B^(-1)(h)=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$
quindi la relazione che otteniamo è $Id=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$
ed il gruppo fondamentale della bottiglia di klein è ${a,b|Id=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)}$
spero ti sia servito a qualcosa
se non conosci il metodo immagino ti sembrerà tutto un po' oscuro. ciao
$pi(A)={Id},pi(B)=ZZ**ZZ=
$pi(AnnB)=ZZ$
considero le applicazioni (immersioni) $i_A:A->AnnB$ e $i_B:B->AnnB$
quindi usando Seifert-VanKampen $pi(X)=pi(AuuB)=pi(A)**pi(B)//K$
dove K è un insieme di relazioni così definite $K={i_A^(-1)(h)=i_B^(-1)|h in pi(AnnB)}$
nel nostro caso $pi(AnnB)=ZZ=
guardandolo si vede che possiamo deformare in maniera continua il laccio h sul bordo del "quadrato cavo" ottieniamo che $i_B^(-1)(h)=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$
quindi la relazione che otteniamo è $Id=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$
ed il gruppo fondamentale della bottiglia di klein è ${a,b|Id=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)}$
spero ti sia servito a qualcosa
se non conosci il metodo immagino ti sembrerà tutto un po' oscuro. ciao
Grazie della spiegazione!
Avrei alcuni dubbi a riguardo
1- Perchè π(A)={Id} (Id=identità?)
2- π(A∩B)=ℤ perchè è un cerchio e piu precisamente una corona?
3- Cosa significa che la relazione che otteniamo è Id=ab-1a-1b-1
Soprattutto ab-1a-1b-1 cosa indica? Ha a che fare con la commutatività dei generatori di un gruppo? Se cosi fosse perchè è ripetuto b^(-1)? Posso ipotizzare che siccome nella bottiglia di Klein b è equivalente al suo opposto b=b^(-1), ma sicuramente è sbagliato
Avrei alcuni dubbi a riguardo
1- Perchè π(A)={Id} (Id=identità?)
2- π(A∩B)=ℤ perchè è un cerchio e piu precisamente una corona?
3- Cosa significa che la relazione che otteniamo è Id=ab-1a-1b-1
Soprattutto ab-1a-1b-1 cosa indica? Ha a che fare con la commutatività dei generatori di un gruppo? Se cosi fosse perchè è ripetuto b^(-1)? Posso ipotizzare che siccome nella bottiglia di Klein b è equivalente al suo opposto b=b^(-1), ma sicuramente è sbagliato
1 In A tutti i lacci sono omotopicamente equivalenti al laccio costante (Id mi sa che è decisamente fuorviante) $pi(A)$ è un gruppo di un unico elemento questo è importante ed è l'elemento neutro questo volevo indicare. Quell'Id consideralo un "e" o comunque indichi l'elemento neutro di un gruppo
2$AnnB$ è una corona, il gruppo fondamentale è $ZZ$ a rigore anche questo andrebbe dimostrato.
3 L'idea di Seifert-VanKampen è di spezzare lo spazio di partenza in due (o più) spazi di cui sappiamo calcolare il gruppo fondamentale e il gruppo dello spazio di partenza è il prodotto dei gruppi dei "sottospazi". Quozientiamo rispetto a quelle relazioni perchè vogliamo che i lacci che "vivono" interamente nell'intersezione siano se visti in A o visti in B la stessa cosa. Questo è il senso di $K={i_A^(-1)(h)=i_B^(-1)(h)|h in pi(AnnB)}$. Io ho fatto proprio questo, ho preso h generatore del gruppo di $AnnB$ questo visto in A è il laccio costante (perchè in A tutti i lacci sono omotopi a quello costante) devo capire in B cosa rappresenta il laccio, nel secondo disegno io ho scelto un verso di percorrenza del laccio (ho messo una piccola freccia, scegliere l'altro avrebbe dato lo stesso risultato) poi ho immaginato di deformare il laccio sul bordo del quadrato e ho visto in che ordine e senso il laccio percorre il bordo sono partito (arbitrariamente ma ripeto ottenevi la stessa cosa partendo da qualunque altro lato) da a (quello a sinistra) che viene percorso nel verso giusto (le frecce del lato e del laccio sono concordi) seguendo il verso della freccia incontriamo il lato b che però viene percorso in senso opposto al suo naturale per questo $b^(-1)$ (perchè b percorso in senso contrario è nel gruppo proprio $b^(-1)$) e così via.
quindi $i_A^(-1)(h)=i_B^(-1)(h)$ diventa nel nostro caso $e=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$.
il gruppo ${a,b}$ (che si può scrivere anche $ZZ**ZZ$ si chiama prodotto libero) rappresenta l'insieme delle parole di lunghezza finita composte da $a,b,a^(-1),b^(-1)$ (conta anche l'ordine non commutano in genere questi gruppi) aggiungendo la relazione ${a,b|e=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)}$ significa che in queste parole ogni volta che incontri la stringa $ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$ puoi cancellarla perchè corrisponde all'elemento neutro. Un esempio semplice può essere $ZZ_2$ lo puoi scrivere come ${a|a^2=e}$. La commutatività non c'entra, anche se con opportune relazioni i gruppi liberi possono diventare abeliani, mi pare sia il caso del toro, domani (ora sto uscendo) ti faccio anche quello. spero di essere stato esauriente altrimenti dimmi! ciao
2$AnnB$ è una corona, il gruppo fondamentale è $ZZ$ a rigore anche questo andrebbe dimostrato.
3 L'idea di Seifert-VanKampen è di spezzare lo spazio di partenza in due (o più) spazi di cui sappiamo calcolare il gruppo fondamentale e il gruppo dello spazio di partenza è il prodotto dei gruppi dei "sottospazi". Quozientiamo rispetto a quelle relazioni perchè vogliamo che i lacci che "vivono" interamente nell'intersezione siano se visti in A o visti in B la stessa cosa. Questo è il senso di $K={i_A^(-1)(h)=i_B^(-1)(h)|h in pi(AnnB)}$. Io ho fatto proprio questo, ho preso h generatore del gruppo di $AnnB$ questo visto in A è il laccio costante (perchè in A tutti i lacci sono omotopi a quello costante) devo capire in B cosa rappresenta il laccio, nel secondo disegno io ho scelto un verso di percorrenza del laccio (ho messo una piccola freccia, scegliere l'altro avrebbe dato lo stesso risultato) poi ho immaginato di deformare il laccio sul bordo del quadrato e ho visto in che ordine e senso il laccio percorre il bordo sono partito (arbitrariamente ma ripeto ottenevi la stessa cosa partendo da qualunque altro lato) da a (quello a sinistra) che viene percorso nel verso giusto (le frecce del lato e del laccio sono concordi) seguendo il verso della freccia incontriamo il lato b che però viene percorso in senso opposto al suo naturale per questo $b^(-1)$ (perchè b percorso in senso contrario è nel gruppo proprio $b^(-1)$) e così via.
quindi $i_A^(-1)(h)=i_B^(-1)(h)$ diventa nel nostro caso $e=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$.
il gruppo ${a,b}$ (che si può scrivere anche $ZZ**ZZ$ si chiama prodotto libero) rappresenta l'insieme delle parole di lunghezza finita composte da $a,b,a^(-1),b^(-1)$ (conta anche l'ordine non commutano in genere questi gruppi) aggiungendo la relazione ${a,b|e=ab^(-1)a^(-1)b^(-1)}$ significa che in queste parole ogni volta che incontri la stringa $ab^(-1)a^(-1)b^(-1)$ puoi cancellarla perchè corrisponde all'elemento neutro. Un esempio semplice può essere $ZZ_2$ lo puoi scrivere come ${a|a^2=e}$. La commutatività non c'entra, anche se con opportune relazioni i gruppi liberi possono diventare abeliani, mi pare sia il caso del toro, domani (ora sto uscendo) ti faccio anche quello. spero di essere stato esauriente
altrimenti dimmi! ciao
se avessi invece il seguente insieme?
A=sfera piena in R^3 di raggio 1
B={xy=0}
Sia X=A intersecato B
Se O è l'origine in R^3 e p è un ponto di X diverso dall'origine come calcolo il gruppo fondamentale II(X-O,p)?
A=sfera piena in R^3 di raggio 1
B={xy=0}
Sia X=A intersecato B
Se O è l'origine in R^3 e p è un ponto di X diverso dall'origine come calcolo il gruppo fondamentale II(X-O,p)?
Se si modifica l'esercizio della bottiglia di Klein aggiungendo il punto p appartenente alla bottiglia e si richiedesse di calcolare II(K,p) cosa cambia?
Quando parli di p spero ti riferisci al punto base, se così fosse nello svolgimento del primo esercizio ho omesso il punto perchè la bottiglia di klein è connessa per archi, e c'è un teorema che dice se x e y sono collegati da un arco allora $pi(X,x)=pi(X,y)$ quindi nel caso della bottiglia di klein il gruppo fondamentale non dipende dal punto base.
Per quanto riguarda l'esercizio che hai postato ti scrivo quello che ho pensato:
La figura sono due dischi che condividono un diametro a cui è stato tolto il punto medio. Io voglio dimostrare che il nostro spazio è omotopicamente equivalente a due circonferenze che condividono due punti precisamente le due circonferenze intersezione del nostro spazio con la sfera (vuota) di raggio 1.
due spazi omotopicamente equivalenti e connessi per archi hanno lo stesso gruppo fondamentale quindi spostiamo il problema a calcolare il gruppo delle due circonferenze intersecate.
chiamo A l'insieme di partenza e B le due circonferenze intersecate. devo trovare $f:A->B$ e $g:B->A$ tali che
$fg~~Id_B$ e $gf~~Id_A$
prendo $g=i$ dove con i intendo l'inclusione. prendo $f(x)=x/(|x|)$ le funzioni sono entrambe ben definite: la prima è ovvio perchè $BsubA$ (ho supposto che la sfera piena di cui parli sia chiusa altrimenti diventa un po' più complicato)
$fg=Id_B$ quindi non devo dimostrare niente qua.
per il viceversa l'omotopia è $F(x,t)=x/(|x|)*((|x|-1)t+1)$
per verifica $F(x,0)=x/(|x|)$ e $F(x,1)=x$
quindi i due spazi sono omotopicamente equivalenti. Io affermo che il gruppo fondamentale di B è $ZZ**ZZ**ZZ$. Per questo un altro disegno:
Usando notazioni analoghe a quelle dei post precedenti vediamo che un laccio di punto base x è un prodotto di lacci del tipo $a_i*a_j^(-1)$, se $a_j$ va da x a y allora $a_j^(-1)$ va da y a x, incollando un cammino da x a y con uno da y a x ottengo uno da x a x, incollando tra loro lacci di questo tipo ottengo tutti i lacci possibili
Quello che io voglio far vedere è che ogni "laccio base" quindi del tipo $a_i*a_j^(-1)$ si può scrivere come prodotto di $a_1*a_j^(-1)$ con $j=2,3,4$
$a_i*a_j^(-1)=[a_i*a_1^(-1)]*[a_1*a_j^(-1)]=[a_1*a_i^(-1)]^(-1)*[a_1*a_j^(-1)]$
quindi concludendo il gruppo fondamentale è generato da $a_1*a_2^(-1),a_1*a_3^(-1),a_1*a_4^(-1)$ che servon anche tutti quindi $pi(B)=pi(A)=ZZ**ZZ**ZZ$
meglio di così non potevo fare se non ti è chiaro dimmi pure, ciao!
Per quanto riguarda l'esercizio che hai postato ti scrivo quello che ho pensato:
La figura sono due dischi che condividono un diametro a cui è stato tolto il punto medio. Io voglio dimostrare che il nostro spazio è omotopicamente equivalente a due circonferenze che condividono due punti precisamente le due circonferenze intersezione del nostro spazio con la sfera (vuota) di raggio 1.
due spazi omotopicamente equivalenti e connessi per archi hanno lo stesso gruppo fondamentale quindi spostiamo il problema a calcolare il gruppo delle due circonferenze intersecate.
chiamo A l'insieme di partenza e B le due circonferenze intersecate. devo trovare $f:A->B$ e $g:B->A$ tali che
$fg~~Id_B$ e $gf~~Id_A$
prendo $g=i$ dove con i intendo l'inclusione. prendo $f(x)=x/(|x|)$ le funzioni sono entrambe ben definite: la prima è ovvio perchè $BsubA$ (ho supposto che la sfera piena di cui parli sia chiusa altrimenti diventa un po' più complicato)
$fg=Id_B$ quindi non devo dimostrare niente qua.
per il viceversa l'omotopia è $F(x,t)=x/(|x|)*((|x|-1)t+1)$
per verifica $F(x,0)=x/(|x|)$ e $F(x,1)=x$
quindi i due spazi sono omotopicamente equivalenti. Io affermo che il gruppo fondamentale di B è $ZZ**ZZ**ZZ$. Per questo un altro disegno:
Usando notazioni analoghe a quelle dei post precedenti vediamo che un laccio di punto base x è un prodotto di lacci del tipo $a_i*a_j^(-1)$, se $a_j$ va da x a y allora $a_j^(-1)$ va da y a x, incollando un cammino da x a y con uno da y a x ottengo uno da x a x, incollando tra loro lacci di questo tipo ottengo tutti i lacci possibili
Quello che io voglio far vedere è che ogni "laccio base" quindi del tipo $a_i*a_j^(-1)$ si può scrivere come prodotto di $a_1*a_j^(-1)$ con $j=2,3,4$
$a_i*a_j^(-1)=[a_i*a_1^(-1)]*[a_1*a_j^(-1)]=[a_1*a_i^(-1)]^(-1)*[a_1*a_j^(-1)]$
quindi concludendo il gruppo fondamentale è generato da $a_1*a_2^(-1),a_1*a_3^(-1),a_1*a_4^(-1)$ che servon anche tutti quindi $pi(B)=pi(A)=ZZ**ZZ**ZZ$
meglio di così non potevo fare
se non ti è chiaro dimmi pure, ciao!
ok è chiaro!
Se invece avessi anche l'origine O quale sarebbe il gruppo fondamentale nell'esercizio precedente?
Il criterio di van kampen utilizzando i due sottoinsiemi quando è possibile usarlo?
Grazie infinite
Se invece avessi anche l'origine O quale sarebbe il gruppo fondamentale nell'esercizio precedente?
Il criterio di van kampen utilizzando i due sottoinsiemi quando è possibile usarlo?
Grazie infinite
Le ipotesi sono $X=X_1uuX_2$ con $X_1,X_2$ aperti connessi per archi, $X_1nnX_2$ non vuoto e connesso per archi. io l'ho imparato dal kosniowski "introduzione alla topologia algebrica" che fa alcuni esempi illuminanti magari ti interessa. ciao 
"rubik":
Le ipotesi sono $X=X_1uuX_2$ con $X_1,X_2$ aperti connessi per archi, $X_1nnX_2$ non vuoto e connesso per archi. io l'ho imparato dal kosniowski "introduzione alla topologia algebrica" che fa alcuni esempi illuminanti magari ti interessa. ciao
ok chiaro!
Se invece avessi anche l'origine O quale sarebbe il gruppo fondamentale nell'esercizio precedente?
Mi ero perso una domanda nel caso ci fosse anche l'origine, il gruppo fondamentale è banale perchè lo spazio è contraibile (è omotopicamente equivalente ad un punto), proprio sull'origine.
bisogna trovare anche qui due funzioni f,g da A a {O} e viceversa.
$i:{O}->A$ l'inclusione e $pi:A->{O}$ l'applicazione costante (per ovvi motivi)
dobbiamo vedere se le composizioni sono omotopicamente equivalenti alle identità:
in un senso è semplice perchè otteniamo proprio l'identità $pi i$
per $i pi$ basta prendere $F(x,t)=tx$ lascio a te verificare che funziona
ciao
nel caso ci fosse anche l'origine, il gruppo fondamentale è banale perchè lo spazio è contraibile (è omotopicamente equivalente ad un punto), proprio sull'origine.bisogna trovare anche qui due funzioni f,g da A a {O} e viceversa.
$i:{O}->A$ l'inclusione e $pi:A->{O}$ l'applicazione costante (per ovvi motivi)
dobbiamo vedere se le composizioni sono omotopicamente equivalenti alle identità:
in un senso è semplice perchè otteniamo proprio l'identità $pi i$
per $i pi$ basta prendere $F(x,t)=tx$ lascio a te verificare che funziona
ciao
Grazie ancora!
Non è che hai un link in cui posso trovare i casi generali del gruppo fondamentale? Per casi generali intendo il gruppo fondamentale degli spazi topologici comuni piu utilizzati (ad es dal cerchio al nastro di mobius)!
Non è che hai un link in cui posso trovare i casi generali del gruppo fondamentale? Per casi generali intendo il gruppo fondamentale degli spazi topologici comuni piu utilizzati (ad es dal cerchio al nastro di mobius)!
non ho riferimenti a parte il libro che ho usato io, che è il kosniowski di cui già ti ho parlato, prova a vedere in biblioteca in università o su wikipedia.
Dati gli insiemi
A=S^2
B=disco in R^3 di raggio 1
C={xy=0}
D={z=0}
Devo trovare il gruppo fondamentale dei seguenti spazi:
1) X=B intersecato C (Ho provato a calcolarlo e mi è venuto II(X)={e}
2) X= A intersecato C (II(X)=ZxZ)
3) X=(B intersecato C) - {(0,0,0)} (II(X)=ZxZ)
4) X=(B intersecato C) unito (A intersecato D) (II(X)=Z)
Sono giusti i risultati?
A=S^2
B=disco in R^3 di raggio 1
C={xy=0}
D={z=0}
Devo trovare il gruppo fondamentale dei seguenti spazi:
1) X=B intersecato C (Ho provato a calcolarlo e mi è venuto II(X)={e}
2) X= A intersecato C (II(X)=ZxZ)
3) X=(B intersecato C) - {(0,0,0)} (II(X)=ZxZ)
4) X=(B intersecato C) unito (A intersecato D) (II(X)=Z)
Sono giusti i risultati?
dimmi B quale disco è, perchè non ho ben capito, poi domani appena posso ci penso
"rubik":
dimmi B quale disco è, perchè non ho ben capito, poi domani appena posso ci penso
B={X^2+Y^2+Z^2<=1}
Intendevo il disco pieno scusami
1 mi pare giusto
2 se il disegno è questo
http://img239.imageshack.us/my.php?imag ... inekk6.jpg
allora uno di noi due ha sbagliato, e dovrebbe essere giusta la mia risoluzione ho provato anche con un altra tecnica e mi viene lo stesso risultato, d'altra parte sono uno studente come te quindi...
3 come sopra, l'insieme di partenza sono due dischi con un diametro in comune privato del centro (giusto?), vale quello che ho detto al punto 2
4 stavolta la figura sono due dischi con un diametro in comune e una cinconferenza che li interseca agli estremi di questo diametro (giusto?) il gruppo fondamentale è $ZZ**ZZ$ (prodotto libero).
Prendi tutto con le dovute cautele, a parte questo, quello che mi sembra un po' strano sono i prodotti diretti tra gli $ZZ$ come hai dedotto che i generatori commutano? Poi guardando il 2-3-4 mi sembra che in ogni caso ti sei perso un generatore (o forse io ne ho messo uno di più). Se ho sbagliato qualche figura dimmi. ciao
2 se il disegno è questo
http://img239.imageshack.us/my.php?imag ... inekk6.jpg
allora uno di noi due ha sbagliato, e dovrebbe essere giusta la mia risoluzione ho provato anche con un altra tecnica e mi viene lo stesso risultato, d'altra parte sono uno studente come te quindi...
3 come sopra, l'insieme di partenza sono due dischi con un diametro in comune privato del centro (giusto?), vale quello che ho detto al punto 2
4 stavolta la figura sono due dischi con un diametro in comune e una cinconferenza che li interseca agli estremi di questo diametro (giusto?) il gruppo fondamentale è $ZZ**ZZ$ (prodotto libero).
Prendi tutto con le dovute cautele, a parte questo, quello che mi sembra un po' strano sono i prodotti diretti tra gli $ZZ$ come hai dedotto che i generatori commutano? Poi guardando il 2-3-4 mi sembra che in ogni caso ti sei perso un generatore (o forse io ne ho messo uno di più). Se ho sbagliato qualche figura dimmi. ciao
@rubik
Pssst: se vuoi che banniamo Jazz_Lover prima che ti risponda, non hai che da dirlo
Pssst: se vuoi che banniamo Jazz_Lover prima che ti risponda, non hai che da dirlo
"Fioravante Patrone":
@rubik
Pssst: se vuoi che banniamo Jazz_Lover prima che ti risponda, non hai che da dirlo
sono stato brusco?
"rubik":
1 mi pare giusto
2 se il disegno è questo
http://img239.imageshack.us/my.php?imag ... inekk6.jpg
allora uno di noi due ha sbagliato, e dovrebbe essere giusta la mia risoluzione ho provato anche con un altra tecnica e mi viene lo stesso risultato, d'altra parte sono uno studente come te quindi...
3 come sopra, l'insieme di partenza sono due dischi con un diametro in comune privato del centro (giusto?), vale quello che ho detto al punto 2
4 stavolta la figura sono due dischi con un diametro in comune e una cinconferenza che li interseca agli estremi di questo diametro (giusto?) il gruppo fondamentale è $ZZ**ZZ$ (prodotto libero).
Prendi tutto con le dovute cautele, a parte questo, quello che mi sembra un po' strano sono i prodotti diretti tra gli $ZZ$ come hai dedotto che i generatori commutano? Poi guardando il 2-3-4 mi sembra che in ogni caso ti sei perso un generatore (o forse io ne ho messo uno di più). Se ho sbagliato qualche figura dimmi. ciao
Le figure sono giuste!
ma se ho due cerchi concentrici non posso vedere X come unione di cerchi la cui intersezione non è vuota, cosi facendo il gruppo fondamentale sarebbe pari al prodotto di due gruppi fondamentali del cerchio---> quindi ottengo ZxZ
in questo caso l'intersezione dei due cerchi è formata solo da due punti---> il gruppo fondamentale è banale
ottengo alla fine II(X)=II(A)xII(B)|K=ZxZ={a,b | e'=e''}
indicando con A e B il primo e il secondo cerchio, in questo caso K= {e'=e'', ovvero il laccio banale di un gruppo equivale al laccio banale dell'altro gruppo}
Per quanto riguarda il discorso dei due dischi concentrici privati dell'origine farei lo stesso discorso dopo aver dimostrato che una corona è omotopa al cerchio....
Cioè, se sbaglio, dove sbaglio?
@ rubik
no, secondo me Fioravante ti sta dicendo che sei stato fin troppo paziente...
ciao.
no, secondo me Fioravante ti sta dicendo che sei stato fin troppo paziente...
ciao.
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