Topologia
Sia $X$ compatto di Hausdorff e $X_a$ una partizione di $X$ formata da tutti chiusi. Si scelga un elemento per
ogni $X_a$ e si denoti con $Y$ l'insieme di punti di $X$ ottenuti con tale scelta. Dire se $Y$ è chiuso nella
topologia di sottospazio.
In caso negativo dire se esiste almeno una scelta tale che $Y$ siano chiuso.
ogni $X_a$ e si denoti con $Y$ l'insieme di punti di $X$ ottenuti con tale scelta. Dire se $Y$ è chiuso nella
topologia di sottospazio.
In caso negativo dire se esiste almeno una scelta tale che $Y$ siano chiuso.
Risposte
quindi è come se scegliessi una relazione di equivalenza su X (due punti sono equivalenti se e solo se apartengono allo stesso Xa) e mettessi su tale spazio la più debole topologia per cui la proiezione è continua..ora in generale la proprietà di essere Hausdorff non passa al quoziente(basta pensare alle matrici 2x2 quozientate rispetto al coniugio)..però negli Hausdorff i punti sono chiusi e un punto in Y è chiuso se il suo complementare è aperto..questo è aperto se è aperta la sua immagine inversa tramite la proiezione ma questa è un'unione di chiusi che si può ridurre ad un'unione finita perchè X è compatto e quindi è l'immagine inversa è chiusa,per cui il quoziente non è Hausdorff..può andare??
sinceramente non ci ho capito nulla... non ho capito cosa avresti dimostrato.
Fra l'altro $Y$ ha la topologia di sottospazio, e non quella quoziente ...
Fra l'altro $Y$ ha la topologia di sottospazio, e non quella quoziente ...
Ma perchè "$Y$ chiuso nella topologia di sottospazio"? $Y$ come spazio topologico è sempre aperto e chiuso.
Non dovrebbe essere "$Y$ chiuso in $X$"?
Non dovrebbe essere "$Y$ chiuso in $X$"?
si scusate pensavo di prendere una strada sull'unione di punti(chiusi negli Haudorff) che però poi non porta a nulla perchè Y può avere cardinalità infinita..cmq se gli Xa sono in numero finito allora Y è chiuso in X perchè ogni punto di Y è chiuso in X in quanto lo spazio è di Hausdorff,quindi Y è unione finita di chiusi e per tanto chiuso..se gli Xa fossero in numero infinito non potrebbero essere disgiunti perchè i loro complementari fornirebbero un ricoprimento aperto di X riconducibile ad un sottoricoprimento finito per compattezza di X e quindi verrebbe meno l'ipotesi che gli Xa sono una partizione.
ora che ci penso si può ripartire l'intervallo [0,1] come unione finita di chiusi disgiunti??
ora che ci penso si può ripartire l'intervallo [0,1] come unione finita di chiusi disgiunti??
Beh no, dato che [0,1] è connesso
Per quanto riguarda il problema originario mi pare che si possa costruire un controesempio alla prima affermazione:
Sia $X$ l'unione dell'intervallo $[-1,0]$ con l'immagine della successione $(1/n)$. Tale $X$ è chiuso in $R$ dunque compatto.
Prendiamo la partizione definita da $Y_0:=[-1,0]$ e $Y_n:={1/n}$. Tutti gli $Y_k$ sono chiusi ($k=0,1,...$). Se però prendiamo
$y_0:=-1$ e $y_n:=1/n$ è chiaro che l'unione $Y$ di tutti gli $y_n$ non è chiusa in quanto $y_z->0$ e $0$ non appartiene a $Y$.
L'esempio suggerisce peraltro che dovrebbe essere possibile scegliere opportunamente $y_a$ in $Y_a$ in maniera che $Y$ venga
chiuso - bisognerà sicuramente sfruttare la compattezza.
"alberto86":Beh sì: $[0,1]=\bigcup_{i=1}^1 [0,i]$ ... (leggi: no)
ora che ci penso si può ripartire l'intervallo [0,1] come unione finita di chiusi disgiunti??
Dopo averci ripensato mi sembra che non sia vera nemmeno, in generale, l'esistenza di UNA scelta di punti
per cui $Y$ risulta chiuso. Si può in effetti modificare l'esempio precedente definendo $X$ come l'unione dell'intervallo
$[-1,1]$ e delle due successioni $(1+1/n)$, $(-1-1/n)$. Come partizione prendiamo $Y_0:=[-1,1]$,
$Y_n:={1+1/n}$ per $n$ intero positivo e $Y_n:=-1+1/n$ per $n$ intero negativo. Dovendo prendere
un punto $y_n$ per ogni insieme $Y_n$ siamo chiaramente costretti a prendere $y_n=1+1/n$ per $n$ positivo
e $y_n:=-1+1/n$ per $n$ negativo. A questo punto $Y$ conterrà per forza due successioni, una tendente
a $1$ e l'altra tendente a $-1$ - dato che possiamo prendere un solo punto $y_0$ in $Y_0$ non è possibile fare
in modo che $Y$ sia chiuso.
Mi inchino all'evidenza ...
per cui $Y$ risulta chiuso. Si può in effetti modificare l'esempio precedente definendo $X$ come l'unione dell'intervallo
$[-1,1]$ e delle due successioni $(1+1/n)$, $(-1-1/n)$. Come partizione prendiamo $Y_0:=[-1,1]$,
$Y_n:={1+1/n}$ per $n$ intero positivo e $Y_n:=-1+1/n$ per $n$ intero negativo. Dovendo prendere
un punto $y_n$ per ogni insieme $Y_n$ siamo chiaramente costretti a prendere $y_n=1+1/n$ per $n$ positivo
e $y_n:=-1+1/n$ per $n$ negativo. A questo punto $Y$ conterrà per forza due successioni, una tendente
a $1$ e l'altra tendente a $-1$ - dato che possiamo prendere un solo punto $y_0$ in $Y_0$ non è possibile fare
in modo che $Y$ sia chiuso.
Beh sì: [0,1]=⋃i=11[0,i]
Mi inchino all'evidenza ...
Salve ragazzi! mi sono appena iscritto e vorrei sapere come si fa a preparare degli articoli (semmai li volessi scrivere): sul profilo c'è una sezione articoli ma non sò come si usa. Ho capito il controesempio alla prima affermazione del problema, e mi complimento con l'autore!! Ma per la seconda affermazione non è stato fatto nulla, giusto? la caso se avrò tempo ci darò un'occhiata!! Un saluto
"ViciousGoblinEnters":
Dopo averci ripensato mi sembra che non sia vera nemmeno, in generale, l'esistenza di UNA scelta di punti
eh già... molto bene.
nota che nel tuo esempio hai usato degli insiemi a due a due disgiunti, ma non omeomorfi...
domanda: se gli $X_a$ sono a due a due omeomorfi, cosa succede?
"Bosch":
Salve ragazzi! mi sono appena iscritto e vorrei sapere come si fa a preparare degli articoli (semmai li volessi scrivere): sul profilo c'è una sezione articoli ma non sò come si usa. Ho capito il controesempio alla prima affermazione del problema, e mi complimento con l'autore!! Ma per la seconda affermazione non è stato fatto nulla, giusto? la caso se avrò tempo ci darò un'occhiata!! Un saluto
veramente è stata mostrata la falsità della "seconda" affermazione.
per l'articolo puoi postare nella sezione "generale"
domanda: se gli Xa sono a due a due omeomorfi, cosa succede?
Credo che non cambi molto se al posto dei punti si prendono degli intervalli chiusi piccoli.
Per esempio si può prendere $Y_0:=[-1,1]$, $Y_n:=[1+1/n,1+1/n+1/n^2]$ per $n$ intero positivo e
$Y_n:=[-1+1/n-1/n^2,-1+1/n]$ per $n$ intero negativo. Per ogni $n$ diverso da zero
scegliamo ad arbitrio un $y_n$ in $Y_n$ -
i punti così trovati formano due successioni, una tendente a 1 e l'altra a $-1$. Quindi è di nuovo
impossibile scegliere un singolo $y_0$ per cui l'unione di tutti gli $y_n$ sia chiusa.
Questa volta gli $Y_n$ sono tutti omeomorfi tra loro.
Mi sembra che funzioni, no?
mmm.. domani la vedo con calma, ma non credo che funzioni: se ogni insieme delle partizione contiene punti interni, prendendo un punto interno per ogni insieme si dovrebbe ottenere un chiuso (tutti punti isolati!).
ma non è mica vero che un insieme fatto solo di punti isolati è chiuso - prendi l'immagine della
(solita) successione $1/n$
ciao
(solita) successione $1/n$
ciao
ok... allora funziona!
P.s. tardi e febbricitante facevo meglio a starmi zitto!
P.s. tardi e febbricitante facevo meglio a starmi zitto!
Ah scusate mi sono sbagliato; grazie dell'informazione; ma, a questo punto che mi sono un pò perso nella miriade dei commenti, a quali domande si è trovata una risposta? Scusandomi pe l'ulteriore disturbo, come cavolo si fa a guadagnare più esperienza (ad accendere le lampadine sotto la figura a sinistra, insomma 
) Ciao a tutti.
) Ciao a tutti.
è stato mostrato che può non esistere una scelta di un punto per ogni $X_a$ tale che l'insieme $Y$ sia chiuso neanche sotto l'ulteriore ipotesi che gli $X_a$ siano a due a due omeomorfi. Oltre ai controesempi portati da vicious, c'è anche il seguente molto elegante: circonferenza unitaria $S_1$, ogni $X_a$ formato da una coppia di punti antipodali. Per assurdo $Y$ sia chiuso, allora anche $X_1-Y$ è chiuso (verificare!) dunque $Y$ è aperto e chiuso: assurdo perchè $S_1$ è connessa.
Per le lampadine si accendono di volta in volta quando superi certe soglie di post mandati. I moderatori ce le hanno accese tutte indipendentemente dal numero dei post.
Per le lampadine si accendono di volta in volta quando superi certe soglie di post mandati. I moderatori ce le hanno accese tutte indipendentemente dal numero dei post.
circonferenza unitaria S1, ogni Xa formato da una coppia di punti antipodali. Per assurdo Y sia chiuso, allora anche X1-Y è chiuso (verificare!) dunque Y è aperto e chiuso: assurdo perchè S1 è connessa.
BELLO
"ViciousGoblinEnters":circonferenza unitaria S1, ogni Xa formato da una coppia di punti antipodali. Per assurdo Y sia chiuso, allora anche X1-Y è chiuso (verificare!) dunque Y è aperto e chiuso: assurdo perchè S1 è connessa.
BELLO
già ... ma non mio!
visto che ti piace la topologia metto un'altra cosetta in Topologia 2
Vi state sbagliando.
Un sottoinsieme di uno spazio topologico di Hausdorff è anche esso di Hausdorff.
Una partizione ha elementi con intersezione nulla.
detto ciò:
considero gli Xa. Essi ricoprono X per ipotesi essendo una partizione. Essendo chiusi in Hausdorff contengono aperti disgiunti(teo banale) e non nulli. La Collezione di questi aperti non è un ricoprimento di X tuttavia contengono almeno un punto per ogni Xa.
Estraggo da questa collezione di aperti un sottoricoprimento finito.
Scelgo per ognuno di essi un punto. Essi sono quindi in numero finito!
necessariamente avrò punti distinti perchè appartenenti a partizioni disgiunte.
La loro unione la indico con Y. Y è chiuso o aperto?
teorema:
In uno spazio topologico di Hausdorff ogni punto è necessariamente chiuso.
se non mi credete prendete il Lang: Real and functional analysis
segue che comunque io prenda un punto di Y esso è chiuso. Ora considero la loro unione FINITA
ed ottengo un chiuso! Chiuso nella topologia di sottospazio!
Un sottoinsieme di uno spazio topologico di Hausdorff è anche esso di Hausdorff.
Una partizione ha elementi con intersezione nulla.
detto ciò:
considero gli Xa. Essi ricoprono X per ipotesi essendo una partizione. Essendo chiusi in Hausdorff contengono aperti disgiunti(teo banale) e non nulli. La Collezione di questi aperti non è un ricoprimento di X tuttavia contengono almeno un punto per ogni Xa.
Estraggo da questa collezione di aperti un sottoricoprimento finito.
Scelgo per ognuno di essi un punto. Essi sono quindi in numero finito!
necessariamente avrò punti distinti perchè appartenenti a partizioni disgiunte.
La loro unione la indico con Y. Y è chiuso o aperto?
teorema:
In uno spazio topologico di Hausdorff ogni punto è necessariamente chiuso.
se non mi credete prendete il Lang: Real and functional analysis
segue che comunque io prenda un punto di Y esso è chiuso. Ora considero la loro unione FINITA
ed ottengo un chiuso! Chiuso nella topologia di sottospazio!
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