Topologia

[miuemia]

ciao ragazi un esercizio carino di topologia, so che può sembrare semplice
Sia $X$ spazio topologico compatto e $K in X$ chiuso e discreto $=>$ $K$ finito...
ciao ciao

[amel3]

Direi che la dimostrazione si può condurre così, magari controlla anche tu se ti torna (che non abbia scritto castronerie...)

Un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è compatto, quindi $E$ è compatto.
Inoltre, $E$ per ipotesi è discreto, cioè ogni $e in E$ possiede un intorno aperto $U_e$ in $X$ tale che $U_e nn E ={e}$.
E' chiaro che, se prendo tali $U_e$ $AA e in E$, essi costituiscono un ricoprimento aperto di $E$. Per la compattezza, posso estrarre un sottoricoprimento finito di $E$. Ciò significa che, per opportuni elementi di $E$, $e_1, e_2, ... e_m$, si ha che $E sube U_(e_1) uu ... uu \ U_(e_m) $. A questo punto, se vi fossero altri elementi di $E$ diversi da $e_1, e_2, ... e_m$, si avrebbe un assurdo.
Infatti, se ci fosse un qualunque altro elemento $e_(m+1) in E$, allora esisterebbe un $e_i$ tra gli $e_1, ..., e_m$ per cui $e_(m+1) in U_(e_i)$. Dunque, sarebbe $e_(m+1) in U_(e_i) nn E ={e_i}$ e così $e_(m+1) = e_i$, mentre si era supposto il contrario, di qui l'assurdo.

[miuemia]

direi che nn f un grinza....
era facile....

[amel3]

"miuemia":
era facile....

OK, allora la prossima volta lo svolgi tu...
Scherzo ovviamente... ma, seriamente, per curiosità, era un quiz o un esercizio per cui ti interessava un parere? (in ogni caso l'ho fatto volentieri, di esercizi sulla topologia non se ne fanno mai abbastanza...)

[miuemia]

era un quiz...
mi dovrò impegnare a trovare esercizi un pò più difficili.

[Principe2]

in generale uno spazio discreto è compatto sse è finito, in quanto i punti sono aperti.