Topologia

[Principe2]

Sia $X\subset R^2$ dato dall'unione del cerchio unitario $S^1={(x,y)\in R^2: x^2+y^2=1}$ con l'immagine della mappa $f$ dai reali positivi ad $R^2$ definita da $f(t)=e^t(cos(t^{-1}),sin(t^{-1}))$. Mostrare che X è connesso, ma non è connesso per archi.
Cambia qualcosa se ad X si tolgono due punti di $S^1$?

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Sia $X\subset R^2$ dato dall'unione del cerchio unitario $S^1={(x,y)\in R^2: x^2+y^2=1}$ con l'immagine della mappa $f$ dai reali positivi ad $R^2$ definita da $f(t)=e^t(cos(t^{-1}),sin(t^{-1}))$. Mostrare che X [...] non è connesso per archi.

Basta osservare che $S_1$ ed $f(\mathbb{R}^+)$ sono sottoinsiemi disgiunti del piano. Posto infatti $x(t) := e^t \cdot \cos(1/t)$ ed $y(t) := e^t \cdot \sin(1/t)$, per $t \in ]0, +\infty[$, vale $x^2(t) + y^2(t) = e^{2t}$, e non esiste alcun $t \in \mathbb{R}^+$ tale che $e^{2t} = 1$.

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Sia $X\subset R^2$ dato dall'unione del cerchio unitario $S^1={(x,y)\in R^2: x^2+y^2=1}$ con l'immagine della mappa $f$ dai reali positivi ad $R^2$ definita da $f(t)=e^t(cos(t^{-1}),sin(t^{-1}))$. Mostrare che X è connesso [...]

Ovviamente $S^1$ ed $f(\mathbb{R}^+)$ sono connessi, poiché connessi per archi. Inoltre non sono separati, poiché $\lim_{t \to 0^+} $||$f(t)$|$|^2 = 1$. Dunque $ f(\mathbb{R}^+) \cup S^1$ è connesso. Sussiste infatti la seguente condizione:

se $(X, \tau)$ è uno spazio topologico ed $A, B \subseteq X$ sono insiemi connessi non separati, allora $A \cup B$ è connesso.

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":
Cambia qualcosa se ad X si tolgono due punti di $S^1$?

No. Se infatti $s_1$ ed $s_2$ sono gli archi in cui il cerchio unitario $S^1$ viene ripartito eliminandovi due punti distinti $P_1$ e $P_2$, allora $s_1$, $s_2$ ed $f(\mathbb{R}^+)$ sono insiemi connessi e a due a due non separati. Dunque la loro unione è ancora un insieme connesso.