Topologia 2

[Principe2]

Uno spazio compatto di Hausdorff è detto estremamente disconnesso se la chiusura di ogni suo aperto è ancora un aperto.

Sia $X$ estremamemente disconnesso, $Y$ sottospazio chiuso. $Y$ è estremamente disconnesso?

[Luca.Lussardi]

A intuito mi verrebbe da dire di sì, visto quel per ogni inziale... ma mi fai un esempio di spazio così orrendo?

[Principe2]

lo vuoi facile o difficile?

facile: un insieme finito di punti con la topologia discreta

difficile: un insieme che è la compattificazione di Stone-Cech dei suoi punti isolati. (Lacey, nel libro The isometric theory of classical Banach spaces, 1974, Springer, a pag. 95 dice: It is clear! ... è anche iperstoniano, per la cronaca)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"ubermensch":facile: un insieme finito di punti con la topologia discreta

Beh, l'ipotesi di finitezza non è necessaria..

Comunque un altro esempio facile è uno spazio con la topologia banale (solo il vuoto e tutto sono aperti)
In effetti non me ne vengono in mente altri di facili.

[Principe2]

"Martino":
Beh, l'ipotesi di finitezza non è necessaria..

Certo...

mmm.. vediamo se funziona questa: $Y$ è chiusura della sua parte interna e quindi è anche aperto. Sia ora $A\subset Y$ aperto. Allora siccome $Y$ è chiuso, la chiusura di $A$ in $Y$ coincide con quella in $X$. Dunque la chiusura di $A$ è aperta in $X$. MA $Y$ è anche aperto e quindi gli aperti di $Y$ sono gli stessi di quelli in $X$. Quindi la chiusura di $A$ è aperta anche in $Y$.