Topologia (2)

[Principe2]

Sia $M_2(R)$ lo spazio delle matrici quadrate 2x2 dotato della topologia euclidea e sia S il sottospazio di $M_2(R)$ delle matrici simmetriche e $Y\subsetS$ quello delle matrici simmetriche e definite positive. Dim che Y è aperto in S (nella topogia di sottospazio) e che è connesso per archi.

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":Sia $M_2(R)$ lo spazio delle matrici quadrate 2x2 dotato della topologia euclidea e sia S il sottospazio di $M_2(R)$ delle matrici simmetriche e $Y\subsetS$ quello delle matrici simmetriche e definite positive. Dim che Y è aperto in S (nella topogia di sottospazio).

Come noto, una matrice simmetrica reale ha tutti e soli autovalori reali. Ciò premesso, accade che $A$ è definita positiva sse ogni autovalore di $A$ è positivo. Sia $P(\lambda)$ il polinomio caratteristico di $A$. Poiché le radici di $P(\cdot)$ sono funzioni continue dei coefficienti, esiste $r > 0$ tale che anche gli zeri del polinomio $P_\epsilon(\lambda)$ ottenundo perturbando i coefficienti di $P(\lambda)$ di una quantità reale $\epsilon \in$ $]-r, r[$ si mantengono positivi. Questo significa che, per ogni $\epsilon \in$ $]-r,r[$, gli autovalori della matrice $A + \epsilon U$, dove $U$ è la matrice che ha $1$ su ogni riga e colonna, hanno tutti segno positivo. Senonché $A + \epsilon U$ descrive la frontiera di un disco aperto di centro $A$ e raggio $\epsilon$ nella topologia di sottospazio indotta su $Y$ da $M_2(\mathbb{R})$ euclideo. Pertanto $Y$ è aperto in questa stessa topologia.