Teoria:matrice associata ad un'applicazione lineare
salve a tutti,quando il mio libro va a definire una matrice associata ad un'applicazione lineare(salto la parte iniziale) dice il vettore $f(v)=x_1f(e_1)+......+x_n f(e_n)$ in quanto vettore di $W$ può essere espresso come comb. lineare dei vettori di una base del codominio.Pertanto $f(v)=y_1*e'_1+y_2*e'_2+........+y_me'_m$ e fino a qui mi trovo.Poi dice: analogamente,anche i vettori $f(e_1),.....f(e_n)$ possono essere espressi come combinazioni lineari dei vettori di una base del codominio: $f(e_1)=a_(11)*e'_1+a_(21)*e'_2+..........a_(m1)*e'_m$ e così via con gli altri vettori $f(e_2),......,f(e_n)$.Il problema è che non riesco proprio a capire da dove escono e perchè butta in mezzo da un momento all'altro quei termini $a_(ij)$ grazie!
Risposte
Quelli citati sono le immagini dei vettori della base del dominio , ovviamente per ottenere tali immagini fai operare l'applicazione $ f $ in questione . Per ciò che riguarda i termini a(ij) sono degli scalari a cui dai tale configurazione per poterli poi inserire come entrate della matrice che ti rappresenterà l'applicazione !
ok ma quindi i termini $a_(ij) in base a cosa li scelgo?Intendo dire il primo indice cosa mi indica?e il secondo?
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Sia $f:V\toW$ un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di dimensione rispettivamente $n$ e $m$. Sia $H={v_1,v_2,.......v_n}$ una base di $V$ e $K={w_1,w_2,.......w_m}$ una base di$W$.
La matrice che rappresenta l'applicazione lineare $f:V\toW$ è una matrice di tipo $mxn$ ovvero avrà $m$ righe e $n$ colonne.
Le colonne di questa matrice saranno costituite per costruzione dalle componenti rispetto alla base $K$ dei trasformati dei vettori della base $H$.
Iniziamo:
$f(v_1)=a_(11)w_1+a_(21)w_2+.........+a_(m1)w_m$
$f(v_2)=a_(12)w_1+a_(22)w_2+.........+a_(m2)w_m$
$.......................................................$
$f(v_n)=a_(1n)w_1+a_(2n)w_2+.........+a_(mn)w_m$
Ora vado a costruire la matrice $A_f$ che rappresenta l'applicazione lineare nelle due basi fissate.
$A_f=((a_(11), a_(12),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(1n)),(a_(21),a_(22),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(2n)),(.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,),(a_(m1), a_(m2),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(mn)))$
La matrice che rappresenta l'applicazione lineare $f:V\toW$ è una matrice di tipo $mxn$ ovvero avrà $m$ righe e $n$ colonne.
Le colonne di questa matrice saranno costituite per costruzione dalle componenti rispetto alla base $K$ dei trasformati dei vettori della base $H$.
Iniziamo:
$f(v_1)=a_(11)w_1+a_(21)w_2+.........+a_(m1)w_m$
$f(v_2)=a_(12)w_1+a_(22)w_2+.........+a_(m2)w_m$
$.......................................................$
$f(v_n)=a_(1n)w_1+a_(2n)w_2+.........+a_(mn)w_m$
Ora vado a costruire la matrice $A_f$ che rappresenta l'applicazione lineare nelle due basi fissate.
$A_f=((a_(11), a_(12),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(1n)),(a_(21),a_(22),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(2n)),(.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,),(a_(m1), a_(m2),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(mn)))$
Quei pedici li poni in modo tale da porli come entrate della tua matrice , ne più ne meno ! 
"and1991":
ok ma quindi i termini $a_(ij)$ in base a cosa li scelgo?Intendo dire il primo indice cosa mi indica?e il secondo?
Non si tratta di scegliere, una volta fissate le basi gli elementi $a_(ij)$ si determinano in maniera univoca.
Esempio sia $f:RR^3\toRR^2$ cosi definita:
$f(x,y,z)=(3x-y+z,x-z)$, se fissiamo le basi canoniche nei rispetti spazi vettoriali:
${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ in $RR^3$ e ${(1,0),(0,1)}$ in $RR^2$; la matrice che rappresenta $f$ nelle basi fissate si costruisce in questo modo:
$f(1,0,0)=(3,1)$
$f(0,1,0)=(-1,0)$
$f(0,0,1)=(1,-1)$
Le componenti di $(3,1)$ nella base di $RR^2$ sono proprio $(3,1)$
Le componenti di $(-1,0)$ nella base di $RR^2$ sono proprio $(-1,0)$
Le componenti di $(1,-1)$ nella base di $RR^2$ sono proprio $(1,-1)$
Quindi la matrice $A_f=((3,-1,1),(1,0,-1))$
Quando la base è quella canonica nel codominio, determinare la matrice che rappresenta l'applicazione lineare è semplice, le cose sono fastidiose quando la base non è quella canonica.
ESEMPIO: Calcolare la matrice che rappresenta l'applicazione lineare precedente $f:RR^3\toRR^2$ cosi definita:
$f(x,y,z)=(3x-y+z,x-z)$, con le basi:
${(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ in $RR^3$ e ${(1,1),(2,-1)}$ in $RR^2$;
grazie per le risposte ragazzi!forse non mi sono spiegato bene.Ho capito la parte iniziale ma mi perdo proprio quando dici:
Perchè i vettori trasformati li esprimi mettendo gli $a_(ij)?$è questo il passaggio che non capisco!
"weblan":
Le colonne di questa matrice saranno costituite per costruzione dalle componenti rispetto alla base $K$ dei trasformati dei vettori della base $H$.
Iniziamo:
$f(v_1)=a_(11)w_1+a_(21)w_2+.........+a_(m1)w_m$
$f(v_2)=a_(12)w_1+a_(22)w_2+.........+a_(m2)w_m$
$.......................................................$
$f(v_n)=a_(1n)w_1+a_(2n)w_2+.........+a_(mn)w_m$
Ora vado a costruire la matrice $A_f$ che rappresenta l'applicazione lineare nelle due basi fissate.
$A_f=((a_(11), a_(12),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(1n)),(a_(21),a_(22),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(2n)),(.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,),(a_(m1), a_(m2),.,.,.,.,.,.,.,.,a_(mn)))$
Perchè i vettori trasformati li esprimi mettendo gli $a_(ij)?$è questo il passaggio che non capisco!
not very much!penso di aver capito!grazie per la pazienza XD
Perchè i vettori trasformati li esprimi mettendo gli $a_(ij)?$è questo il passaggio che non capisco!
Se abbiamo un numero arbitrario finito di vettori devo necessariamente utilizzare simboli a doppi indici, hai una risorsa infinita di coefficienti.
Se ti dicessi di fare una combinazione lineare di $3$ vettori non scomodi gli indici, cosa diversa se ti dico di fare una combinazione lineare di $100$ vettori. Dove vai a pescare i cento scalari da "inserire" davanti ai $100$ vettori. Un simbolo con indice risolve il problema.
grazie ancora 
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