Teoria su applicazioni lineari

[stefano_89]

Ho una semplice domanda riguardante l' utilizzo delle appliczioni lineari: se ho una matrica A rappresentante, ad esempio, un endorfismo da R3 a R3, per trovare i vettori finiscono nel nucleo, e quindi per trovarne una base, so che basta moltiplicare la matrice A per un vettore (x,y,z) ed eguagliare il tutto al vettore nullo, ok ?
ma nel caso io debba trovare una base per l' immagine di quell' endomorfismo, come dovrei fare ??
Potrei fare una riduzione a scala della matrice A ? così se ci fosse un nucleo di dimensione maggiore o uguale ad 1, otterrei una o più righe nulle, e le rimanenti sarebbero la base dell' immagine.. è un' idea strampalata ?

[Camillo]

Per determinare il kernel dell'applicazione risolvi il sistema lineare omogeneo $AX =0 $ , come tu stesso hai detto.
Una volta trovato come è fatto il kernel , cioè da quali vettori è costituito e che dimensione ha , è facile trovarne una base.
Se vuio trovare una base di Im f esamina la matrice $A$ , le sue colonne sono dei genratori di Im f , ma non necessariamente una base .
Scegli allora le colonne linearmente indipendenti della matrice : esse saranno una base di Im f.
Per controllo/ verifica / aiuto ricorda che
$dim RR^3 = 3 = dim ker f +dim Im f $ .

[stefano_89]

Scegli allora le colonne linearmente indipendenti della matrice : esse saranno una base di Im f.

ah ok grazie mille..
quindi il metodo della riduzione a scala è corretto: perchè ciò che mi rimane sono proprio 2 vettori indipendenti, esatto ? (chiaramente riduzione su colonne, non su righe)

[Camillo]

Si , che poi siano 2 o 1 o 3 dipende dal rango della matrice che è pari alla dim Im f .
Ad esempio se il rango è 3 , allora l'applicazione è suriettiva , iniettiva ( dim ker f = 0 ) quindi biiettiva.
Se invece ad es. il rango fosse 2 , allora l'applicazione non è nè suriettiva nè iniettiva .

[stefano_89]

rango

grazie mille, tutto chiarissimo..
volevo fare una ultimissima domanda, molto stupida, riguardo ai ranghi appunto, ma mi sta dando da pensare:
se ho la matrice di una applicazione lineare A, ad esempio 3x3, con un parametro variabile al suo interno, mettiamo "a". mi si chiede di trovare per quali valori di "a" un certo vettore finisce nel nucleo. Allora io prendo la matrice, la moltiplico per tale vettore ed eguaglio a zero.
A questo punto mi viene che non è importante il valore di "a" perchè tutto finisce nel nucleo, non rimane alcun parametro. Come dovrei interpretarlo ? semplicemnte quella famiglia di vettori va nel nucleo indipendemente dal valore del parametro ? oppure si può dire anche qualcos' altro ?

Poi se faccio AX=0, ottengo 2 valori di "a": chiaramente se "a" è diverso da quei valori, devo controllare le condizioni su x,y,z, e vedo che ottengo proprio la famiglia di vettori che ho trovato nella prima parte dell' esercizio. Quindi cosa posso concludere, che tale applicazione lineare manda nel nucleo quella famiglia di vettori indipendentemente dal valore di "a", e se quel parametro assume uno dei2 valori particolari, tutto finisce nel nucleo?

Per chiarezza riporto un esempio, anche se scritto male..

A =
| a 1 -1-a |
| 1 -1 0 |
| 0 a -a |

Si chiede di trovare per quali valori di "a" , il vettore v =(111) apprtiene al nucleo:
il sistema ottenuto è:
a + 1 - 1 - a = 0
1 - 1 = 0
a - a = 0

e chiaramente il valore di a non è importante..

poi dall sistema AX = 0 ottengo

ax +y -(1+a)z = 0
x -y = 0
ay - az = 0

da cui si ha a = -1 e a = 0 ..oppure le 2 equazioni x = y e y = z, cioè la famiglia a cui appartiene v.

Quindi quando "a" assume questi 2 valori, cosa ci va nel nucleo ??