Teorema ULTRA-facile

[Mega-X]

Metto questo teorema a scopo sociale (vedi Positivismo ) per far capire agli iniziati di topologia (io sono un iniziato + una quantità infinitesima) questo concetto:

Dimostrare che se un qualunque sottoinsieme di $RR$ è connesso allora esso è anche convesso.

Ovviamente usate gli spoiler

[amel3]

Bè,bè,bè,beeeh
Perchè ultra facile? Non mi sembra un concentrato di banalità che i connessi di $RR$ sono gli intervalli... O forse sono io che sono troppo stupido...

[f.bisecco]

intuitivamente è abbastanza semplice...

[zorn1]

Già, bisogna dimostrare che tutti e soli i connessi di $RR$ sono intervalli e non è del tutto banale...

[fu^2]

se un qualunque sottoinsieme di $RR$ è connesso allora esso è anche convesso.

prima di tutto:
def: "un insieme convesso A, è un insiemeche, presi due qualsiasi punti appartenenti all'insieme a e b, il segmento ab che li congiunge, appartiene ai punti interni di A"

def: dato un insieme $A\subRR$, esso è connesso se non esistono due insiemi $B$ e $C$ disgiunti tali che $BUC=A$.

per assurdo hp che un intervallo non sia convesso.
questo significa che presi due punti $a,binA$ esiste $p\in\bar\(ab)$ tale che $p!inA$.
quindi esiste un $r>0$ tc $S(p,r)nnA=$
i- a $O/$
ii- a un numero finito di punti
iii- a $oo$

i- se fosse uguale al vuoto allora si potrebbero costruire due insiemi $B$ e $C$ disgiunti tali che la loro unione formi $A$; basta scgliare come inf di uno il nordo di questa sfera e come sup dell'altro l'altro bordo della sfera, ma se così fosse allora A non sarebbe connesso, assurdo.

ii- in $RR$ è assurdo in quanto esso è un campo denso e quindi, se la sfera interseca solo un numero finito di punti, allora esiste un intorno sferico di questi punti che non contiene altri punti dell'insieme, assurdo per il teorema di densità.

iii- se $S(p,r)nnA=oo$ allora p è un punto di accumulazione per A. Allora basta scegliere $B=(-oo,p)nnA$ e $C=(p,+oo)nnA$ in questo modo B e C sono disgiunti e la loro unione è A. assurdo.

cvd

è interessante notare che il teorema sopra citato si adatta anche per $RR^n$.
una dimostrazione di questo caso generalizzato è possibile farla considerando ogni dimensione di $RR^n$ formata da una retta a una dimensione e quindi applicare quesat dimostyrazione per ogni coordinata dello spazio

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"fu^2":def: dato un insieme $A\subRR$, esso è connesso se non esistono due insiemi $B$ e $C$ disgiunti tali che $BUC=A$.

Se fosse così, ogni sottoinsieme $A$ di $RR$ sarebbe non connesso, perché ogni insieme è unione disgiunta di due opportuni sottoinsiemi propri.

Comunque non ho capito molto della tua dimostrazione

[amel3]

Ora io non ho letto attentissimamente la dimostrazione, ma il discorso mi sembra estremamente più semplice.
Un intervallo $I sube RR$ è evidentemente convesso.
Infatti, sia $i\nt(I)=(a,b)$.
1) $I=(a,b)=i\nt(I)$. Se $x$ e $y$ stanno in $I$, allora $a 2) $i\nt(I)sub I$ (cioè $I$ non aperto). Se $x$ e $y$ stanno in $I$, allora o $a Insomma è quasi tautologico... E' più difficile da spiegarsi che da capire.
Il discorso del teorema di Bolzano e della caratterizzazione dei connessi di $RR$ come gli intervalli non è difficile, ma non ultrafacile .

Non so cosa tu intenda per caso generalizzato. I connessi di $RR^n$ in generale non sono convessi per $n>2$. Pensiamo alla circonferenza unitaria:
$S^1={(x,y)|x^2+y^2=1}$. E' connessa ma non certo convessa...
O forse tu intendevi: io identifico $RR$ con una retta dello spazio euclideo $RR^n$? Se è così hai ragione, ma la precisazione è inutile: tutto ti sarà chiaro quando farai un pochetto di topologia, parlando di omeomorfismi...
Vabbè basta, non rompo più.
Ciao.

[fu^2]

"Martino":[quote="fu^2"]def: dato un insieme $A\subRR$, esso è connesso se non esistono due insiemi $B$ e $C$ disgiunti tali che $BUC=A$.

Se fosse così, ogni sottoinsieme $A$ di $RR$ sarebbe non connesso, perché ogni insieme è unione disgiunta di due opportuni sottoinsiemi propri.

Comunque non ho capito molto della tua dimostrazione [/quote]

a me la definizione di connessione l'hanno data così ps ieri sera ho fatto casino un attimo..

volevo dire separati, non disgiunti... ho fatto confusione..chiedo perdono... se sostituisci questo vocabolo la def funziona
perdono dell'ipocrisioa ...

per il resto cosa non haicapito della dimostyrazione scusa? a me pare funzionare!

[fu^2]

"amel":
Non so cosa tu intenda per caso generalizzato. I connessi di $RR^n$ in generale non sono convessi per $n>2$. Pensiamo alla circonferenza unitaria:
$S^1={(x,y)|x^2+y^2=1}$. E' connessa ma non certo convessa...
O forse tu intendevi: io identifico $RR$ con una retta dello spazio euclideo $RR^n$? Se è così hai ragione, ma la precisazione è inutile: tutto ti sarà chiaro quando farai un pochetto di topologia, parlando di omeomorfismi...
Vabbè basta, non rompo più.
Ciao.

scusa una cosa... la circonferenza è convessa!
se prendi due punti dentro essa, il segmento che li conginge è sempre dentro la circonferenza... e questa è la definizione di insieme convesso...

ps in forma generale intendevo l'inverso.. cioè che ogni insieme convesso in $RR^n$ è anche connesso... perdono ancora...
ieri ho fatto troppa confusione...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"fu^2":[quote="Martino"][quote="fu^2"]def: dato un insieme $A\subRR$, esso è connesso se non esistono due insiemi $B$ e $C$ disgiunti tali che $BUC=A$.

Se fosse così, ogni sottoinsieme $A$ di $RR$ sarebbe non connesso, perché ogni insieme è unione disgiunta di due opportuni sottoinsiemi propri.

Comunque non ho capito molto della tua dimostrazione [/quote]

a me la definizione di connessione l'hanno data così ps ieri sera ho fatto casino un attimo..

volevo dire separati, non disgiunti... ho fatto confusione..chiedo perdono... se sostituisci questo vocabolo la def funziona
perdono dell'ipocrisioa ...

per il resto cosa non haicapito della dimostyrazione scusa? a me pare funzionare![/quote]

Tu hai detto:

"fu^2":def: dato un insieme $A\subRR$, esso è connesso se non esistono due insiemi $B$ e $C$ disgiunti tali che $BUC=A$.

Con questa definizione un intervallo [a,b] con a La definizione giusta è:

def: dato un insieme $A\subRR$, esso è connesso se non esistono due insiemi aperti e non vuoti $B$ e $C$ di A disgiunti tali che $BUC=A$.

La dimostrazione mi pare solo un po' confusionaria: dici di voler mostrare che in $RR$ connesso implica convesso ma poi mostri che ogni intervallo è convesso (quindi dando per scontato che connesso implica intervallo?); continui a parlare di "insiemi" B e C senza mai parlare di aperti; distingui tre casi senza necessità (dicendo nel terzo che se l'intersezione "fa infinito" (?) allora p è di accumulazione per A (?)), e il fatto che distingui in tre casi rende poco chiaro perché tu abbia detto "esiste un S(p,r) tale che..." e non "per ogni S(p,r)"; fai riferimento al "teorema di densità" quando basterebbe ricordare la definizione di aperto di $RR$...

Scusa se ti dico questo, è solo per farti notare qualche (a mio avviso) inesattezza

Ciao.

[Principe2]

intervengo giusto per far notare che l'implicazione CONVESSO -> CONNESSO è vera in qualunque spazio topologico (e potrebbe essere un esercizietto da fare (Hint: passare per la connessione per archi).

[Luca.Lussardi]

Topolgico? come definisci la convessità se non hai la struttura vettoriale?

[Mega-X]

io ho questa soluzione:

i sottoinsiemi di $RR$ possono essere di 3 tipi:

1. Sottoinsiemi discreti
2. Unione fra intervalli diversi
3. Intervallo

1. Il sottoinsieme discreto non è convesso in $RR$ perché fra un numero e il suo successivo ci stanno infiniti numeri reali
2. L'unione fra intervalli diversi non può essere un sottoinsieme convesso perché se si prendono come estremi del segmento di prova un punto di un intervallo
e un altro punto di un altro intervallo ci sarà ALMENO un punto che è fuori da questa unione di intervalli
3. Mentre nell'intervallo, per l'assioma di continuità dei reali, si trovano sempre 2 estremi di questo benedetto segmento di prova tali che il segmento è
interamente contenuto nell'intervallo

esempio 1. $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ non è convesso in $RR$ e in $QQ$ (ma è convesso in $NN$ e in $ZZ$)
esempio 2. $A = [3, 5]uu[7, 8]uu]8,9]$ non è neanche convesso in $RR$ in $QQ$ in $NN$ e in $ZZ$
esempio 3. $A = [4, 8]$ è convesso in $RR$ ma non in $QQ$ ($QQ$ è denso rispetto a questo sottoinsieme), $NN$ e in $ZZ$

@amel: E vabbè l'ultrafacile è relativo..

mi sa che l' "ULTRA VIOLENCE" di Doom mi ha intaccato un pò il cervello

[Luca.Lussardi]

Q non rientra nella tua classificazione.

[Mega-X]

ho editato..

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Luca.Lussardi":Q non rientra nella tua classificazione.

Per non parlare dell'insieme triadico di Cantor (o sbaglio?)

[Mega-X]

"Martino":Per non parlare dell'insieme triadico di Cantor (o sbaglio?)

beh ma quello è un unione fra intervalli diversi..

[Principe2]

"Luca.Lussardi":Topolgico? come definisci la convessità se non hai la struttura vettoriale?

hai ragione.. avevo in testa la connessione per archi.

dunque: in ogni spazio topologico CONNESSO PER ARCHI -> CONNESSO
in uno spazio vettoriale topologico CONVESSO -> CONNESSO PER ARCHI E QUINDI CONNESSO

fra l'altro mi pare di ricordare che per aperti di $RR^n$ si ha l'equivalenza CONNESSO <--> CONNESSO PER ARCHI equivalenza che non vale in generale (in $RR$ sì, ma già in $RR^2$ no)

[Fioravante Patrone1]

"ubermensch":
fra l'altro mi pare di ricordare che per aperti di $RR^n$ si ha l'equivalenza CONNESSO <--> CONNESSO PER ARCHI

confermo (sottolineando quanto detto da ubermensch, e cioè che vale per sottoinsiemi aperti)

[amel3]

"fu^2":
scusa una cosa... la circonferenza è convessa!
se prendi due punti dentro essa, il segmento che li conginge è sempre dentro la circonferenza... e questa è la definizione di insieme convesso...

$S^1={(x,y)|x^2+y^2=1}$ non è convessa perchè il segmento è appunto dentro...
Semmai $\bar {D(0,1)}={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$ lo è!

Questo post ultra-facile ha preso una brutta piega: ha attirato tutte le grandi menti del forum, il prof. Fioravante compreso!

[Luca.Lussardi]

Infatti... il cerchio non è la circonferenza.

Continuo a non capire la soluzione di Mega-X....