Teorema ULTRA-facile

[Mega-X]

Metto questo teorema a scopo sociale (vedi Positivismo ) per far capire agli iniziati di topologia (io sono un iniziato + una quantità infinitesima) questo concetto:

Dimostrare che se un qualunque sottoinsieme di $RR$ è connesso allora esso è anche convesso.

Ovviamente usate gli spoiler

[Mega-X]

Ho editato la mia dimostrazione

in effetti la mia dimostrazione era un "PO'" ermetica ..

[zorn1]

Come fu^2 la adatti ad $RR^n$? In dimensione maggiore di 1 il teorema non ci pensa proprio di valere

[Mega-X]

Generalizziamo per $RR^n$

Se definiamo un intervallo n-dimensionale come $I^n = (I_1, ... , I_n) sube RR^n$ dove $I_i = [m_i , M_i], i <= n$ dimostrare che ogni intervallo n-dimensionale è convesso in $RR^n$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Mega-X":[quote="Martino"]Per non parlare dell'insieme triadico di Cantor (o sbaglio?)

beh ma quello è un unione fra intervalli diversi.. [/quote]

Guarda, non sono un esperto in materia ma non credo proprio che l'insieme triadico di Cantor si possa scrivere come unione di intervalli.
Per dire, per ogni $\epsilon>0$ esso si può ricoprire con una famiglia numerabile di intervalli la cui lunghezza totale si mantiene minore di $\epsilon$. Quindi di fatto, l'insieme triadico non contiene nemmeno un intervallo (quindi è ben lungi dall'essere unione di intervalli ).

[fu^2]

"zorn":Come fu^2 la adatti ad $RR^n$? In dimensione maggiore di 1 il teorema non ci pensa proprio di valere

avevo già risposto a martino su questo...

generalizzi in $RR^n$ l'incontrario, cioè se è convesso allora è connesso...

avevo girato male la frase...

[fu^2]

sfrutto il post per chiedere una cosa inerente... (che mi è venuto in mente leggendo la generalizzazione di meg-X)

se io ho uno spazio $RR^n$, esso è definito come $RRxRRx...xRR$, per dire che un insieme è connesso in $RR^n$ è sufficiente mostrare che esso è connesso su ogni sua dimensione, giusto?

[Mega-X]

ja! (se non sai il tedesco ja = si )

[fu^2]

"Mega-X":ja! (se non sai il tedesco ja = si )

per fortuna questa paroletta la sapevo
ja ja

[fu^2]

ma se un insieme è connesso su ogni sua dimensione, allora, essendo un intervallo, è convesso.

Però se ogni "dimensione dell'insieme" è convessa, allora l'insieme che si forma non è convesso?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"fu^2":se io ho uno spazio $RR^n$, esso è definito come $RRxRRx...xRR$, per dire che un insieme è connesso in $RR^n$ è sufficiente mostrare che esso è connesso su ogni sua dimensione, giusto?

Quando dici che $A \subseteq RR^n$ è "connesso su ogni sua dimensione" intendi che per ogni $i=1,...,n$ hai che l'insieme $A_i=\{x_i\ |\ x \in A\}$ è connesso? In tal caso questo non basta per dire che A è connesso.

Prendi per esempio $A=\{(x,y) \in RR^2\ |\ x \ne y\} \subset RR^2$.

[fu^2]

"Martino":[quote="fu^2"]se io ho uno spazio $RR^n$, esso è definito come $RRxRRx...xRR$, per dire che un insieme è connesso in $RR^n$ è sufficiente mostrare che esso è connesso su ogni sua dimensione, giusto?

Quando dici che $A \subseteq RR^n$ è "connesso su ogni sua dimensione" intendi che per ogni $i=1,...,n$ hai che l'insieme $A_i=\{x_i\ |\ x \in A\}$ è connesso? In tal caso questo non basta per dire che A è connesso.

Prendi per esempio $A=\{(x,y) \in RR^2\ |\ x \ne y\} \subset RR^2$.[/quote]

si intendevo dire che se per esempio siam in $RR^2$ allora considero l'intervallo su y e quello su x.
come hai detto te in maniera giusta

grazie della risposta!

[Mega-X]

"Martino":Quando dici che $A \subseteq RR^n$ è "connesso su ogni sua dimensione" intendi che per ogni $i=1,...,n$ hai che l'insieme $A_i=\{x_i\ |\ x \in A\}$ è connesso? In tal caso questo non basta per dire che A è connesso.

Dunque ho sbagliato la mia dimostrazione.. Andiamo bene

In ogni caso quale altra condizione deve verificarsi? bisogna tener conto del dominio della funzione o qualcos'altro?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Beh ecco, non saprei

[Mega-X]

mah certe volte faccio delle domande così ovvie.. (il bello è che ci ho messo 3 ore per arrivarci.. )