Teorema spettrale: significati e implicazioni
Salve a tutti, premetto che vi assillo con domande di geometria probabilmente semplici perché a breve ho l'esame ma non ho potuto seguire il corso e ho avuto pochissimo tempo per la preparazione nonché pochissime occasioni per chiarire dubbi con la docente.
La mia domanda riguarda il teorema spettrale: sul mio libro (Capocasa-Medori) è enunciato così:
"Sia $ (,) $ un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale $ V $ e sia $ * $ un prodotto scalare definito positivo su $ V $.
Allora esiste una base di $ V $ che sia ortonormale per $ * $ e ortogonale per $ (,) $".
Qualche pagina dopo il libro scrive "Sia A una matrice simmetrica reale definita positiva, cioè con tutti gli autovalori positivi, e quindi diagonalizzabile per il teorema spettrale".
Mi sfugge il collegamento tra il fatto che la matrice sia simmetrica reale e definita positiva e quindi diagonalizzabile.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
La mia domanda riguarda il teorema spettrale: sul mio libro (Capocasa-Medori) è enunciato così:
"Sia $ (,) $ un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale $ V $ e sia $ * $ un prodotto scalare definito positivo su $ V $.
Allora esiste una base di $ V $ che sia ortonormale per $ * $ e ortogonale per $ (,) $".
Qualche pagina dopo il libro scrive "Sia A una matrice simmetrica reale definita positiva, cioè con tutti gli autovalori positivi, e quindi diagonalizzabile per il teorema spettrale".
Mi sfugge il collegamento tra il fatto che la matrice sia simmetrica reale e definita positiva e quindi diagonalizzabile.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Sei sicuro/a che il teorema sia quello?
Sul Capocasa è indicato così, ho copiato sia l'enunciato sia la citazione successiva come sono scritti sul libro.
Edit: alla fine dell'enunciato ho sbagliato a scrivere, la base è ortogonale per $ (,) $ non per $ V $, l'ho modificato.
Edit: alla fine dell'enunciato ho sbagliato a scrivere, la base è ortogonale per $ (,) $ non per $ V $, l'ho modificato.
Io ne conosco due; sono il teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti ed il teorema spettrale per endomorfismi ortogonali (unitari).
Non posso aiutarti, mi spiace.
Non posso aiutarti, mi spiace.
Sono d'accordo con Seneca che in genere, parlando di teorema spettrale, si fa riferimento ad enunciati diversi. Ma è nella natura delle cose visto che si tratta di uno dei teoremi più vasti di tutta la teoria degli spazi vettoriali con prodotto scalare. Ma conformiamoci con l'enunciato fornito da whatyouhide, che è certamente vero. Da esso segue facilmente che ogni matrice \(A\) simmetrica e definita positiva è diagonalizzabile, perché se definiamo
\[\langle Ax, y \rangle \stackrel{\text{def}}{=}x \cdot Ay,\qquad x, y \in \mathbb{R}^n, \]
risulta immediatamente che \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) è un prodotto scalare definito positivo su \(\mathbb{R}^n\) e dunque, per il teorema spettrale, esiste una base \(e_1 \ldots e_n\) di \(\mathbb{R}^n\) con la proprietà
\[\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}.\]
Questa è una base di autovettori per la matrice \(A\).
\[\langle Ax, y \rangle \stackrel{\text{def}}{=}x \cdot Ay,\qquad x, y \in \mathbb{R}^n, \]
risulta immediatamente che \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) è un prodotto scalare definito positivo su \(\mathbb{R}^n\) e dunque, per il teorema spettrale, esiste una base \(e_1 \ldots e_n\) di \(\mathbb{R}^n\) con la proprietà
\[\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}.\]
Questa è una base di autovettori per la matrice \(A\).
Che quindi è ortogonale giusto? Cioè $ $ è diverso da zero per $ i=j $?
Un'altra cosa, il fatto che la matrice A ha una base fatta di suoi autovettori vuol dire che essa è diagonalizzabile? Da cosa si deduce?
Un'altra cosa, il fatto che la matrice A ha una base fatta di suoi autovettori vuol dire che essa è diagonalizzabile? Da cosa si deduce?
"whatyouhide":
Un'altra cosa, il fatto che la matrice A ha una base fatta di suoi autovettori vuol dire che essa è diagonalizzabile? Da cosa si deduce?
Be', questo è banale. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori. Puoi provare a dimostrarlo da solo, la dimostrazione sta in una riga
Se esiste una base di autovettori, allora come sarà fatta la matrice associata all'endomorfismo (basta tenere presente la definizione di autovettore)?
Viceversa, supponi che l'endomorfismo sia diagonalizzabile, cioè esiste una matrice che lo rappresenta (in una qualche base $B$) che è diagonale: allora i vettori di quella base sono proprio...
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