Teorema riguardante l'autovalore $lambda=0$
Buonasera a tutti!
Devo provare il seguente teorema:
"Sia $f:V->V$ un endomorfismo, allora: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo."
Con $N(f)$ si denota il nucleo dell'endomorfismo.
Ho provato che: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$; a questo punto mi resterebbe da provare che: $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo. Di tale implicazione ho provato che se $N(f)!={0}$ allora $f$ non è un isomorfismo. Dovrei provare il viceversa, ma come? Purtroppo non mi stanno venendo idee.
In ogni caso provare le implicazioni ora dette, è sufficiente per dimostrare completamente il teorema?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo provare il seguente teorema:
"Sia $f:V->V$ un endomorfismo, allora: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo."
Con $N(f)$ si denota il nucleo dell'endomorfismo.
Ho provato che: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$; a questo punto mi resterebbe da provare che: $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo. Di tale implicazione ho provato che se $N(f)!={0}$ allora $f$ non è un isomorfismo. Dovrei provare il viceversa, ma come? Purtroppo non mi stanno venendo idee.
In ogni caso provare le implicazioni ora dette, è sufficiente per dimostrare completamente il teorema?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Ti ringrazio! Certe volte è meglio essere prolissi e comprendere a fondo i concetti!
Praticamente l'argomentazione che hai dato è la negazione di quella provata con dissonance, giusto?
Alla fin fine credo che l'una valga l'altra per ciò che vogliamo provare...
Praticamente l'argomentazione che hai dato è la negazione di quella provata con dissonance, giusto?
Alla fin fine credo che l'una valga l'altra per ciò che vogliamo provare...
Per provare che se la $f$ non è iniettiva allora non può essere suriettiva, sono partito, come mi hai suggerito, dall'uguaglianza: $text{dim Im}f=text{dim}V-text{dim}N(f)$. Se $f$ non è iniettiva significa che almeno $text{dim}N(f)=1$, cioè $text{dim}N(f)>0$. Di conseguenza non potrà risultare $text{dim Im}f=text{dim}V$. Giusto?
Certamente.
