Teorema riguardante l'autovalore $lambda=0$
Buonasera a tutti!
Devo provare il seguente teorema:
"Sia $f:V->V$ un endomorfismo, allora: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo."
Con $N(f)$ si denota il nucleo dell'endomorfismo.
Ho provato che: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$; a questo punto mi resterebbe da provare che: $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo. Di tale implicazione ho provato che se $N(f)!={0}$ allora $f$ non è un isomorfismo. Dovrei provare il viceversa, ma come? Purtroppo non mi stanno venendo idee.
In ogni caso provare le implicazioni ora dette, è sufficiente per dimostrare completamente il teorema?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo provare il seguente teorema:
"Sia $f:V->V$ un endomorfismo, allora: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo."
Con $N(f)$ si denota il nucleo dell'endomorfismo.
Ho provato che: $0$ è un autovalore per $f$ se e solo se $N(f)!={0}$; a questo punto mi resterebbe da provare che: $N(f)!={0}$ se e solo se $f$ non è un isomorfismo. Di tale implicazione ho provato che se $N(f)!={0}$ allora $f$ non è un isomorfismo. Dovrei provare il viceversa, ma come? Purtroppo non mi stanno venendo idee.
In ogni caso provare le implicazioni ora dette, è sufficiente per dimostrare completamente il teorema?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
MA è tutto falso. Non è che volevi scrivere $N(f)!={0}$?
Esatto! Perdonatemi! Correggo subito!
E manca ancora una cosa. $V$ deve avere dimensione finita.
Questa osservazione non c'è proprio nel testo! La tecnica dimostrativa è corretta? Come provo l'implicazione illustrata nel primo post?
Conosci la relazione
$n=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$ ?
Se stai studiando dal Giuffrida Ragusa, mi pare di ricordare che nelle prime pagine si specifichi che tutte le affermazioni si riferiscono a priori a spazi vettoriali aventi dimensione finita, salvo diversa specificazione.
Ma forse sbaglio.
$n=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$ ?
Se stai studiando dal Giuffrida Ragusa, mi pare di ricordare che nelle prime pagine si specifichi che tutte le affermazioni si riferiscono a priori a spazi vettoriali aventi dimensione finita, salvo diversa specificazione.
Ma forse sbaglio.
Hai studiato un po' di gruppi? Un teorema molto semplice ma anche molto utile dice: un omomorfismo di gruppi $\phi: G \to G'$ è ingettivo se e solo se il proprio nucleo è ridotto al solo elemento neutro. Stessa cosa con le applicazioni lineari: una applicazione lineare $F:V \to W$ è ingettiva se e solo se il proprio nucleo è ridotto al solo elemento neutro. Dimostrare questo è un esercizio molto semplice.
Inoltre, dal teorema della dimensione segue che una applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita è ingettiva se e solo se è surgettiva. In particolare una applicazione lineare $F:V \to V$ tale che $V$ abbia dimensione finita e $N(F)={0}$ è un isomorfismo. Penso che adesso ci siano tutti gli elementi per risolvere l'esercizio.
[edit]Scrivevo contemporaneamente a Steven. Quella formula l'ho chiamata "teorema della dimensione".
Inoltre, dal teorema della dimensione segue che una applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita è ingettiva se e solo se è surgettiva. In particolare una applicazione lineare $F:V \to V$ tale che $V$ abbia dimensione finita e $N(F)={0}$ è un isomorfismo. Penso che adesso ci siano tutti gli elementi per risolvere l'esercizio.
[edit]Scrivevo contemporaneamente a Steven. Quella formula l'ho chiamata "teorema della dimensione".
"Steven":
Conosci la relazione
$n=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$ ?
Se stai studiando dal Giuffrida Ragusa, mi pare di ricordare che nelle prime pagine si specifichi che tutte le affermazioni si riferiscono a priori a spazi vettoriali aventi dimensione finita, salvo diversa specificazione.
Ma forse sbaglio.
Sì, ho controllato sul testo... lo specifica nelle prime pagine.
Comunque sì conosco la relazione!
Ok.
Con le indicazioni di Dissonance penso tu possa concludere facilmente.
Con le indicazioni di Dissonance penso tu possa concludere facilmente.
"dissonance":
Inoltre, dal teorema della dimensione segue che una applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita è ingettiva se e solo se è surgettiva. In particolare una applicazione lineare $F:V \to V$ tale che $V$ abbia dimensione finita e $N(F)={0}$ è un isomorfismo.
L'idea l'ho capita. Solo che non ho chiare le conseguenze di cui parli... me le potresti provare?
Volendo te lo posso anche provare, ma è così facile e importante che credo sia meglio tu ci arrivi da solo. Scriviti bene le ipotesi:
$F:V \to V$ è una applicazione lineare, $"dim"(V)=n < \infty$.
poi il teorema della dimensione
$"dim"(V)="dim"N(F)+"dim"Im(F)$.
Partiamo con $F$ ingettiva. Che significa questo, in termini di nucleo? E in termini di dimensione del nucleo? Allora che succede alla dimensione dell'immagine? Ricordati poi che $Im(F)$ è un sottospazio vettoriale di $V$. Cosa puoi concludere?
Con $F$ surgettiva è uguale.
$F:V \to V$ è una applicazione lineare, $"dim"(V)=n < \infty$.
poi il teorema della dimensione
$"dim"(V)="dim"N(F)+"dim"Im(F)$.
Partiamo con $F$ ingettiva. Che significa questo, in termini di nucleo? E in termini di dimensione del nucleo? Allora che succede alla dimensione dell'immagine? Ricordati poi che $Im(F)$ è un sottospazio vettoriale di $V$. Cosa puoi concludere?
Con $F$ surgettiva è uguale.
Ok. Se $f$ è iniettiva significa che $N(f)={0}$ ossia che $text{dim}N(f)=0$. Pertanto dal teorema delle dimensioni segue che $text{dim}V=text{dim Im}f$ ossia la $f:V->V$ è suriettiva. Viceversa se $f$ è suriettiva si ha che: $text{dim}V=text{dim Im}f$ da cui $text{dim}N(f)=0$, ossia la $f$ è suriettiva.
Riguardo l'affermazione: una applicazione lineare $f:V→V$ tale che $V$ abbia dimensione finita e $N(F)={0}$ è un isomorfismo, se non erro segue dalla precedente. Infatti l'applicazione dovendo essere contemporaneamente iniettiva e suriettiva (per l'equivalenza prima provata), risulta essere un isomorfismo.
Giusto?
Riguardo l'affermazione: una applicazione lineare $f:V→V$ tale che $V$ abbia dimensione finita e $N(F)={0}$ è un isomorfismo, se non erro segue dalla precedente. Infatti l'applicazione dovendo essere contemporaneamente iniettiva e suriettiva (per l'equivalenza prima provata), risulta essere un isomorfismo.
Giusto?
"Andrea90":Volevi dire "iniettiva". Ok, è giusto.
se $f$ è suriettiva si ha che: $text{dim}V=text{dim Im}f$ da cui $text{dim}N(f)=0$, ossia la $f$ è suriettiva
Riguardo l'affermazione: una applicazione lineare $f:V→V$ tale che $V$ abbia dimensione finita e $N(F)={0}$ è un isomorfismo, se non erro segue dalla precedente. Infatti l'applicazione dovendo essere contemporaneamente iniettiva e suriettiva (per l'equivalenza prima provata), risulta essere un isomorfismo.Giusto. Esercizio: e se $V$ non ha dimensione finita, ¿que pasa? In questo caso esistono applicazioni lineari ingettive e non surgettive, surgettive e non ingettive. Prova a considerare lo spazio $RR^\infty={(a_1, a_2, \ldots)\ :\ a_k\inRR}$ e l'endomorfismo $F(a_1, a_2 \ldots, a_n \ldots)=(0, a_1, a_2, \ldots)$, vedi un po' cosa puoi dire (se hai tempo e voglia). ATTENZIONE: il fatto che $N(F)={0}\iff\ F$ è ingettiva è ancora vero. L'unica cosa che fallisce è il teorema della dimensione.
Giusto?
Appena ho del tempo libero, mi concentrerò sui vari casi che mi hai illustrato!
Ritornando all'esercizio di partenza, se $f$ non è un isomorfismo devo provare che $N(f)!=0$. Come formalizzo il ragionamento in virtù delle osservazioni precedentemente svolte?
Ritornando all'esercizio di partenza, se $f$ non è un isomorfismo devo provare che $N(f)!=0$. Come formalizzo il ragionamento in virtù delle osservazioni precedentemente svolte?
Ma questo è facile, Andrea.
$f$ ha l'autovalore $0$. Scrivi questo in formule e vedi che significa in termini di nucleo.
Viceversa, sia $f$ dotato di un nucleo non banale. Scrivi questo in formule e vedi che significa in termini di autovalori.
$f$ ha l'autovalore $0$. Scrivi questo in formule e vedi che significa in termini di nucleo.
Viceversa, sia $f$ dotato di un nucleo non banale. Scrivi questo in formule e vedi che significa in termini di autovalori.
Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua! Io devo provare l'implicazione: se $f$ non è un isomorfismo allora $N(f)!={0}$. Perchè devo considerare l'autovalore $lambda=0$ se non è menzionato nelle mie ipotesi?
Scusate le troppe domande, ma voglio vederci chiaro!
Scusate le troppe domande, ma voglio vederci chiaro!
Probabilmente dissonance pensava che stavamo ancora nelle ipotesi dell'altro problema.
L'implicazione è comunque facile, e si basa sempre su
$dim(N(f))+dim(Imf)=n$
Abbiamo $f$ endomorfismo.
Quando è un isomorfismo? Quando è iniettivo e suriettivo (biettivo insomma).
Quindi se la tua $f$ non è un isomorfismo, significa che manca l'iniettività o la suriettività (ma se manca una manca l'altra, quindi tutte e due, sempre per il teorema della dimensione).
Infatti essendo il primo membro bloccato (è uguale a $n$, che è fisso), se cambio una tra $dimImf$ e $dim(N(f))$ anche l'altra deve mutare.
Quindi questo significa che $dim(N(f))$ diventa maggiore di zero.
Questa proprietà del nucleo sono sicuro tu sappia cosa significa in termini di iniettività.
Ti torna? Ciao.
L'implicazione è comunque facile, e si basa sempre su
$dim(N(f))+dim(Imf)=n$
Abbiamo $f$ endomorfismo.
Quando è un isomorfismo? Quando è iniettivo e suriettivo (biettivo insomma).
Quindi se la tua $f$ non è un isomorfismo, significa che manca l'iniettività o la suriettività (ma se manca una manca l'altra, quindi tutte e due, sempre per il teorema della dimensione).
Infatti essendo il primo membro bloccato (è uguale a $n$, che è fisso), se cambio una tra $dimImf$ e $dim(N(f))$ anche l'altra deve mutare.
Quindi questo significa che $dim(N(f))$ diventa maggiore di zero.
Questa proprietà del nucleo sono sicuro tu sappia cosa significa in termini di iniettività.
Ti torna? Ciao.
"Steven":
Infatti essendo il primo membro bloccato (è uguale a $n$, che è fisso), se cambio una tra $dimImf$ e $dim(N(f))$ anche l'altra deve mutare.
Quindi questo significa che $dim(N(f))$ diventa maggiore di zero.
Questa proprietà del nucleo sono sicuro tu sappia cosa significa in termini di iniettività.
Ti torna? Ciao.
In questo modo sfruttiamo le proprietà che abbiamo provato prima, ok. Ma non ho chiaro il ragionamento che ho riportato.
Chiaramente se $text{dim}N(f)!=0$, l'applicazione non è iniettiva...
Io motiverei come segue:
Se $f$ non è un isomorfismo significa che l'applicazione o non è iniettiva o non è suriettiva. Per l'equivalenza provata prima, i due concetti coincidono e quindi se si perde l'iniettività si perde anche la suriettività e viceversa. Pertanto in ogni caso $N(f)!=0$ (perchè comunque si perde l'iniettività).
Giusto?
Se $f$ non è un isomorfismo significa che l'applicazione o non è iniettiva o non è suriettiva. Per l'equivalenza provata prima, i due concetti coincidono e quindi se si perde l'iniettività si perde anche la suriettività e viceversa. Pertanto in ogni caso $N(f)!=0$ (perchè comunque si perde l'iniettività).
Giusto?
Dunque, mettiamola così.
Diciamo $a+b=n$, dove per comodità ho indicato con $a$ la dimensione del nucleo e con $b$ quella dell'immagine.
Nel caso dell'isomorfismo, abbiamo $a=0$ e $b=n$.
La prima infatti è indice di inieittività (nucleo banale), e la seconda di suriettività (l'immagine di $f$ è tutto $V$).
Ora, usciamo dall'ipotesi di isomorfismo.
Significa che cade l'ipotesi di iniettività e suriettività.
Potrebbe accadere che ad esempio cade solo la suriettività, e che comunque l'applicazione $f$ continui ad essere iniettiva?
Certamente no, e ce lo dice proprio
$a+b=n$ cioè $a=n-b$
Ora, $n$ è fisso e $b$ è minore di $n$ strettamente, proprio perché l'immagine di $f$ non è tutto $V$.
Cioè $b0$
Ma $n-b$ è nient'altro che $a$, cioè abbiamo $a>0$. Cioè la dimensione del nucleo è almeno $1$. Cioè il nucleo è non banale, e l'applicazione non iniettiva.
In modo perfettamente analogo, ma scrivendo $b=n-a$, si fa vedere che se la $f$ non è iniettiva, allora non è nemmeno suriettiva.
Abbiamo mostrato che:
Dato $V$ spazio vettoriale di dimensione finita, e $f$ endomorfismo, allora
$f$ non è iniettiva se e solo se $f$ non è suriettiva.
Quindi perdendo l'ipotesi di isomorfismo, perdo iniettività o suriettività, ma appena ne perdo una, le perdo entrambe.
Diciamo $a+b=n$, dove per comodità ho indicato con $a$ la dimensione del nucleo e con $b$ quella dell'immagine.
Nel caso dell'isomorfismo, abbiamo $a=0$ e $b=n$.
La prima infatti è indice di inieittività (nucleo banale), e la seconda di suriettività (l'immagine di $f$ è tutto $V$).
Ora, usciamo dall'ipotesi di isomorfismo.
Significa che cade l'ipotesi di iniettività e suriettività.
Potrebbe accadere che ad esempio cade solo la suriettività, e che comunque l'applicazione $f$ continui ad essere iniettiva?
Certamente no, e ce lo dice proprio
$a+b=n$ cioè $a=n-b$
Ora, $n$ è fisso e $b$ è minore di $n$ strettamente, proprio perché l'immagine di $f$ non è tutto $V$.
Cioè $b
Ma $n-b$ è nient'altro che $a$, cioè abbiamo $a>0$. Cioè la dimensione del nucleo è almeno $1$. Cioè il nucleo è non banale, e l'applicazione non iniettiva.
In modo perfettamente analogo, ma scrivendo $b=n-a$, si fa vedere che se la $f$ non è iniettiva, allora non è nemmeno suriettiva.
Abbiamo mostrato che:
Dato $V$ spazio vettoriale di dimensione finita, e $f$ endomorfismo, allora
$f$ non è iniettiva se e solo se $f$ non è suriettiva.
Quindi perdendo l'ipotesi di isomorfismo, perdo iniettività o suriettività, ma appena ne perdo una, le perdo entrambe.
"Andrea90":
Io motiverei come segue:
Se $f$ non è un isomorfismo significa che l'applicazione o non è iniettiva o non è suriettiva. Per l'equivalenza provata prima, i due concetti coincidono e quindi se si perde l'iniettività si perde anche la suriettività e viceversa. Pertanto in ogni caso $N(f)!=0$ (perchè comunque si perde l'iniettività).
Sì esatto, vedo che nel frattempo avevi risolto.
Sono stato un po' prolisso, ma sono concetti importanti benché semplici e ci tenevo che afferrassi fino in fondo.
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