Teorema di nullità più rango
Scusate se posto due domande vicine cronologicamente parlando. Però so che è meglio aprire due post piuttosto che scrivere due argomenti diversi in un unico.
Mi duole tediarvi, ma mi piacerebbe capire a fondo questo teorema.
Mi è stato presentato a lezione in due forme, che trovo anche espresse su Wikipedia: "Il teorema afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice"
Tuttavia queste due formulazioni mi sono state proposte e dimostrate in tempi diversi a lezione e con due dimostrazioni differenti a cui non riesco a dare formulazione unica, in sostanza non riesco intuitivamente a vedere perché siano la stessa cosa (due facce della stessa medaglia).
Grazie di nuovo.
Ne approfitto per augurarvi buon week-end
Mi duole tediarvi, ma mi piacerebbe capire a fondo questo teorema.
Mi è stato presentato a lezione in due forme, che trovo anche espresse su Wikipedia: "Il teorema afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice"
Tuttavia queste due formulazioni mi sono state proposte e dimostrate in tempi diversi a lezione e con due dimostrazioni differenti a cui non riesco a dare formulazione unica, in sostanza non riesco intuitivamente a vedere perché siano la stessa cosa (due facce della stessa medaglia).
Grazie di nuovo.
Ne approfitto per augurarvi buon week-end
Risposte
Mi sa che ho editato con tempismo perfetto mentre scrivevi questo... ti andrebbe di leggere?
Intanto leggo la tua risposta e medito
EDIT:
Penso di stare incasinandomi, ma forse nasce proprio qui il problema, andando avanti con i ragionamenti mi pare di non saper più capire cosa sia un vettore.
Io ho sempre pensato a una terna $(2,3,4)$ come vettore, poi a seconda del cambiamento di base potevo rappresentarlo il nodi differenti:
- mettiamo di avere la base canonica allora esso sarebbe $2*(1,0,0)+3*(0,1,0)+4(0,0,1)$ Componenti: $(2,3,4)$
- mettiamo ora di avere la base: ${(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)}$, la terna $(2,3,4)$ vettore si rappresenterebbe rispetto ad essa così: $(2,3,2)$.
A questo punto avrei l'entità vettore (2,3,4) che si può esprimere in modi diversi e componenti (interpretabili come terne e quindi vettori nel senso di terne) diversi. Il vettore però resta (2,3,4) cambiano i modi di rappresentarlo.
Mettiamo il vettore (2,3,4) sia l'immagine di una qualche applicazione allora io dico: beh (2,3,4) è il vettore, poi quel vettore ha componenti (2,3,2) che lo descrivono, ma (2,3,2) non è l'immagine non essendo il vettore.
Mi sembra invece voi mi stiate dicendo che non è così:
Il vettore mi pare di capire sia un entità "$x$" alla quale associo un valore terna es: $(2,3,4)$. Questo vettore lo chiamo così perché rispetto ad altri vettori che avevo chiamato $(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)$ ha dei valori univoci.
Adesso cambio base e l'entità $x$ prende nome (2,3,2).
L'immagine che è l'entità "x" potrà chiamarsi (2,3,4) o (2,3,2) entrambe sono x, in altre parole (2,3,4) o (2,3,2) sono l'immagine.
Sono sfumature leggermente diverse
Intanto leggo la tua risposta e medito
EDIT:
Penso di stare incasinandomi, ma forse nasce proprio qui il problema, andando avanti con i ragionamenti mi pare di non saper più capire cosa sia un vettore.
Io ho sempre pensato a una terna $(2,3,4)$ come vettore, poi a seconda del cambiamento di base potevo rappresentarlo il nodi differenti:
- mettiamo di avere la base canonica allora esso sarebbe $2*(1,0,0)+3*(0,1,0)+4(0,0,1)$ Componenti: $(2,3,4)$
- mettiamo ora di avere la base: ${(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)}$, la terna $(2,3,4)$ vettore si rappresenterebbe rispetto ad essa così: $(2,3,2)$.
A questo punto avrei l'entità vettore (2,3,4) che si può esprimere in modi diversi e componenti (interpretabili come terne e quindi vettori nel senso di terne) diversi. Il vettore però resta (2,3,4) cambiano i modi di rappresentarlo.
Mettiamo il vettore (2,3,4) sia l'immagine di una qualche applicazione allora io dico: beh (2,3,4) è il vettore, poi quel vettore ha componenti (2,3,2) che lo descrivono, ma (2,3,2) non è l'immagine non essendo il vettore.
Mi sembra invece voi mi stiate dicendo che non è così:
Il vettore mi pare di capire sia un entità "$x$" alla quale associo un valore terna es: $(2,3,4)$. Questo vettore lo chiamo così perché rispetto ad altri vettori che avevo chiamato $(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)$ ha dei valori univoci.
Adesso cambio base e l'entità $x$ prende nome (2,3,2).
L'immagine che è l'entità "x" potrà chiamarsi (2,3,4) o (2,3,2) entrambe sono x, in altre parole (2,3,4) o (2,3,2) sono l'immagine.
Sono sfumature leggermente diverse
"ìawa vuole l'accento":
Io ho sempre pensato a una terna $ (2,3,4)$ come vettore
Questo vettore a quale spazio vettoriale appartiene? Rispetto a quale base è stato scritto? Non esiste un vettore galleggiante nell'aria. Esiste un vettore contenuto in uno spazio vettoriale che è scritto rispetto a una determinata base dello spazio in considerazione, ossia rispetto a un determinato punto di riferimento[nota]Il sole gira intorno alla terra o è la terra che gira intorno al sole?
[/nota]."ìawa vuole l'accento":
- mettiamo di avere la base canonica allora esso sarebbe $ 2*(1,0,0)+3*(0,1,0)+4(0,0,1) $ Componenti: $ (2,3,4) $
- mettiamo ora di avere la base: $ {(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)} $, la terna $ (2,3,4) $ vettore si rappresenterebbe rispetto ad essa così: $ (2,3,2) $.
Più precisamente ammettiamo di avere un spazio vettoriale $V$ e una sua base ${e_1,e_2,e_3}$
$((2),(3),(4)) in V hArr ((2),(3),(4))=2e_1+3e_2+4e_3$
Ammettiamo ora di considerare un'altra base e precisamente $B={((1),(0),(1)),((0),(1),(1)),((0),(0),(1))}$
$[((2),(3),(4))]_B=((2),(3),(-1))$
Insomma, se $V ne {0}$ è uno spazio vettoriale finitamente generato, allora esso, per il teorema di esistenza delle basi, ammette l'esistenza di una[nota]"una" in senso generico![/nota] base.
Sia $mathcalA$ una base di $V$, allora $v$ si può scrivere come CL dei vettori della base $mathcal(A)$: cioè vettore è una $n$-upla $in RR^n$ le cui entrate sono le componenti rispetto a una determinata base.
Per far di conto è molto comodo usare la base canonica, ed è per questo che spesso non si specifica ma si sottintende che quel vettore rappresenti le componenti, o le coordinate, rispetto la base canonica.
In poche parole, per potere descrivere un vettore bisogna avere un punto di riferimento: nel piano cartesiano centrato in $0$, si considera, in genere, la base ${((1),(0)), ((0),(1))}$.
Tuttavia, considerando lo stesso piano cartesiano centrato in $0$, potrebbe essere comodo usare una base che faccia riferimento a degli assi orientati di $45°$ in senso antiorario rispetto a $x,y$: $( (1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)) ), ( (-1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)) )$.
Quindi, dato uno spazio vettoriale, esso ha una base, e ogni vettore di tale spazio è espresso rispetto alla base scelta.
[quote]Io ho sempre pensato a una terna $ (2,3,4)$ come vettore
Questo vettore a quale spazio vettoriale appartiene? Rispetto a quale base è stato scritto? Non esiste un vettore galleggiante nell'aria. Esiste un vettore contenuto in uno spazio vettoriale che è scritto rispetto a una determinata base dello spazio in considerazione, ossia rispetto a un determinato punto di riferimento
[/quote]
Il problema è che anche la base sono vettori e quindi se (2,3,4) fosse proprio parte di una base? Nel senso, devo dapprima definire dei vettori galleggianti nell'arei par forza, che sono i miei punti di riferimento in pratica.
Esatto, da qualcosa bisogna pure iniziare: una base equivale a un sistema di riferimento. Se dico '$(a,b)$' in genere è chiaro che sto affermando di essermi mosso di $a$ volte l'unità sull'asse delle $x$ e $b$ volte l'unità sull'asse delle $y$, ma questo perché ho implicitamente usato come base quella canonica.
Un vettore è una $n$-upla$in RR^n$ caratterizzato da un modulo, una direzione e un verso; considerando due punti $A,B$:
$AB=B-A$ è un vettore il cui modulo è $|AB|$, la direzione è data da tutte le rette parallele ad $AB$ e il verso è quello che da $A$ va verso $B$.
Un vettore è una $n$-upla$in RR^n$ caratterizzato da un modulo, una direzione e un verso; considerando due punti $A,B$:
$AB=B-A$ è un vettore il cui modulo è $|AB|$, la direzione è data da tutte le rette parallele ad $AB$ e il verso è quello che da $A$ va verso $B$.
Forse sto iniziando a vederlo,
però così facendo mi parrebbe che l'unica base vera sia quella canonica, perché se io dico: prendo un vettore BASE (2,3,4) implicitamente vuol dire che ho 2 sull'asse x, 3 su y e 4 su z. Mi lego sempre alla canonica così facendo.
Ti ringrazio per la pazienza
però così facendo mi parrebbe che l'unica base vera sia quella canonica, perché se io dico: prendo un vettore BASE (2,3,4) implicitamente vuol dire che ho 2 sull'asse x, 3 su y e 4 su z. Mi lego sempre alla canonica così facendo.
Ti ringrazio per la pazienza
La base canonica non è la più giusta, ma la più pratica per fare i conti.
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