Teorema di liouville e geometria differenziale
Ciao a tutti,
sto studiando le correzioni alle equazioni semiclassiche del moto elettronico per una tesi triennale in Fisica e mi sono imbattuta in un problema di geometria differenziale.
La mia preparazione in merito ha pesanti lacune..sto cercando di colmarle ma il risultato, ad oggi, è una gran confusione.
Dunque
ho delle equazioni semiclassiche che mi governano il moto di una particella:
$ hdot{vec{k}}_{c}=-e(vec{E}-frac{1}{c}dot{vec{r}}_{c}timesvec{B}) $
$dot{vec{r}}_{c}= frac{1}{h} [frac{partialvarepsilon_{vec{k}_{c}}}{partialvec{k}_{c}}+frac{e}{2mc}vec{B}cdotfrac{partialvec{L}_{vec{k}_{c}}}{partialvec{k}_{c}}]-dot{vec{k}}_{c}timesvec{Omega} $
e attraverso una certa matrice (che l'articolo dice essere simplettica):
$ ( ( B(r) , 1 ),( -1 , Omega(k) ) ) $
le riporto ad equazioni di Hamilton.
Tale matrice è una versione modificata della forma simplettica standard, poichè la mia particella è immersa in un potenziale vettore magnetico e in uno geometrico (curvatura di Berry).Essa NON ha determinante uguale ad 1.
Inoltre un altro articolo sullo stesso argomento mi informa che le equazioni semiclassiche sopracitate VIOLANO IL TEOREMA DI LIOUVILLE.Ed effettivamente se si fa il calcolo dell'elemento di volume si vede che esso dipende dai campi e non è quindi conservato.
Mi sembra evidente che ci sia un collegamento tra il determinante della matrice e la violazione di Liouville!
All'inizio pensavo che bastasse dire che tale determinante non è unitario, visto che esso opera così una trasformazione che modifica i volumi...ma evidentemente non è così, visto che il mio professore di tesi mi ha consigliato di spulciare tensori metrici e forme di volume!
So che il modulo del determinante del tensore metrico mi dà la forma di volume, tale forma NON E' L'ELEMENTO DI VOLUME (che non si conserva) GIUSTO? Come sono collegate le due cose?
So poi che una varietà simplettica possiede una speciale forma di volume chiamata forma di liouville...che sembra proprio essere l'elemento di volume!
Non capisco che ruolo ha il determinante della mia matrice iniziale, matrice che tra l'altro non sono così sicura essere simplettica visto che mi risulta che le matrici simplettiche debbano avere determinante unitario.....
Insomma sono molto confusa, mi ci vorrebbe qualche mese per chiarire la situazione ma purtroppo non mi è concesso e oltre a tutto ciò il mio professore è in alto mare come me!
Mi scuso per per la mancanza di sintesi ma senza aver le cose chiare è impossibile:(
Vi sarei davvero molto grata se mi aiutaste in qualche modo e ringrazio comuque tutti per la lettura!
Matilde
sto studiando le correzioni alle equazioni semiclassiche del moto elettronico per una tesi triennale in Fisica e mi sono imbattuta in un problema di geometria differenziale.
La mia preparazione in merito ha pesanti lacune..sto cercando di colmarle ma il risultato, ad oggi, è una gran confusione.
Dunque
ho delle equazioni semiclassiche che mi governano il moto di una particella:
$ hdot{vec{k}}_{c}=-e(vec{E}-frac{1}{c}dot{vec{r}}_{c}timesvec{B}) $
$dot{vec{r}}_{c}= frac{1}{h} [frac{partialvarepsilon_{vec{k}_{c}}}{partialvec{k}_{c}}+frac{e}{2mc}vec{B}cdotfrac{partialvec{L}_{vec{k}_{c}}}{partialvec{k}_{c}}]-dot{vec{k}}_{c}timesvec{Omega} $
e attraverso una certa matrice (che l'articolo dice essere simplettica):
$ ( ( B(r) , 1 ),( -1 , Omega(k) ) ) $
le riporto ad equazioni di Hamilton.
Tale matrice è una versione modificata della forma simplettica standard, poichè la mia particella è immersa in un potenziale vettore magnetico e in uno geometrico (curvatura di Berry).Essa NON ha determinante uguale ad 1.
Inoltre un altro articolo sullo stesso argomento mi informa che le equazioni semiclassiche sopracitate VIOLANO IL TEOREMA DI LIOUVILLE.Ed effettivamente se si fa il calcolo dell'elemento di volume si vede che esso dipende dai campi e non è quindi conservato.
Mi sembra evidente che ci sia un collegamento tra il determinante della matrice e la violazione di Liouville!
All'inizio pensavo che bastasse dire che tale determinante non è unitario, visto che esso opera così una trasformazione che modifica i volumi...ma evidentemente non è così, visto che il mio professore di tesi mi ha consigliato di spulciare tensori metrici e forme di volume!
So che il modulo del determinante del tensore metrico mi dà la forma di volume, tale forma NON E' L'ELEMENTO DI VOLUME (che non si conserva) GIUSTO? Come sono collegate le due cose?
So poi che una varietà simplettica possiede una speciale forma di volume chiamata forma di liouville...che sembra proprio essere l'elemento di volume!
Non capisco che ruolo ha il determinante della mia matrice iniziale, matrice che tra l'altro non sono così sicura essere simplettica visto che mi risulta che le matrici simplettiche debbano avere determinante unitario.....
Insomma sono molto confusa, mi ci vorrebbe qualche mese per chiarire la situazione ma purtroppo non mi è concesso e oltre a tutto ciò il mio professore è in alto mare come me!
Mi scuso per per la mancanza di sintesi ma senza aver le cose chiare è impossibile:(
Vi sarei davvero molto grata se mi aiutaste in qualche modo e ringrazio comuque tutti per la lettura!
Matilde
Risposte
L'idea potrebbe essere che invece di stabilizzare l'unità simplettica la tua matrice tenga fissa una forma antisimmetrica diversa. Anche a me sembra piuttosto palese che le due cose siano correlate (essendo il teorema di liouville in ultima istanza leggibile come "i flussi di campi vettoriali hamiltoniani sono diffeomorfismi che preservato i volumi").
Ciao!
innanzitutto grazie per la risposta!
potresti spiegarmi meglio cosa intendi con:
"invece di stabilizzare l'unità simplettica la tua matrice tenga fissa una forma antisimmetrica diversa" ?
Mi manca un pò di lessico:(
Ovviamente la non conservazione del volume è molto grave in questo contesto..parlando di equazioni del moto di elettroni nella materia vuol dire che il modello è fallace in qualche punto!
Uno degli autori dell'articolo che afferma la violazione di Liouville la giustifica osservando che probabilmente la posizione ed il momento considerati in realtà NON sono variabili coniugate, corregge quindi l'elemento di volume tenendo conto dei potenziali applicati.....
innanzitutto grazie per la risposta!
potresti spiegarmi meglio cosa intendi con:
"invece di stabilizzare l'unità simplettica la tua matrice tenga fissa una forma antisimmetrica diversa" ?
Mi manca un pò di lessico:(
Ovviamente la non conservazione del volume è molto grave in questo contesto..parlando di equazioni del moto di elettroni nella materia vuol dire che il modello è fallace in qualche punto!
Uno degli autori dell'articolo che afferma la violazione di Liouville la giustifica osservando che probabilmente la posizione ed il momento considerati in realtà NON sono variabili coniugate, corregge quindi l'elemento di volume tenendo conto dei potenziali applicati.....
Si', scusa, stavo rispondendo dal treno. Il punto e' questo: tu definisci il gruppo simplettico $Sp(2n)$ come lo stabilizzatore della matrice "simplettica standard" per l'azione $t_A : X\mapsto A^tXA$ del gruppo generale lineare su se' stesso.
Quando tu dici
io penso che allora la tua matrice, pure invertibile, sta in un "gruppo simplettico generalizzato" definito come l'insieme delle "isometrie" per una qualche altra forma simplettica $\mathbb F$:
\[
\{A\in GL(n,\mathbb R) \quad|\quad t_A(\mathbb F)=\mathbb F\}
\]
Ora se non ricordo male, il teorema di Liouville e', essenzialmente, dedotto dal fatto che i flussi di campi vettoriali hamiltoniani inducono simplettomorfismi, i quali devono rispettare i volumi.
Ovviamente senza informazioni piu' precise non e' possibile dire di piu' (oltre al fatto che $\mathbb F$ deve avere determinante diverso da 1)... per esempio come sono fatte le funzioni $B,\Omega$? E quali sono le trasformazioni che portano le tue equazioni in delle Hamilton?
Quando tu dici
Tale matrice è una versione modificata della forma simplettica standard
io penso che allora la tua matrice, pure invertibile, sta in un "gruppo simplettico generalizzato" definito come l'insieme delle "isometrie" per una qualche altra forma simplettica $\mathbb F$:
\[
\{A\in GL(n,\mathbb R) \quad|\quad t_A(\mathbb F)=\mathbb F\}
\]
Ora se non ricordo male, il teorema di Liouville e', essenzialmente, dedotto dal fatto che i flussi di campi vettoriali hamiltoniani inducono simplettomorfismi, i quali devono rispettare i volumi.
Ovviamente senza informazioni piu' precise non e' possibile dire di piu' (oltre al fatto che $\mathbb F$ deve avere determinante diverso da 1)... per esempio come sono fatte le funzioni $B,\Omega$? E quali sono le trasformazioni che portano le tue equazioni in delle Hamilton?
considerando le mie equazioni:
[tex]\dot{r}=\nabla_{\kappa}H_{sc}(r,\kappa)-\varepsilon\dot{\kappa}\times\Omega_{n}(\kappa)[/tex]
[tex]\dot{\kappa}=-\nabla_{r}H_{sc}(r,\kappa)+\dot{r}\times B(r)[/tex]
Notiamo che per
[tex]$\Omega_{n}(\kappa)=0$[/tex]
ritroviamo la forma simplettica [tex]$\Omega_{B}$[/tex] usata normalmente per trovare le equazioni del moto di una particella in campo magnetico.
Infatti,scrivendo la matrice [tex]$6\times6$[/tex]:
[tex]\Omega_{B}=[/tex] $ ( ( 0 , B_z , -B_y , -1 , 0 , 0 ),( -B_z , 0 , B_x , 0 , -1 , 0 ),( B_y , -B_x , 0 , 0 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 )) $
[tex]\begin{pmatrix}0 & B_{z} & -B_{y} & -1 & 0 & 0\\
-B_{z} & 0 & B_{x} & 0 & -1 & 0\\
B_{y} & -B_{x} & 0 & 0 & 0 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dot{x}\\
\dot{y}\\
\dot{z}\\
\dot{\kappa}_{x}\\
\dot{\kappa}_{y}\\
\dot{\kappa}_{z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial H/\partial x\\
\partial H/\delta y\\
\partial H/\delta z\\
\partial H/\delta\kappa_{x}\\
\partial H/\delta\kappa_{y}\\
\partial H/\delta\kappa_{z}
\end{pmatrix}[/tex]
troviamo per le posizioni:
[tex]\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial\kappa_{x}}[/tex]
[tex]\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial\kappa_{y}}[/tex]
[tex]\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial\kappa_{z}}[/tex]
e per i momenti:
[tex]\dot{y}B_{z}-\dot{z}B_{y}-\dot{\kappa}_{x}=\frac{\partial H}{\partial x}[/tex]
[tex]-\dot{x}B_{z}+\dot{z}B_{x}-\dot{\kappa}_{y}=\frac{\partial H}{\partial y}[/tex]
[tex]\dot{x}B_{y}-\dot{y}B_{x}-\dot{\kappa}_{z}=\frac{\partial H}{\partial z}[/tex]
cioè se prendiamo un campo magnetico lungo z ritroviamo la forza di Lorentz:
[tex]\dot{\kappa}_{z}=-\frac{\partial H}{\partial z}[/tex]
[tex]\dot{\kappa}_{y}=-\frac{\partial H}{\partial y}-\dot{x}B[/tex]
[tex]\dot{\kappa}_{x}=-\frac{\partial H}{\partial x}+\dot{y}B[/tex]
Inoltre abbiamo che:
[tex]\vec{B}(\vec{r})=\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\times\vec{A}(\vec{r})[/tex]
[tex]\vec{\Omega}(\vec{k})=\frac{\partial}{\partial\vec{k}}\times\vec{\mathcal{R}}(\vec{k})[/tex]
con:
[tex]\vec{\mathcal{R}}_{\vec{k_{c}}}=i{\displaystyle \int}_{\Omega}\, d\vec{r}\, u_{\vec{k_{c}}}^{*}(\vec{r})\,\frac{\partial}{\partial\vec{k_{c}}}\, u_{\vec{k_{c}}}(\vec{r})[/tex]
e A(r) potenziale vettore del campo magnetico.
Se la mia matrice stesse nel gruppo simplettico generalizzato di cui parli quindi il Liouville non sarebbe violato giusto?
[tex]\dot{r}=\nabla_{\kappa}H_{sc}(r,\kappa)-\varepsilon\dot{\kappa}\times\Omega_{n}(\kappa)[/tex]
[tex]\dot{\kappa}=-\nabla_{r}H_{sc}(r,\kappa)+\dot{r}\times B(r)[/tex]
Notiamo che per
[tex]$\Omega_{n}(\kappa)=0$[/tex]
ritroviamo la forma simplettica [tex]$\Omega_{B}$[/tex] usata normalmente per trovare le equazioni del moto di una particella in campo magnetico.
Infatti,scrivendo la matrice [tex]$6\times6$[/tex]:
[tex]\Omega_{B}=[/tex] $ ( ( 0 , B_z , -B_y , -1 , 0 , 0 ),( -B_z , 0 , B_x , 0 , -1 , 0 ),( B_y , -B_x , 0 , 0 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 )) $
[tex]\begin{pmatrix}0 & B_{z} & -B_{y} & -1 & 0 & 0\\
-B_{z} & 0 & B_{x} & 0 & -1 & 0\\
B_{y} & -B_{x} & 0 & 0 & 0 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dot{x}\\
\dot{y}\\
\dot{z}\\
\dot{\kappa}_{x}\\
\dot{\kappa}_{y}\\
\dot{\kappa}_{z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial H/\partial x\\
\partial H/\delta y\\
\partial H/\delta z\\
\partial H/\delta\kappa_{x}\\
\partial H/\delta\kappa_{y}\\
\partial H/\delta\kappa_{z}
\end{pmatrix}[/tex]
troviamo per le posizioni:
[tex]\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial\kappa_{x}}[/tex]
[tex]\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial\kappa_{y}}[/tex]
[tex]\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial\kappa_{z}}[/tex]
e per i momenti:
[tex]\dot{y}B_{z}-\dot{z}B_{y}-\dot{\kappa}_{x}=\frac{\partial H}{\partial x}[/tex]
[tex]-\dot{x}B_{z}+\dot{z}B_{x}-\dot{\kappa}_{y}=\frac{\partial H}{\partial y}[/tex]
[tex]\dot{x}B_{y}-\dot{y}B_{x}-\dot{\kappa}_{z}=\frac{\partial H}{\partial z}[/tex]
cioè se prendiamo un campo magnetico lungo z ritroviamo la forza di Lorentz:
[tex]\dot{\kappa}_{z}=-\frac{\partial H}{\partial z}[/tex]
[tex]\dot{\kappa}_{y}=-\frac{\partial H}{\partial y}-\dot{x}B[/tex]
[tex]\dot{\kappa}_{x}=-\frac{\partial H}{\partial x}+\dot{y}B[/tex]
Inoltre abbiamo che:
[tex]\vec{B}(\vec{r})=\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\times\vec{A}(\vec{r})[/tex]
[tex]\vec{\Omega}(\vec{k})=\frac{\partial}{\partial\vec{k}}\times\vec{\mathcal{R}}(\vec{k})[/tex]
con:
[tex]\vec{\mathcal{R}}_{\vec{k_{c}}}=i{\displaystyle \int}_{\Omega}\, d\vec{r}\, u_{\vec{k_{c}}}^{*}(\vec{r})\,\frac{\partial}{\partial\vec{k_{c}}}\, u_{\vec{k_{c}}}(\vec{r})[/tex]
e A(r) potenziale vettore del campo magnetico.
Se la mia matrice stesse nel gruppo simplettico generalizzato di cui parli quindi il Liouville non sarebbe violato giusto?
Sarebbe a mio parere utile se ci dessi riferimenti più precisi riguardo agli articoli a cui fare riferimento in modo da poterti effettivamente aiutare a capire quelle parti che hai difficoltà a capire.
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