Teorema del rotore - Due aperture
Ciao a tutti
ho un dubbio teorico relativo al teorema del rotore.
fino ad ora mi è capitato di utilizzare il teorema del rotore quando ho superfici aperte :
[tex]\int_{S} \nabla\times \overrightarrow{F} dS =\oint_{l} \overrightarrow{F} dl[/tex]
quindi per esempio, prendiamo un classico bicchiere da cucina semplice che quindi è una superficie continua dotata di bordo...
Se io volessi calcolare il flusso del rotore di un qualsiasi campo vettoriale attraverso la superficie totale del bicchiere, applicando questo teorema mi basterebbe calcolare l'integrale di linea del campo vettoriale lungo il bordo del bicchiere.
Se non ricordo male (e qui per cortesia confermatemelo) il percorso lungo la linea deve essere compiuto in senso antiorario.
Ma se invece di avere un bicchiere (quindi con un solo bordo), avessi un bicchiere senza il fondo (quindi con due bordi), per intenderci un cilindro senza le due basi circolari, come cambia il teorema del rotore?
devo calcolale entrambi gli integrali di linea e sommarli? Non ho fino ad ora trovato alcun esempio che ne parli
grazie mille a tutti
ho un dubbio teorico relativo al teorema del rotore.
fino ad ora mi è capitato di utilizzare il teorema del rotore quando ho superfici aperte :
[tex]\int_{S} \nabla\times \overrightarrow{F} dS =\oint_{l} \overrightarrow{F} dl[/tex]
quindi per esempio, prendiamo un classico bicchiere da cucina semplice che quindi è una superficie continua dotata di bordo...
Se io volessi calcolare il flusso del rotore di un qualsiasi campo vettoriale attraverso la superficie totale del bicchiere, applicando questo teorema mi basterebbe calcolare l'integrale di linea del campo vettoriale lungo il bordo del bicchiere.
Se non ricordo male (e qui per cortesia confermatemelo) il percorso lungo la linea deve essere compiuto in senso antiorario.
Ma se invece di avere un bicchiere (quindi con un solo bordo), avessi un bicchiere senza il fondo (quindi con due bordi), per intenderci un cilindro senza le due basi circolari, come cambia il teorema del rotore?
devo calcolale entrambi gli integrali di linea e sommarli? Non ho fino ad ora trovato alcun esempio che ne parli
grazie mille a tutti
Risposte
In questo caso ti viene flusso nullo. Un campo rotore ha sempre flusso nullo attraverso ogni superficie chiusa. Questo dimostra che un campo rotore è sempre solenoidale (=ha divergenza nulla), la versione differenziale di questa proprietà integrale.
Prova a dimostrare questa affermazione col teorema del rotore. Dividi il cilindro in due superfici non chiuse, una superiore e l'altra inferiore. Il flusso del rotore è la somma dei due flussi, e applicando il teorema del rotore ti accorgi che sono uno l'opposto dell'altro.
Prova a dimostrare questa affermazione col teorema del rotore. Dividi il cilindro in due superfici non chiuse, una superiore e l'altra inferiore. Il flusso del rotore è la somma dei due flussi, e applicando il teorema del rotore ti accorgi che sono uno l'opposto dell'altro.
Grazie ma forse mi sono spiegato male
perchè parli di una superficie chiusa? un cilindro senza "coperchi" non è una superficie chiusa, ha ben due aperture.
mi troverei quindi a calcolare il flusso del rotore attraverso il mantello del cilindro
perchè parli di una superficie chiusa? un cilindro senza "coperchi" non è una superficie chiusa, ha ben due aperture.
mi troverei quindi a calcolare il flusso del rotore attraverso il mantello del cilindro
"Summerwind78":
Se non ricordo male (e qui per cortesia confermatemelo) il percorso lungo la linea deve essere compiuto in senso antiorario.
Ma se invece di avere un bicchiere (quindi con un solo bordo), avessi un bicchiere senza il fondo (quindi con due bordi), per intenderci un cilindro senza le due basi circolari, come cambia il teorema del rotore?
devo calcolale entrambi gli integrali di linea e sommarli? Non ho fino ad ora trovato alcun esempio che ne parli
grazie mille a tutti
La regola è questa:
- per calcolare il flusso del rotore attraverso una superficie, devi dare un'orientazione alla superficie. Quindi la superficie ha due facce, quella positiva dove escono le frecce dei vettori rotore e l'altra negativa, dove entrano le frecce.
Se camminando lungo il bordo della superficie trovi a destra la faccia negativa (rsp. a sinistra la faccia positiva), l'integrale di linea ha segno positivo.
E' più facile da fare che da spiegare.
Immagina che la superficie sia un cerchio sul piano xy centro in O e raggio 1.
Il vettore rotore è uniforme sulla superficie e ha verso concorde con l'asse z.
Allora devi valutare l'integrale di linea in senso antiorario (faccia positiva a sx).
Se hai una superficie con più bordi, sommi gli integrali, sempre seguendo la regolina di prima per i segni.
Ora prendi l'esempio di prima, del cerchio in xy, ma togliamo un cerchio concentrico in modo da avere una corona circolare.
Vedi che il bordo interno, se percorso in senso antiorario, ha la faccia positiva a dx, dunque va preso con segno negativo.
E' una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale:
$\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$
grazie
credo che sia un po' più chiaro adesso
ci devo ancora ragionare un po' sopra ma mi avete già tolto un bel quantitativo di dubbi
credo che sia un po' più chiaro adesso
ci devo ancora ragionare un po' sopra ma mi avete già tolto un bel quantitativo di dubbi
Ha fatto tutto Quinzio, in verità. Io pensavo volessi informazioni su flusso attraverso una superficie chiusa. Queste cose vanno disegnate, ma non sono difficili da capire: butta un occhio su MathInsight -
http://mathinsight.org/
specie alle pagine dedicate al teorema di Stokes.
http://mathinsight.org/
specie alle pagine dedicate al teorema di Stokes.
"Summerwind78":
Ma se invece di avere un bicchiere (quindi con un solo bordo), avessi un bicchiere senza il fondo (quindi con due bordi), per intenderci un cilindro senza le due basi circolari, come cambia il teorema del rotore?
devo calcolale entrambi gli integrali di linea e sommarli?
@dissonance: Superficie chiusa???
salve ragazzi ho letto il problema posto da summer io ne ho uno simile con un dubbio:
devo calcolare il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie definita dalla porzione di sfera con raggio 5 e centro in O contenuta nel cilindro di raggio 4 e asse centrato in O.
io ho applicato stokes lungo i due bordi (circonferenze con raggio 4 in z=3 e z=-3 che sono i punti in cui il cilindro interseca la sfera), tenendo conto anche del verso opposto sui bordi, mi viene flusso nullo, però il risultato deve dare -4pi greco e non so dove sbaglio forse devo considerare anche il bordo costituito dalla superficie laterale del cilindro da z=-3 a z=3?
devo calcolare il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie definita dalla porzione di sfera con raggio 5 e centro in O contenuta nel cilindro di raggio 4 e asse centrato in O.
io ho applicato stokes lungo i due bordi (circonferenze con raggio 4 in z=3 e z=-3 che sono i punti in cui il cilindro interseca la sfera), tenendo conto anche del verso opposto sui bordi, mi viene flusso nullo, però il risultato deve dare -4pi greco e non so dove sbaglio forse devo considerare anche il bordo costituito dalla superficie laterale del cilindro da z=-3 a z=3?
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