Tensori
Salve ragazzi,
premettendo che da poco ho iniziato meccanica analitica e quindi non sono ancora esperto di tensori e algebra di alto livello, studiando i tensori mi sono bloccato su una cosa: non riesco a capire come mai uno scalare è un tensore di ordine $((0),(0))$ mentre un vettore è un tensore di ordine $((1),(0))$. Grazie della vostra disponibilità!!
premettendo che da poco ho iniziato meccanica analitica e quindi non sono ancora esperto di tensori e algebra di alto livello, studiando i tensori mi sono bloccato su una cosa: non riesco a capire come mai uno scalare è un tensore di ordine $((0),(0))$ mentre un vettore è un tensore di ordine $((1),(0))$. Grazie della vostra disponibilità!!
Risposte
Il concetto di tensore si definisce rispetto ad un determinato gruppo di trasformazioni, sarebbe meglio specificare quest'ultimo. In ogni modo, quella è la definizione, non c'è molto da capire se hai visto almeno una volta le leggi di trasformazione.
"speculor":
Il concetto di tensore si definisce rispetto ad un determinato gruppo di trasformazioni, sarebbe meglio specificare quest'ultimo.
Speculor, potresti lasciare un riferimento bibliografico per approfondire questa definizione? In geometria differenziale un tensore di solito non si definisce così (invece ho ritrovato questa definizione in relatività speciale, dove però il gruppo di trasformazioni è sempre lo stesso (Lorentz)).
Grazie
Ciao dissonance. Mi prendi un po' in contropiede. Visto che Gianky parlava di meccanica analitica, ho risposto pensando principalmente alle applicazioni fisiche. Per esempio, sul Sakurai, nel testo di meccanica quantistica non relativistica, si introduce il concetto nell'ambito delle semplici rotazioni. Certo, le rotazioni sono un sottogruppo delle trasformazioni di Lorentz, quindi si ricade nell'esempio da te citato. Se non sbaglio, in geometria differenziale il concetto viene introdotto relativamente a trasformazioni di coordinate arbitrarie, in pratica lo stesso approccio che si ritrova nello studio della Relatività generale. In ogni modo, visto che Gianky parlava di tensori del tipo $(n,m)$, un esempio più calzante potrebbe essere la rappresentazione spinoriale della meccanica quantistica relativistica. Effettivamente, nell'ambito delle semplici rotazioni, i due indici non sono necessari. In definitiva, immagino che tu ti riferissi alla differenza tra componenti covarianti e controvarianti in una trasformazione di coordinate arbitraria. Visto che Gianky non ne ha parlato, probabilmente sottintendeva queste. In pratica, il mio era un invito a specificare l'ambito in cui era stato introdotto il concetto, probabilmente non era così necessario.
eh scusate si riguardo le componenti covarianti e controvarianti. Il libro che sto utilizzando una volta introdotta la definizione, dice uno scalare può essere scritto con quel tipo di matrice, un vettore con un altra matrice ma cercavo comunque di capire tu parli invece di leggi di trasformazioni allora mi puoi chiarire un pò le idee? Grazie e scusami se la domanda è banale ma il professore a lezione non spiega nulla e quindi mi tocca fare tutto dal suo libro per l'altro fatto molto male a quanto vedo
Le notazioni sono un po' pesanti. Aspettiamo la risposta di dissonance, penso che possa indicarti una risorsa già disponibile.
Per come ho studiato io i tensori, la definizione è questa: data una varietà differenziabile \(M\) (nel caso della meccanica analitica \(M=\text{spazio delle configurazioni}\), in relatività speciale \(M=\text{spazio di Minkowski}\), ecc...) un tensore di tipo \((r, s)\) in un punto \(p \in M\) è una applicazione
\[t_p\colon \underbrace{T_pM\times \ldots \times T_pM}_{r\ \text{volte}}\times \underbrace{T^\star_pM \times \ldots \times T^\star_pM}_{s\ \text{volte}} \to \mathbb{R} \]
lineare in ogni argomento. Scelta una base \(e_1 \ldots e_n\) di \(T_pM\) e la corrispondente base duale \(e^1\ldots e^n\) di \(T^\star_p M\), il tensore \(t_p\) si decompone in coordinate:
\[t_p=(t_p)^{i_1\ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}e_{i_1}\otimes \ldots\otimes e_{i_r}\otimes e^{j_1}\otimes\ldots \otimes e^{j_s}\]
e la lista di numeri reali \(\left((t_p)^{i_1\ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}\ :\ i_1 \ldots j_s =1, 2\ldots n \right)\) individua univocamente il tensore sulla base scelta. Cambiando base la lista delle coordinate si trasforma secondo la nota legge di trasformazione dei tensori, che non riscrivo perché un po' pesante: maggiori informazioni qui
post500966.html#p500966
Classicamente un tensore veniva definito direttamente così (e in fisica la definizione classica è rimasta in vigore): un tensore di tipo \((r, s)\) è la classe di equivalenza di una lista di numeri che si trasforma per cambiamento di base secondo la legge di trasformazione tensoriale. Quindi i numerini \(r\) ed \(s\) indicano il numero di indici rispettivamente alti e bassi necessari a descrivere completamente il tensore: siccome un vettore è un oggetto di tipo
\[v=v^1e_1+v^2e_2+\ldots+v^ne_n, \]
esso è un tensore di tipo \((1, 0)\). Uno scalare invece è un tensore degenere, nel senso che non cambia proprio per cambiamento di base (un esempio di scalare è la massa di un punto materiale: comunque noi cambiamo sistema di riferimento la massa sarà misurata sempre alla stessa maniera). E quindi convenzionalmente diciamo che è un tensore di tipo \((0,0)\).
Insomma, più o meno è così, bisogna barcamenarsi tra le varie definizioni che si adottano nei contesti diversi. Il pdf citato prima è stato per me molto utile.
\[t_p\colon \underbrace{T_pM\times \ldots \times T_pM}_{r\ \text{volte}}\times \underbrace{T^\star_pM \times \ldots \times T^\star_pM}_{s\ \text{volte}} \to \mathbb{R} \]
lineare in ogni argomento. Scelta una base \(e_1 \ldots e_n\) di \(T_pM\) e la corrispondente base duale \(e^1\ldots e^n\) di \(T^\star_p M\), il tensore \(t_p\) si decompone in coordinate:
\[t_p=(t_p)^{i_1\ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}e_{i_1}\otimes \ldots\otimes e_{i_r}\otimes e^{j_1}\otimes\ldots \otimes e^{j_s}\]
e la lista di numeri reali \(\left((t_p)^{i_1\ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}\ :\ i_1 \ldots j_s =1, 2\ldots n \right)\) individua univocamente il tensore sulla base scelta. Cambiando base la lista delle coordinate si trasforma secondo la nota legge di trasformazione dei tensori, che non riscrivo perché un po' pesante: maggiori informazioni qui
post500966.html#p500966
Classicamente un tensore veniva definito direttamente così (e in fisica la definizione classica è rimasta in vigore): un tensore di tipo \((r, s)\) è la classe di equivalenza di una lista di numeri che si trasforma per cambiamento di base secondo la legge di trasformazione tensoriale. Quindi i numerini \(r\) ed \(s\) indicano il numero di indici rispettivamente alti e bassi necessari a descrivere completamente il tensore: siccome un vettore è un oggetto di tipo
\[v=v^1e_1+v^2e_2+\ldots+v^ne_n, \]
esso è un tensore di tipo \((1, 0)\). Uno scalare invece è un tensore degenere, nel senso che non cambia proprio per cambiamento di base (un esempio di scalare è la massa di un punto materiale: comunque noi cambiamo sistema di riferimento la massa sarà misurata sempre alla stessa maniera). E quindi convenzionalmente diciamo che è un tensore di tipo \((0,0)\).
Insomma, più o meno è così, bisogna barcamenarsi tra le varie definizioni che si adottano nei contesti diversi. Il pdf citato prima è stato per me molto utile.
Il concetto di tensore si definisce rispetto ad un determinato gruppo di trasformazioni, sarebbe meglio specificare quest'ultimo
Adesso non esageriamo. XD leggi(gete?) qui, e' il tentativo migliore di partire dall'inizio della storia...
Ci sono anche gli esercizi, non potete lamentarvi!
Ok. A questo punto inviterei Gianky a precisare il contesto in cui sono stati introdotti. Magari potrebbe cavarsela senza utilizzare un formalismo troppo oneroso.
@killing_buddha: E si ma non puoi proporre una lettura del genere ad uno studente di Meccanica Analitica. Quella è certamente la maniera più moderna ed esauriente di trattare l'argomento "tensori", ma è anche esageratamente astratta per le applicazioni alla meccanica.
@killing_buddha
Hai dimenticato di riportare l'autore della frase infelice.
Hai dimenticato di riportare l'autore della frase infelice.
"speculor":
Il concetto di tensore si definisce rispetto ad un determinato gruppo di trasformazioni, sarebbe meglio specificare quest'ultimo.
"dissonance":
@killing_buddha: E si ma non puoi proporre una lettura del genere ad uno studente di Meccanica Analitica. Quella è certamente la maniera più moderna ed esauriente di trattare l'argomento "tensori", ma è anche esageratamente astratta per le applicazioni alla meccanica.
Dipende da che applicazioni alla meccanica hai in mente. Alla definizione con le coordinate manca sempre qualcosa, impedisce di capire "cosa sia" un tensore. Sara' piu' lungo, ma sicuramente non e' meno difficile che mandare a memoria la definizione "e' qualcosa che trasforma secondo qualcos'altro". Il "prodotto di Kronecker mediante esercizi" e' ne' piu' ne' meno di quel che serve per accettare quella stranezza del prodotto tensore di vettori $v\otimes w$, che diventa una matrice di coordinate $v_iw_j$. E maneggiare correttamente le entita' in gioco permette di definire in un attimo buona parte degli oggetti di un corso di meccanica razionale come si deve, per esempio il tensore di inerzia (le cui molte proprieta' discendono immediatamente dall'averlo definito in un certo modo piuttosto che in un altro), oppure certe cose che si fanno in meccanica dei continui. Forse il modo giusto di affrontare le cose non e' su un corpo qualsiasi, ma e' il massimo che sono pronto ad ammettere. E' come la definizione epsilon-delta di limite: all'inizio che diavolo vuol dire? Eppure dopo averci speso un po' di tempo ci si rende conto che e' il modo giusto di enunciare un concetto intuitivo come la continuita'.
allora ragazzi il mio libro di analitica ha una prima parte dedicata all'algebra e parte proprio da spazi duali, biduali come nel pdf di killing!!!! poi le applicazioni sono nella seconda parte!!
Grazie, grazie. Vorrei dedicare questa vittoria al gruppo Bourbaki che da piu' di mezzo secolo rompe le palle agli applicati di mezzo pianeta XD
"killing_buddha":
Grazie, grazie. Vorrei dedicare questa vittoria al gruppo Bourbaki che da piu' di mezzo secolo rompe le palle agli applicati di mezzo pianeta XD
"killing_buddha":
Grazie, grazie. Vorrei dedicare questa vittoria al gruppo Bourbaki che da piu' di mezzo secolo rompe le palle agli applicati di mezzo pianeta XD
LOOOOOOOOL
Comunque indipendentemente dagli approcci utilizzati nel tentativo di rispondere al quesito da me chiesto, ringrazio tutti per avermi chiarito un pò le idee. Grazie a tutti voi mi è stato più semplice capire l'inizio dell'algebra tensoriale che è stato oggetto della lezione odierna del nostro prof. su nostra insistenza!!!
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