Tensore applicato ad n
Ho letto le ricerche precedenti ma non ho ancora compreso cosa voglia dire tensore applicato a n, quindi vi chiedo di farmelo comprendere con un esempio.
Preso un tensore F del secondo ordine
[F]= $[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]$
e: n=(0;2;3)
Mi potreste indicare F applicato ad n come sarebbe? e come si arriva a definirlo.
grazie anticipate
Preso un tensore F del secondo ordine
[F]= $[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]$
e: n=(0;2;3)
Mi potreste indicare F applicato ad n come sarebbe? e come si arriva a definirlo.
grazie anticipate
Risposte
Benvenuto sul forum!
Ho visto che hai aperto due topic quasi identici, elimina l'altro per cortesia.
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Dato uno spazio vettoriale $V$, un tensore del secondo ordine è una funzione $T:V \to V$ lineare. Se $v \in V$ è un vettore possiamo applicare il tensore $T$ a $v$, ovvero calcolare la funzione $T$ in $v$. Scriviamo $T(v)$ o più semplicemente $Tv$.
Questo è quanto, a livello teorico
____
Concretamente preferiamo lavorare con una base.
Se scegliamo una base $\{e_i\}_i$ sullo spazio $V$ abbiamo $v = \sum_i v^ie_i$. Applicando il tensore $T$ al vettore e ricordando la linearità otteniamo:
\[Tv = T(\sum_i v^ie_i) = (\sum_iv^iTe_i)\]
Ma $Te_i$ è ancora un elemento di $V$ e quindi si può espandere sulla base ottenendo:
\[Tv = T(\sum_i v^ie_i) = \sum_iv^iTe_i = \sum_iv^i(\sum_j A^j_i e_j) = \sum_{ij} A^j_i v^ie_j\]
Quindi applicare un tensore ad un vettore (una volta scelta una base) restituisce un vettore di componenti \(y^j = \sum_i A^j_i v^i\) dove $A^j_i$ sono le componenti del tensore $T$ rispetto alla base scelta.
\(A^j_i\) è la matrice che rappresenta $T$ rispetto alla base $\{e_i\}$, a volte indicata con $[T]$. Quindi, concludendo, applicare un tensore $T$ a un vettore $v$ è un'operazione che restituisce un vettore $y$ le cui componenti rispetto alla base sono espresse da \(y^j = \sum_i A^j_i v^i\).
Andando sui calcoli:
\[\begin{cases} y^1 = \sum_i [F]^1_i n^i = 1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 0\cdot 3 = 0 \\
y^2 = \sum_i [F]^2_i n^i = 0\cdot 0 + 1\cdot 2 + 1\cdot 3 = 5 \\
y^3 = \sum_i [F]^3_i n^i = 0\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 3 = 3 \end{cases}\]
o più succintamente:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3\end{pmatrix}\]
Il vettore che ottieni è infine \(y = \sum_i y^i e_i = 0 e_1 + 5 e_2 + 3 e_3\)
La cosa che voglio lasciarti è che la $n$-upla $(0,5,3)$ non è $F$ applicato a $n$ ma sono le sue componenti rispetto ad una base scelta!
Ho visto che hai aperto due topic quasi identici, elimina l'altro per cortesia.
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Dato uno spazio vettoriale $V$, un tensore del secondo ordine è una funzione $T:V \to V$ lineare. Se $v \in V$ è un vettore possiamo applicare il tensore $T$ a $v$, ovvero calcolare la funzione $T$ in $v$. Scriviamo $T(v)$ o più semplicemente $Tv$.
Questo è quanto, a livello teorico
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Concretamente preferiamo lavorare con una base.
Se scegliamo una base $\{e_i\}_i$ sullo spazio $V$ abbiamo $v = \sum_i v^ie_i$. Applicando il tensore $T$ al vettore e ricordando la linearità otteniamo:
\[Tv = T(\sum_i v^ie_i) = (\sum_iv^iTe_i)\]
Ma $Te_i$ è ancora un elemento di $V$ e quindi si può espandere sulla base ottenendo:
\[Tv = T(\sum_i v^ie_i) = \sum_iv^iTe_i = \sum_iv^i(\sum_j A^j_i e_j) = \sum_{ij} A^j_i v^ie_j\]
Quindi applicare un tensore ad un vettore (una volta scelta una base) restituisce un vettore di componenti \(y^j = \sum_i A^j_i v^i\) dove $A^j_i$ sono le componenti del tensore $T$ rispetto alla base scelta.
\(A^j_i\) è la matrice che rappresenta $T$ rispetto alla base $\{e_i\}$, a volte indicata con $[T]$. Quindi, concludendo, applicare un tensore $T$ a un vettore $v$ è un'operazione che restituisce un vettore $y$ le cui componenti rispetto alla base sono espresse da \(y^j = \sum_i A^j_i v^i\).
Andando sui calcoli:
\[\begin{cases} y^1 = \sum_i [F]^1_i n^i = 1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 0\cdot 3 = 0 \\
y^2 = \sum_i [F]^2_i n^i = 0\cdot 0 + 1\cdot 2 + 1\cdot 3 = 5 \\
y^3 = \sum_i [F]^3_i n^i = 0\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 3 = 3 \end{cases}\]
o più succintamente:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 3\end{pmatrix}\]
Il vettore che ottieni è infine \(y = \sum_i y^i e_i = 0 e_1 + 5 e_2 + 3 e_3\)
La cosa che voglio lasciarti è che la $n$-upla $(0,5,3)$ non è $F$ applicato a $n$ ma sono le sue componenti rispetto ad una base scelta!
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