Tema d'esame: chi mi aiuta a correggere il mio svolgimento?
Salve a tutti 
Sto svolgendo dei vecchi temi d'esame e , da solo , non riesco a capire se i miei svolgimenti sono giusti o meno.Spezzetto il post in post più piccoli se ai moderatori va bene, per non creare una discussione troppo dispersiva.
Questo è il primo esercizio:
Questo è il mio svolgimento.
Punto 1
La matrice associata è $A = ( (t,t-1,1),(t-1,t-1,0),(1,0,1))$
Punto 2
Per cercare la dimensione del kernel ho usato un po Gauss per ottenere una matrice più semplice
$((t,t-1,1),(1,0,1),(0,0,0)) X = 0$
Quindi ho messo a sistema $ { ( x_1 + x_3 = 0 ),( tx_1 +(t-1)x_2 + x_3 = 0 ),( 0=0 ):} $ e ho ottenuto
${(x_3 = -x_1), ((t-1)(x_1 + x_2) = 0):}$
Concludendo che se $t=1 \rArr dim(Ker_(rho_t)) = 2$
mentre se $t != 1 \rArr dim(Ker_(rho_t)) = 1$
Quindi $dim(Ker_(rho_t)) != 0 AA t$
Punto 3
$A = ( (1,0,1), (0,0,0), (1,0,1) ) X = 0$
Allora si ha che i vettori che soddisfano la richiesta sono nella forma ${ ( x_1 = -x_2 ) , (AAx_2, AAx_3 ):}$
quindi come sapevamo la dimensione è 2 e una base è $Ker_(rho_1) = < ((-1),(1),(0)) , ((0),(0),(1))>$
Per il teorema della nullità si ha che $dim(Ker_(rho_t))+dim(Im_(rho_t)) = 3$ dato che siamo in $RR^3$
$dim(Im_(rho_t)) = 1$ e una sua base è $Im_(rho_t) = <((1),(0),(1))>$ ( una colonna della matrice $A$).
Per verificare se sono in somma diretta cerchiamo quando è vero che un vettore si può scrivere come combinazione del kernel e dell'immagine (moltiplico per $\lambda$ i vettori del kernel:
${(-\lambda_1 = \theta),(\lambda_1 = 0), (\lambda_2 = \theta):} \rArr (\lambda_1 = lambda_2 = theta = 0)$
Quindi sono in somma diretta, dato che l'unico elemento dell'intersezione è il vettore nullo.
Punto 4
Studia diagonalizzabilità al variare di $t$.
Sono partito considerando che $A=((t, t-1, 1), (t-1,t-1,0),(1,0,1))$ è simmetrica quindi per il teorema spettrale sicuramente diagonalizzabile.Oltretutto sappiamo che $dim(Ker(rho_t)) >= 1$ quindi sicuramente un autovettore per $A$ è $\lambda = 0$
Provo quindi a calcolare $det(A - 0*I) = 0$
e allora $det(A) = t(t-1) - (t-1) -(t-1)^2 = 0$ che porta a $0=0$ quindi la matrice è diagonalizzabile $AA t $.
Punto 5
Supponiamo $t=1$, trova autovalori con molteciplità algebrica e geometrica e un autospazio.
Allora ho riscritto la matrice con le condizioni richieste
$A= ((1-\lambda, 0, 1), (0, -\lambda, 0), (1,0,1-\lambda) ) v = 0$ e ho calcolato il determinante per trovare gli autovalori, da cui si ricava che sono $\lambda = 0$ con molteciplità algerica pari a 2 e $\lambda = 2$ con molteciplità algebrica pari a 1.
Allora ho cercato gli autovettori sostituendo nella matrice gli autovalori ottenuti e ho ricavato che un autospazio è
$E(A) = <((1),(-1),(0)), ((0),(0),(1)), ((1),(0),(1))>$
E con questo ho concluso, sperando di aver fatto tutto giusto
Grazie mille a chi si prende la briga anche solo di dargli un'occhiata
Sto svolgendo dei vecchi temi d'esame e , da solo , non riesco a capire se i miei svolgimenti sono giusti o meno.Spezzetto il post in post più piccoli se ai moderatori va bene, per non creare una discussione troppo dispersiva.
Questo è il primo esercizio:
Sia $rho_(t): RR^3 -> RR^3$ una applicazione lineare cosi definita:
$rho_t (e_1) = te_1 + (t-1)e_2 + e_3; $
$rho_t (e_2) = (t-1)e_1 + (t-1)e_2;$
$rho_t (e_3) = e_1 + e_3$
1) scrivere la matrice $A_(rho_t)$ associata a $rho_t$;
2) determinare i valori di $t$ per cui $dim(Ker_(rho_t)) != 0$;
3) nel caso in cui $t = 1$, determinare $Ker(rho_(t=1)) e Im(rho_(t=1))$; la somma tra $Ker(rho_(t=1)) e Im(rho_(t=1))$ è diretta?
4) studiare la diagonalizzabilità di $rho_t$ al variare di $t$;
5) nel caso in cui $t = 1$ determinare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica e un
autospazio;
Questo è il mio svolgimento.
Punto 1
La matrice associata è $A = ( (t,t-1,1),(t-1,t-1,0),(1,0,1))$
Punto 2
Per cercare la dimensione del kernel ho usato un po Gauss per ottenere una matrice più semplice
$((t,t-1,1),(1,0,1),(0,0,0)) X = 0$
Quindi ho messo a sistema $ { ( x_1 + x_3 = 0 ),( tx_1 +(t-1)x_2 + x_3 = 0 ),( 0=0 ):} $ e ho ottenuto
${(x_3 = -x_1), ((t-1)(x_1 + x_2) = 0):}$
Concludendo che se $t=1 \rArr dim(Ker_(rho_t)) = 2$
mentre se $t != 1 \rArr dim(Ker_(rho_t)) = 1$
Quindi $dim(Ker_(rho_t)) != 0 AA t$
Punto 3
$A = ( (1,0,1), (0,0,0), (1,0,1) ) X = 0$
Allora si ha che i vettori che soddisfano la richiesta sono nella forma ${ ( x_1 = -x_2 ) , (AAx_2, AAx_3 ):}$
quindi come sapevamo la dimensione è 2 e una base è $Ker_(rho_1) = < ((-1),(1),(0)) , ((0),(0),(1))>$
Per il teorema della nullità si ha che $dim(Ker_(rho_t))+dim(Im_(rho_t)) = 3$ dato che siamo in $RR^3$
$dim(Im_(rho_t)) = 1$ e una sua base è $Im_(rho_t) = <((1),(0),(1))>$ ( una colonna della matrice $A$).
Per verificare se sono in somma diretta cerchiamo quando è vero che un vettore si può scrivere come combinazione del kernel e dell'immagine (moltiplico per $\lambda$ i vettori del kernel:
${(-\lambda_1 = \theta),(\lambda_1 = 0), (\lambda_2 = \theta):} \rArr (\lambda_1 = lambda_2 = theta = 0)$
Quindi sono in somma diretta, dato che l'unico elemento dell'intersezione è il vettore nullo.
Punto 4
Studia diagonalizzabilità al variare di $t$.
Sono partito considerando che $A=((t, t-1, 1), (t-1,t-1,0),(1,0,1))$ è simmetrica quindi per il teorema spettrale sicuramente diagonalizzabile.Oltretutto sappiamo che $dim(Ker(rho_t)) >= 1$ quindi sicuramente un autovettore per $A$ è $\lambda = 0$
Provo quindi a calcolare $det(A - 0*I) = 0$
e allora $det(A) = t(t-1) - (t-1) -(t-1)^2 = 0$ che porta a $0=0$ quindi la matrice è diagonalizzabile $AA t $.
Punto 5
Supponiamo $t=1$, trova autovalori con molteciplità algebrica e geometrica e un autospazio.
Allora ho riscritto la matrice con le condizioni richieste
$A= ((1-\lambda, 0, 1), (0, -\lambda, 0), (1,0,1-\lambda) ) v = 0$ e ho calcolato il determinante per trovare gli autovalori, da cui si ricava che sono $\lambda = 0$ con molteciplità algerica pari a 2 e $\lambda = 2$ con molteciplità algebrica pari a 1.
Allora ho cercato gli autovettori sostituendo nella matrice gli autovalori ottenuti e ho ricavato che un autospazio è
$E(A) = <((1),(-1),(0)), ((0),(0),(1)), ((1),(0),(1))>$
E con questo ho concluso, sperando di aver fatto tutto giusto
Grazie mille a chi si prende la briga anche solo di dargli un'occhiata
Risposte
punto 2: non ho svolto i conti quindi potrebbe anche solo essere un errore di trascrizione ma non m trovo con la riduzione con Gauss che hai fatto
punto 5: a me sembra che tu abbia calcolato una base formata da autovettori che però non era la richiesta (ancora una volta però non ho fatto conti). se così non fosse e quello è l'autospazio relativo all'autovalore $lambda =0$ allora hai sbagliato.
il resto mi sembra corretto
punto 5: a me sembra che tu abbia calcolato una base formata da autovettori che però non era la richiesta (ancora una volta però non ho fatto conti). se così non fosse e quello è l'autospazio relativo all'autovalore $lambda =0$ allora hai sbagliato.
il resto mi sembra corretto
Grazie mille cooper
Per il punto due riguardando mi sembra che ho fatto bene la riduzione.Però potrei anche proprio non vederlo l'errore facendomelo passare sotto il naso
Mentre per il punto 5, cavolo hai ragione, ho fatto una base di autovettori, mi sono ingarbugliato con la definizione teoricamente sarebbe bastato anche solo determinare un vettore associato a $\lambda=2$ ?
Per il punto due riguardando mi sembra che ho fatto bene la riduzione.Però potrei anche proprio non vederlo l'errore facendomelo passare sotto il naso
Mentre per il punto 5, cavolo hai ragione, ho fatto una base di autovettori, mi sono ingarbugliato con la definizione
teoricamente sarebbe bastato anche solo determinare un vettore associato a $\lambda=2$ ?
Non riesco a vedere perché la terza riga si annulla nella riduzione
Si sarebbe bastato
Si sarebbe bastato
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