Supplemento ortogonale

[ale92_11]

salve a tutti ho un problema con i supplementi ortogonali, sono mancato ad una lezione e con gli appunti di un mio amico non riesco a capire bene...la teoria più o meno l'ho capita...il supplemento ortogonale è quel sottospazio U formato da vettori ortogonali a vettori di V (quindi vuole dire che il prodotto scalare porta sempre 0 corretto???) entrambi sottospazi di W

però mi blocco sulla parte pratica, non riesco nemmeno a impostare un esercizio figuriamoci a risolverlo...ve ne propongo due...
1) veramente stupido : Se U = Span(e1 + 7e2 + e3) \( \subseteq R3 \), è vero che U ortogonale ha dimensione 3? (dove e1,e2,e3 base canonica di R3)
a questo ci dovrei essere arrivato... la dimensione di V (R3) è 3, quella di U è 1, quindi quella di U ortogonale dovrebbe essere 2...giusto???

2)è un pò più lungo ma devo farlo tutto se no non si capisce
Considera l'applicazione lineare T : R3[t] -> R2 tale che $T(p(t)) = ((p(1)) ,(p'(2)))$
a) Calcola la dimensione del nucleo e dell'immagine di T;
b) trova una base ortonormale di V = Ker T, rispetto al prodotto scalare standard su R3[t];
c) trova equazioni cartesiane e parametriche dello spazio V ortogonale;
d) scrivi la matrice associata alla proiezione ortogonale PV : R3[t] -> R3[t] rispetto ad una base di R3[t]
a tua scelta.

sono più che altro gli ultimi due punti a darmi problemi
comunque iniziamo...
a) di questo punto mi limito a scrivervi la base del nucleo che ho trovato e la sua dimensione
$B ((3),(-4),(1),(0)) , ((11),(-12),(0),(1))$ e dimensione ovviamente = 2

b)base ortogonale $B1 ((3),(-4),(1),(0)) , ((43/26),(6/13),(-81/26),(1))$
base ortonormale $B2 (1/sqrt{26}*((3),(-4),(1),(0))) , (1/sqrt{4615/338}((43/26),(6/13),(-81/26),(1)))$

non è che oltre l'esercizio qualcuno mi controlla i calcoli...perchè mi sembrano veramente strani...io ho usato il procedimento di ortogonalizzazione di gram schmidt

fatta questa lunga premessa...mi aiutereste con il c e il d

Edit:
dovrei aver trovato un modo per risolvere il c, prendo la base di v ( quella del primo punto) e la metto a sistema in questo modo: ogni riga del sistema corrisponde alle coordinate di un vettore (quindi per esempio la prima riga è 3x-4y+z = 0) e lo risolvo trovando così una base di v ortogonale e da lì trovare le equazioni è semplice
mi manca solo il punto d...