Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

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21 mar 2020, 18:46

Sto imparando adesso cosa significhi rigorosamente la parola 'superficie k-dimesionale'.
La definizione che sto usando è questa:

un insieme $\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n $ è detto superficie k-dimensionale in $\displaystyle \mathbb{R}^n $ se per ogni punto $\displaystyle x_0\in S $ esiste un suo intorno $\displaystyle U(x_0) $ e un diffeomorfismo $\displaystyle \varphi $ (cioé un cambio di coordinate da $\displaystyle (x_1,...,x_n) $ a $\displaystyle (t_1,...,t_n) $) tale che nelle nuove coordinate l'insieme $\displaystyle U(x_0)\cap S $ si possa definire come $\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 $.

Vorrei cercare di capire se l'insieme $\displaystyle S=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2-x_2^2=0\} $ è una superficie 1-dimensionale in $\displaystyle \mathbb{R}^2 $.
Mi sembra di capire che la risposta sia no, a causa del fatto che $\displaystyle (0,0)\in S $, ma non riesco a dimostrarlo.

Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in $\displaystyle \mathbb{R}^2 $, allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine $\displaystyle U((0,0)) $ e un diffeomorfismo $\displaystyle \varphi $ di esso, tale che:

$\displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in U((0,0))\cap S $

tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.

Qualcuno può aiutarmi per favore?

Risposte

Silente

26 mar 2020, 12:21

Il cambio di coordinate che mi hai proposto.

Riprendendo sempre la definizione, bisogna prendere sempre un diffeomorfismo (o al massimo un omomorfismo). In particolare quindi la mappa scelta deve essere biunivoca.