Studio quartica

[marixg]

ciao a tutti!
sto facendo geometria II e mi ritrovo in crisi con questo esercizio:

studiare la quartica $y^2(x+y)^2-x^2(y+2)$ nell'origine degli assi , determinare asintoti e limitazioni.


chi mi potrebbe aiutare? è il primo che faccio.

[Clorinda1]

"marixg":ciao a tutti!
sto facendo geometria II e mi ritrovo in crisi con questo esercizio:

studiare la quartica $y^2(x+y)^2-x^2(y+2)$ nell'origine degli assi , determinare asintoti e limitazioni.


chi mi potrebbe aiutare? è il primo che faccio.

Si tratta di una curva algebrica.
Vediamo, innanzitutto, cosa succede nell'origine degli assi: vogliamo determinare se il punto di origine degli assi è singolare.

Ricordiamo che un punto P(p_1,p_2) è singolare per la curva algebrica $f(x,y)=0$ se
$\nabla_{(p_1,p_2)}f=(\frac{\partial f}{\partial x}|_{(p_1,p_2),\frac{\partial f}{\partial y}|_{(p_1,p_2)}=0$

Quindi calcolo le derivate della curva rispetto alle due variabili:
$\frac{\partial f}{\partial x}|=2(x+y)^2y^2-2x(y+2)$
$\frac{\partial f}{\partial y}|=2y(x+y)+y^2\cdot 2 \cdot (x+y)-x^2$
e sostituendo le coordinate $(0,0)$ si trova che l'origine è un punto singolare.

[marixg]

fin qui ci sono:)
abbiamo provato che $0$ è singolare. dopo come si procede?

[Clorinda1]

"marixg":fin qui ci sono:)
abbiamo provato che $0$ è singolare. dopo come si procede?

Bisogna trovare i punti impropri, quindi devi trasformare il polinomio della tua curva algebrica in un polinomio omogeneo:
$-2X^2Z-X^2YZ+Y^2X^2+Y^4+2XY^3=0$
da intersecare con $Z=0.$

Quindi il polinomio si riduce a

$Y^2X^2+Y^4+2XY^3=0$ che si scompone come: $Y^2(X^2+2XY+Y^2)=0$, ovvero: $Y^2(X+Y)^2=0$
e i punti impropri sono: $P_{1}=[1,0,0]$ e $P_2=[1,-1,0]$.
Fin qui ok?
A questo punto devi traslarli nell'origine per calcolare le tangenti.

[marixg]

"Clorinda:Bisogna trovare i punti impropri, quindi devi trasformare il polinomio della tua curva algebrica in un polinomio omogeneo:
$-2X^2Z-X^2YZ+Y^2X^2+Y^4+2XY^3=0$ .

scusa ma non dovrebbe essere cosi?$-2X^2Z^2-X^2YZ+Y^2X^2+Y^4+2XY^3=0$ ho modificato il primo termine

[marixg]

ora bisogna traslare..
come si fa?

[Clorinda1]

"marixg":[quote="Clorinda]Bisogna trovare i punti impropri, quindi devi trasformare il polinomio della tua curva algebrica in un polinomio omogeneo:
$-2X^2Z-X^2YZ+Y^2X^2+Y^4+2XY^3=0$ .

scusa ma non dovrebbe essere cosi?$-2X^2Z^2-X^2YZ+Y^2X^2+Y^4+2XY^3=0$ ho modificato il primo termine[/quote][/quote][/quote]
Sì, infatti, mi ero sbagliata.
A questo punto dobbiamo portarci in una carta affine: ad esempio posso scrivere $x=\frac{X}{X}$, $y=\frac{Y}{X}$
e $z=\frac{Z}{X}$, quindi ottengo il polinomio:
$-2z-yz+y^2+y^4+2y^3=0$
e i due punti impropri vanno nei punti : $[0,0]$ e $[-1,0]$.
Per quanto riguarda il primo punto non devi effettuare traslazioni.
Per quanto riguarda il secondo punto puoi scrivere $x=y+1$

[marixg]

ok. devo sostituire $x=y+1$ in quale equazione?

[Clorinda1]

"marixg":ok. devo sostituire $x=y+1$ in quale equazione?

Nell'ultima che ho scritto.

[marixg]

ma la $x$ non figura

[Clorinda1]

"marixg":ma la $x$ non figura

Puoi vederlo scritto come: $y=x-1$
quindi:
$-2z-(x-1)z+(x-1)^2+(x-1)^4+2(x-1)^3=0$
$-2z-x+z+x^2+1-2x+x^4+1+4x^2+2x^2+4x^3+4x+2(x^3-3x^2+3x+1)=0$
poi prendi la parte di grado $1$ poiché vogliamo una retta:

$-2z-x+z-2x+4x+6x=0$

[marixg]

grazie mille:) sei stata illuminante!!!

spero tu mi possa aiutare con altri dubbi che mi assalgono:)
ciao:)
un bacio:)

[marixg]

per trovare le limitazioni della curva?