Studio di una matrice associata a una funzione 3x1

[Antony1188]

Ciao ragazzi, mi potreste dare una mano? nello scorso esame di istituzioni di matematica 1 ho trovato un esercizio in cui mi si chiedeva di trovare una base e descrivere il ker f e l'immagine di f della seguente "matrice" e dopo trovare autovalori e autovettori, ma se non sbaglio il risultato dovrebbe essere una vettore 3x1 e non ho idea di come dovrei fare... qualcuno potrebbe darmi qualche consiglio? la funzione è questa:



.../x/../...../x 1 4/./...../7/
f /y/=/ det../y 2 5/./.x.../7/
.../z/../...../z 3 6/./...../7/

Vi ringrazio tantissimo per l'attenzione, scusatemi se non ho scritto in Tex

[21zuclo]

non si capisce niente della tua funzione

ti consiglio di leggere qui (clicca) ti dice come scrivere le formule.

poi posta qualche tuo tentativo giusto o sbagliato che sia..

[Antony1188]

$f((x),(y),(z))=(det((x,1,4),(y,2,5),(z,3,6)))((7),(7),(7))$
Eccola!! scusatemi ancora, comunque il mio dubbio principale è come trovare il ker e l'immagine di una matrice 3x1,(perchè il risultato dell'operazione dovrebbe essere una matrice 3x1 giusto? grazie mille dell'attenzione e della pazienza

[marco.bre]

Sei sicuro di aver scritto bene la funzione?

Assumendo che sia corretta vediamo che il determinante di una matrice (quadrata) è uno scalare che moltiplicato per un vettore di $bbbR^3$ (è semplicemente il prodotto di uno scalare - matrice 1x1 - per un vettore) dà ancora un vettore di $bbbR^3$. Praticamente

$f:bbbR^3 to bbbR^3;f(((x),(y),(z)))=((7(alpha x + beta y + gamma z)),(7(alpha x + beta y + gamma z)),(7(alpha x + beta y + gamma z)))$

dove $alpha,beta,gamma$ sono calcolabili esplicitamente.

Ora nucleo e immagine sono sottospazi del dominio e del codominio rispettivamente e quindi, nel caso in esame, di $bbbR^3$.
Il nucleo lo calcoli con la definizione
$text{ker}(f)={x in bbbR^3: f(x)=0}$
l'immagine la calcoli come il generato delle immagini dei vettori di una base del dominio