Strutture matematiche
Salve. Vorrei qualche chiarimento sulle strutture matematiche e i loro rapporti reciprochi. In particolare so che uno spazio vettoriale è una struttura algebrica su un insieme. Lo sono anche lo spazio affine e proiettivo? Che relazione c'è tra spazio affine e spazio vettoriale? Da quel che ho capito ogni spazio vettoriale è uno spazio affine ma avviene anche il contrario?
Risposte
Ciao!
Uno spazio vettoriale è uno spazio affine, ma il viceversa non è vero, o meglio, non è "ben posto": diciamo che la struttura di spazio affine non ne induce naturalmente una di spazio vettoriale.
Uno spazio affine è un insieme (i cui elementi si dicono punti) dotato di un'azione di uno spazio vettoriale (la traslazione) che soddisfa determinate proprietà (per una definizione precisa guarda qui). Per capirci, come ci disse una volta un nostro professore (credo di aver già raccontato 'sta storia nel forum
) gli elementi di uno spazio affine "possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!".
Questa definizione serve per poter distinguere "i punti dai vettori", "le posizioni dagli spostamenti" (almeno cosi' la vedo io). In altre parole (osservando che ogni spazio vettoriale è spazio affine su se stesso, con l'azione indotta dalla somma) per esempio in $RR^2$ potremo distinguere il punto (1,2) dal vettore (1,2), e potremo parlare di sottospazi vettoriali (come y=2x) e di sottospazi affini (come y=2x+1).
Quindi in qualche modo non si ha interesse a vedere uno spazio affine come spazio vettoriale (anche se cio' è possibile).
Quanto allo spazio proiettivo (chiamiamolo P) di dimensione n su $RR$, lo si puo' pensare come l'insieme delle n-ple $(x_0,...,x_n) in RR^{n+1}-\{0\}$ modulo proporzionalità. Allora se H è un luogo definito da un'equazione omogenea (per esempio $x_0=0$) il suo complementare P-H in P ha una struttura di spazio affine (nel caso di $x_0=0$, tale struttura si deduce dividendo i vettori $underline{x}$ per $x_0$ - in virtu' del fatto che stiamo lavorando modulo proporzionalità - e identificando nel modo ovvio cio' che si ottiene con lo spazio affine $RR^n$). Se H è definito da $x_i=0$ possiamo pensare P-H definito da $x_i ne 0$. Allora P risulta essere (evidentemente) l'unione $(x_0 ne 0) cup ... cup (x_n ne 0)$, quindi P è un'unione finita di affini.
Quindi gli spazi affini sono insiemi (di punti) su cui agiscono "bene" spazi vettoriali (traslando), e gli spazi proiettivi sono "incollamenti" di spazi affini.
Spero di essere stato d'aiuto.
Uno spazio vettoriale è uno spazio affine, ma il viceversa non è vero, o meglio, non è "ben posto": diciamo che la struttura di spazio affine non ne induce naturalmente una di spazio vettoriale.
Uno spazio affine è un insieme (i cui elementi si dicono punti) dotato di un'azione di uno spazio vettoriale (la traslazione) che soddisfa determinate proprietà (per una definizione precisa guarda qui). Per capirci, come ci disse una volta un nostro professore (credo di aver già raccontato 'sta storia nel forum
) gli elementi di uno spazio affine "possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!".Questa definizione serve per poter distinguere "i punti dai vettori", "le posizioni dagli spostamenti" (almeno cosi' la vedo io). In altre parole (osservando che ogni spazio vettoriale è spazio affine su se stesso, con l'azione indotta dalla somma) per esempio in $RR^2$ potremo distinguere il punto (1,2) dal vettore (1,2), e potremo parlare di sottospazi vettoriali (come y=2x) e di sottospazi affini (come y=2x+1).
Quindi in qualche modo non si ha interesse a vedere uno spazio affine come spazio vettoriale (anche se cio' è possibile).
Quanto allo spazio proiettivo (chiamiamolo P) di dimensione n su $RR$, lo si puo' pensare come l'insieme delle n-ple $(x_0,...,x_n) in RR^{n+1}-\{0\}$ modulo proporzionalità. Allora se H è un luogo definito da un'equazione omogenea (per esempio $x_0=0$) il suo complementare P-H in P ha una struttura di spazio affine (nel caso di $x_0=0$, tale struttura si deduce dividendo i vettori $underline{x}$ per $x_0$ - in virtu' del fatto che stiamo lavorando modulo proporzionalità - e identificando nel modo ovvio cio' che si ottiene con lo spazio affine $RR^n$). Se H è definito da $x_i=0$ possiamo pensare P-H definito da $x_i ne 0$. Allora P risulta essere (evidentemente) l'unione $(x_0 ne 0) cup ... cup (x_n ne 0)$, quindi P è un'unione finita di affini.
Quindi gli spazi affini sono insiemi (di punti) su cui agiscono "bene" spazi vettoriali (traslando), e gli spazi proiettivi sono "incollamenti" di spazi affini.
Spero di essere stato d'aiuto.
Per come la vedo io uno spazio affine è una struttura simile a uno spazio vettoriale ma "senza un'origine privilegiata"
Possiamo dire che l'insieme degli spazi vettoriali è contenuto nell'insieme degli spazi affini?
Inoltre so che le principali strutture matematiche sono:
struttura algebrica
struttura topologica
struttura d'ordine
La struttura di spazio affine e di spazio proiettivo appartengono a una di queste tre? O meglio a una delle prime due?
Inoltre so che le principali strutture matematiche sono:
struttura algebrica
struttura topologica
struttura d'ordine
La struttura di spazio affine e di spazio proiettivo appartengono a una di queste tre? O meglio a una delle prime due?
"giaco1975":
Possiamo dire che l'insieme degli spazi vettoriali è contenuto nell'insieme degli spazi affini?
Prima di dire cosi' devi dire quale struttura di spazio affine su se stesso ha uno spazio vettoriale. Per esempio se doti ogni spazio vettoriale dell'azione su se stesso indotta dalla somma, allora quello che dici ha senso ed è vero.
Inoltre so che le principali strutture matematiche sono:
struttura algebrica
struttura topologica
struttura d'ordine
La struttura di spazio affine e di spazio proiettivo appartengono a una di queste tre? O meglio a una delle prime due?
Non so bene cosa intendi con "struttura algebrica", comunque mi verrebbe di dire che spazio affine e proiettivo sono "strutture algebriche". Quanto alla struttura topologica, non mi pare che ve ne sia una "naturale" nell'ambito della sola algebra lineare. Per esempio invece in geometria algebrica spazio affine e proiettivo sono definiti come schemi e hanno la topologia di Zariski.
Per "struttura algebrica" intendo gruppi, anelli, algebre, ecc...
"giaco1975":
Per "struttura algebrica" intendo gruppi, anelli, algebre, ecc...
Non riesco a dare un significato a "ecc."
Allora anche una topologia è una struttura algebrica, perché no?
Ho trovato questa definizione di struttura algebrica:
Una struttura algebrica è un insieme S chiamato insieme sostegno munito di una o più operazioni che possono essere nullarie, unarie, binarie, ... e che sono caratterizzate dall'avere determinate proprietà. In altre parole una struttura algebrica è un insieme totalmente ordinato contenente operazioni, insiemi e relazioni fra essi.
Mentre per spazio topologico:
Uno spazio topologico è una coppia (X, T), dove X è un insieme e T una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti, che soddisfa le proprietà seguenti:
l'insieme vuoto e X sono aperti;
l'unione di una quantità arbitraria di aperti è un aperto;
l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.
Quindi non c'è differenza tra struttura algebrica e struttura topologica?
Non sono due "tipi" di strutture diverse?
La struttura algebrica mi sembra avere a che fare col concetto di operazione e sue proprietà mentre quella di spazio topologico col concetto di "vicinanza".
Una struttura algebrica è un insieme S chiamato insieme sostegno munito di una o più operazioni che possono essere nullarie, unarie, binarie, ... e che sono caratterizzate dall'avere determinate proprietà. In altre parole una struttura algebrica è un insieme totalmente ordinato contenente operazioni, insiemi e relazioni fra essi.
Mentre per spazio topologico:
Uno spazio topologico è una coppia (X, T), dove X è un insieme e T una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti, che soddisfa le proprietà seguenti:
l'insieme vuoto e X sono aperti;
l'unione di una quantità arbitraria di aperti è un aperto;
l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.
Quindi non c'è differenza tra struttura algebrica e struttura topologica?
Non sono due "tipi" di strutture diverse?
La struttura algebrica mi sembra avere a che fare col concetto di operazione e sue proprietà mentre quella di spazio topologico col concetto di "vicinanza".
Perché richiedi che il sostegno di una struttura algebrica sia un insieme totalmente ordinato? Non mi pare necessario: per esempio nella definizione di gruppo non è citata alcuna relazione d'ordine.
In ogni caso, una topologia T su un insieme X allora è una struttura algebrica: hai due operazioni (unione e intersezione) con in più la chiusura per unioni arbitrarie. (*)
Non so cosa intendi con "tipi" di strutture diverse: formalmente una topologia dà una struttura ad un insieme, come fanno gli assiomi di gruppo o di anello.
(*) edito: no forse questo non va bene, dato che una topologia non funge da "sostegno".
Comunque con la definizione di struttura algebrica che hai dato, spazio affine e proiettivo sono strutture algebriche (a condizione di vedere lo spazio proiettivo come l'insieme dei sottospazi vettoriali di un dato spazio).
In ogni caso, una topologia T su un insieme X allora è una struttura algebrica: hai due operazioni (unione e intersezione) con in più la chiusura per unioni arbitrarie. (*)
Non so cosa intendi con "tipi" di strutture diverse: formalmente una topologia dà una struttura ad un insieme, come fanno gli assiomi di gruppo o di anello.
(*) edito: no forse questo non va bene, dato che una topologia non funge da "sostegno".
Comunque con la definizione di struttura algebrica che hai dato, spazio affine e proiettivo sono strutture algebriche (a condizione di vedere lo spazio proiettivo come l'insieme dei sottospazi vettoriali di un dato spazio).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo