Strano esercizio

[Sk_Anonymous]

è la prima volta che mi imbatto in un esercizio del genere e non lo so fare (lo ammetto pubblicamente!);eccolo:


Data la funzione $a^2/x^2-1,ainRR$ e la circonferenza di equazione $x^2+y^2=a^2$ si trovi il valore di $a$ per cui le intersezioni tra le due curve sono vertici di un esagono regolare.
In questo caso particolare si calcolino le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve.

[MaMo2]

Dopo un po' di calcoli ho trovato i valori $a=+-2sqrt3$.

[Sk_Anonymous]

Non so farlo,quindi non so se sia giusto!

[Sk_Anonymous]

Se MN e' il lato dell'esagono ,allora e' MN=|a| =a (supponendo a>0,tanto e'
indifferente).
Pertanto il triangolo MNO e' equilatero e quindi il punto M ( oppure N)
ha coordinate $M(a/2,a/2sqrt3)$.Tale punto deve appartenere alla curva
e dunque:
$a/2sqrt3=(a^2)/(a^2//4)-1=3$ da cui $a=2sqrt3$.
In conclusione i valori richiesti di a sono: $a=+-2sqrt3$
karl

[elgiovo]

Io farei così. Posto senza conti perchè sono solo tediosi.
- la circonferenza e la funzione si intersecano nei punti $(-a,0)$, $(a,0)$ e in altri due punti, le cui ascisse sono $pm(sqrt2 sqrt( sqrt(4a^2+1) -1))/2$;
- il lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $a$ è proprio $a$, quindi si deve risolvere in $a$ l'equazione $sqrt2 sqrt( sqrt(4a^2+1) -1)=a$, che dà come risultato $a=2sqrt3$. E' da considerare accettabile anche il valore negativo, $-2sqrt3$, in quanto $a$ viene sempre elevato al quadrato.