Strano endomorfismo
si provi l'endomorfismo f dello spazio vettoriale dei polinomi col grado al più 3 è diagonalizzabile,determinando una base di autovettori.
l'endomorfismo è definito come segue:
1) il nucleo di f coincide col sottospazio di equazioni x1=0
x4=0 (tali condizioni sono asistema,ma non so come si scrive il sistema)
2) il polinomio x alla terza è un autovettore di autovalore 1
3) f trasforma il polinomio 2+x+xalla seconda nel polinomio costante 2.
l'endomorfismo è definito come segue:
1) il nucleo di f coincide col sottospazio di equazioni x1=0
x4=0 (tali condizioni sono asistema,ma non so come si scrive il sistema)
2) il polinomio x alla terza è un autovettore di autovalore 1
3) f trasforma il polinomio 2+x+xalla seconda nel polinomio costante 2.
Risposte
Cosa è che ti da problemi?...
l'endomorfismo non mi si trova diagonazlizzabile perchè mi trovo un autovalore 0 di molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 2.
@piccola.nutellina: per favore esponi il ragionamento che hai fatto.
Tieni sempre presente questa pagina e usa il mathml per scrivere le formule, grazie.
Tieni sempre presente questa pagina e usa il mathml per scrivere le formule, grazie.
mi sono calcolata la matrice asoccaita ad f nel riferimento naturale e mi viene tale matrice:(la scrivo per colonne):
1° colonna: 0 0 0 1
2° colonna: 2 0 0 0
3 °colonna: 0 0 0 0
4° colonna: 0 0 0 0
mi calcolo poi il polinomio caratteristico sottraendo sulla diagonale t.
mi calcolo il determinante con laplace e mi viene fuori t alla 4=0. quindi ho la molteplicità algebrica uguale a 4. ma la molteplicità geometriaca è uguale a 2.
1° colonna: 0 0 0 1
2° colonna: 2 0 0 0
3 °colonna: 0 0 0 0
4° colonna: 0 0 0 0
mi calcolo poi il polinomio caratteristico sottraendo sulla diagonale t.
mi calcolo il determinante con laplace e mi viene fuori t alla 4=0. quindi ho la molteplicità algebrica uguale a 4. ma la molteplicità geometriaca è uguale a 2.
Potresti spiegare la notazione? Qual è esattamente la base in cui scrivi la matrice?
nel riferimento naturale.. n:((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))
"piccola.nutellina":Lo spazio vettoriale che stai considerando è un insieme di polinomi quindi una sua base è un insieme di polinomi.
nel riferimento naturale.. n:((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))
Ti chiedo: che insieme di polinomi stai prendendo come "riferimento naturale"?
l'nsieme dei polinomi di grado al più 3
"piccola.nutellina":Per favore, cerca di leggere le domande che ti faccio. Ti ho chiesto che base stai usando. Una base di uno spazio di dimensione 4 è un insieme di 4 elementi. Quali sono i 4 polinomi che usi come base, e in che ordine?
l'nsieme dei polinomi di grado al più 3
E' un applicazione definita in questo modo: $f: RR_3[x] \to RR_3[x]$
la cui matrice associata nel riferimento naturale è: $((0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0))$
il cui rango è due.
Ora facendo il polinomio caratteristico, questa matrice diventa:
$((-t,2,0,0),(0,-t,0,0),(0,0,-t,0),(1,0,0,-t))$
svolgendo il determinante dovrebbe venire $t^4$
ora per studiare $a(f,0)$ vedo la molteplicità algebrica che è 4, invece quella geometria è 2. Quindi l'endomorfismo risulta NON diagonalizzabile.
Penso sia questo quello che volesse dire piccola.nutellina
Per martino:
credo che la base sia proprio $N=(1,x,x^2,x^3)$
la cui matrice associata nel riferimento naturale è: $((0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0))$
il cui rango è due.
Ora facendo il polinomio caratteristico, questa matrice diventa:
$((-t,2,0,0),(0,-t,0,0),(0,0,-t,0),(1,0,0,-t))$
svolgendo il determinante dovrebbe venire $t^4$
ora per studiare $a(f,0)$ vedo la molteplicità algebrica che è 4, invece quella geometria è 2. Quindi l'endomorfismo risulta NON diagonalizzabile.
Penso sia questo quello che volesse dire piccola.nutellina
Per martino:
credo che la base sia proprio $N=(1,x,x^2,x^3)$
Anche tu Lorin fai i conti senza dire che base usi...
Per martino:
credo che la base sia proprio $N=(1,x,x^2,x^3)$
si te l'avevo scritta dopo. Scusa
"Lorin":Quindi $x$ va in $2$ ? Ma mi risulta che $x$ dovesse stare nel nucleo...
la cui matrice associata nel riferimento naturale è: $((0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0))$
credo che la base sia proprio $N=(1,x,x^2,x^3)$
allora dalla traccia risulta 0,1,0,0 è trasformato in 0,0,0,0
0,1,0,0 è trasformato in 0,0,0,0
0,0,0,1 è trasformato in 0,0,0,1
2,1,1,0 è trasformato in 2,0,0,0
la base dovrebe essere quela a sinistra..giusto??
cmq volevo dire proprio quello che ha detto Lorin..come si deve svolgere?
sicuramente è diagonalizzabile.
0,1,0,0 è trasformato in 0,0,0,0
0,0,0,1 è trasformato in 0,0,0,1
2,1,1,0 è trasformato in 2,0,0,0
la base dovrebe essere quela a sinistra..giusto??
cmq volevo dire proprio quello che ha detto Lorin..come si deve svolgere?
sicuramente è diagonalizzabile.
Posto che usiamo la base $(1,x,x^2,x^3)$...
$, o sbaglio?
In questo caso $f(1)=1$, $f(x^3)=x^3$ e quindi la matrice è già diagonale.
"piccola.nutellina":Questo significa che il nucleo di $f$ dev'essere $
1) il nucleo di f coincide col sottospazio di equazioni x1=0
x4=0 (tali condizioni sono asistema,ma non so come si scrive il sistema)
In questo caso $f(1)=1$, $f(x^3)=x^3$ e quindi la matrice è già diagonale.
si il nucleo è quello ma non capisco cm hai fatto a fare la diagonalizzabilità.
Le condizioni sono
$f(x^3)=x^3$
$f(2+x+x^2)=2$
$f(x)=0$
$f(x^2)=0$
giusto?
Allora dalle ultime tre risulta
$2=f(2+x+x^2)=f(2)+f(x)+f(x^2)=f(2)$
Quindi $f(1)=1$.
Nella base $(1,x,x^2,x^3)$ abbiamo allora una matrice diagonale con sulla diagonale rispettivamente i valori $1,0,0,1$.
$f(x^3)=x^3$
$f(2+x+x^2)=2$
$f(x)=0$
$f(x^2)=0$
giusto?
Allora dalle ultime tre risulta
$2=f(2+x+x^2)=f(2)+f(x)+f(x^2)=f(2)$
Quindi $f(1)=1$.
Nella base $(1,x,x^2,x^3)$ abbiamo allora una matrice diagonale con sulla diagonale rispettivamente i valori $1,0,0,1$.
E perchè allora quando studiamo la molt.algebrica e quella geometrica ci vengono diversi i valori?
"Lorin":Secondo me avete sbagliato a scrivere la matrice... per quello vi chiedevo che base usavate.
E perchè allora quando studiamo la molt.algebrica e quella geometrica ci vengono diversi i valori?
mi puoi scrivere come hai svolto l'esercizio..scrivendolo però con l'isomorfismo coordinato e svolgendolo con il polinomio caratteristico..grazie
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