Stabilire se una matrice è diagonalizzabile

[JackPirri]

Ciao, devo stabilire se questa matrice reale è diagonalizzabile e in tal caso diagonalizzarla.Ho un dubbio sul primo quesito.

La matrice è A=$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$

Mi definisce un endomorifismo $f:R^3->R^3$.
Cosi definito $f(x,y,z)=(x+y+z,x+y+z,x+y+z)$

La matrice A è diagonalizzabile se e solo se f è semplice.Si tratta di esercizi guidati e il libro giunge alla conclusione che è diagonalizzabile.Ma io ho qualche dubbio perche f ha 2 autovalori distinti non 3.Perciò una base di $R^3$ formata da autivettori non esiste e quindi f non è semplice.Mi potete aiutare?Gli autovalori sono $k1=0$ e $k2=3$ $mak1=2$,$mak2=1$. Da qui si ha che $dimVk1=2$ e $dimVk2=1$Grazie.

[feddy]

Ma $A$ è palesemente una matrice simmetrica: sicuramente è diagonalizzabile.
Quello che tu dici è vero: se una matrice ha $n$ autovalori distinti, allora è diagonalizzabile. Ma è una condizione solo sufficiente. Nel caso in esame hai che per ogni autovalore si ha che la molteplicità geometria è pari a quella algebrica. Questo implica che la matrice è diagonalizzabile

[Magma1]

Se riesci a trovare una base di autovettori, allora $f$ è diagonalizzabile. Quindi cerca una base di autovettori.

"JackPirri":
Gli autovalori sono $k_1=0$ e $k_2=3$ con $ma(k_1)=2$,$ma(k_2)=1$. Da qui si ha che $dim(V_(k1))=2$ e $dim(V_(k2))=1$

Tra l'altro, se $dim(V_(k1))+dim(V_(k2))=dim(V)=3$, $f$ è diagonalizzabile. Ci sono tanti modi per dimostrarlo, il problema è conoscerli

[JackPirri]

Grazie.Dunque mi pare di capire che se una matrice è simmetrica allora è sicuramente diagonalizzabile?E che per stabilire se una matrice è diagonalizzabile bisogna verificare che le radici del p.c. di f appartengano tutte ad R(in questo caso) e che per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica?Grazie.

[Magma1]

"JackPirri":Grazie.Dunque mi pare di capire che se una matrice è simmetrica allora è sicuramente diagonalizzabile?E che per stabilire se una matrice è diagonalizzabile bisogna verificare che le radici del p.c. di f appartengano tutte ad R(in questo caso) e che per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica?Grazie.

Come ti ha detto feddy, una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile e ha solo autovalori reali.

Una base di autovettori, che spesso ne viene richiesta l'esplicitazione, si trova a occhio; ragiona bene senza fare calcoli a vanvera, sii lo studente che sussurrava alle matrici simmetriche e ascolta cosa hanno da dirti... vabbe sto svalvolando

[JackPirri]

Grazie tante.

[JackPirri]

Grazie tante.

[Magma1]

Ma l'hai vista la base di autovettori?

[JackPirri]

L'ho trovata con i calcoli,a vista non riesco . La base è : $R^3$ =${(-1,1,0),(-1,0,1),(1,1,1)}$.

Attraverso quale ragionamento potevo trovarla a vista?

[Magma1]

Intanto è immediato vedere che $Im(f)=1$ e quindi $ker(f)=2$; per cui due autovettori li cerchiamo nel $ker(f)$ e si ottengono dalla risoluzione di $x+y+z=0qquad $ [nota]$1$ equazione in due incognite, quindi ha $oo^2$ soluzioni![/nota]: in questo caso è sufficiente prendere due qualsiasi vettori che annullano la prima riga.

Per l'autovettore $\in Im(f)$ ci vuole un po' più di esercizio se non si vuole tirare a sorte (cosa che non è sempre è sbagliata) e notare che la somma delle righe è $(3,3,3)=3(1,1,1)$.

[JackPirri]

Grazie.

[Magma1]

Prova con quest'altra matrice

$( ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ),( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ) ) $

è diagonalizzabile? Se sì, esplicitare una base di autovettori.

[JackPirri]

Se dovessi seguire il solito procedimento,mi imbarcherei in calcoli lunghi.Anche qui si riconosce a vista?Non è una matrice simmetrica,quindi per vedere se è diagonalizzabile non so che strada prendere,all'infuori dei soliti calcoli.

[Magma1]

Prova a ripensare al caso precedente e a cercare una base di autovettori; se la trovi allora è diagonalizzabile.

[JackPirri]

Devo studiare l'endomorfismo?Cioè devo trovare una base del kernel e dell'immagine?Anche se le trovo non capisco il legame che c'è con autovalori ed autovettori.

[Magma1]

Beh... se $f$ è diagonalizzabile e $ker(f)ne0$, ciò implica che un certo numero di autovettori appartengono al $ker(f)$ e i restanti all'$Im(f)$.

Così come quando cerchi una generica base per $f$ con $ker(f)ne0$, si ha che

${text{Base di } V}= {v in ker(f)} uu {v in Im(f)}$

[JackPirri]

Si tratta di un teorema oppure di altro?Grazie per la pazienza

[Magma1]

Ho modificato il post precedente

[JackPirri]

In ogni caso però devo vedere se la matrice è diagonalizzabile.Come faccio?Altrimenti ciò non vale.

[JackPirri]

"Magma":
Così come quando cerchi una generica base per $f$ con $ker(f)ne0$, si ha che

${text{Base di } f }= {v in ker(f)} uu {v in Im(f)}$

Non ho capito bene.Intendi dire che dato un endomorfismo non biiettivo,allora una base dello spazio vettoriale considerato si trova unendo la base del ker e dell'immagine?

[Magma1]

Se $f : V->V$, $dim(V)=n$ e $dim(ker(f))ne0$, considerando che

$dim(V)=dim(ker(f))+dim(Im(f))=n$

si ha che

$dim(ker(f))>0 hArr dim(Im(f))

Quindi per forza di cose la base di $V$ è costituita da vettori appartenenti al $ker(f)$ e all'$Im(f)$.

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