Stabilire se un vettore appartiene ad un sottospazio. ESERCIZIO

[nicola.cortese.7]

salve a tutti, vorrei chiedervi, dal momento che non ho le soluzioni, se è corretto procedere come ho fatto io per risolvere questo esercizio:
Determinare i valori del parametro reale $ a $ per i quali il vettore $ v_a = (8 - 2a; 2 - a;-2a; 2a^2 + 2) $
appartiene al sottospazio $ W_a = <(-1;-1; 2;-2a), (0; 0; 0; 1), (-2a-1;-1; 2;-2a), (5; 2-a;-2;-2a)> $ di
di $ R^4 $ .

SOL:
1) Ho inserito il vettore $ v_a $ nell'ultima colonna della matrice A che ha come colonne i 4 vettori del sottospazio $ W_a $ ottenendo $ [ ( -1 , 0 , -2a-1 , 5 , 8-2a ),( -1, 0 , -1 , 2-a , 2-a ),( 2 , 0 , 2 , -2 , -2a ),( -2a , 1 , -2a , -2a , 2a^2+2 ) ] $
2)ho messo la matrice a scala tramite questi passaggi : $ H_(42), H_(21)(-2a), H_(31)(2), H_(41)(-1), H_(43)(1/2) $ ottenendo $ [ ( -1 , 0 , -2a-1 , 5 , 8-2a ),( 0 , 1 , 4a^2 , -12a , 6a^2-16a+2 ),( 0 , 0 , -4a , 8 , -6a+16 ),( 0 , 0 , 0 , -a+1 , -2a+2 ) ] $

Ora che ho messo la matrice a scala, dal momento che non ho pivot nell'ultima colonna per nessuna $ ain R $ (poichè per $ a=1 $ otterei tutti zero nell'ultima riga), è giusto dire che il vettore $ v_a in W_a AA a in R $ ? oppure sto sbagliando / dimenticando qualcosa?

[cooper1]

non mi sembra corretto. non vedo dove possa portare. mi sembra che così al massimo dimostri che i vettori sono un sistema di generatori.
io in genere estraggo una base dal sottospazio e vedo se il vettore dato può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base.