Stabilire se l'applicazione è lineare

[Carlocchio]

Stabilire per quali valori di k la seguente applicazione risulta lineare.
L(x,y,z)=(2kx-y+(k+2)z, kx-3kz, x+z+k^2-1, 2x).

Non so proprio da dove cominciare anche perche non credo di aver ben capito cosa mi sta chiedendo... Grazie infinite a chi mi può aiutare

[_prime_number]

Devi utilizzare la definizione di applicazione lineare, ovvero verificare che dati due generici vettori $(x,y,z), (x',y',z')$ e data una generica costante $\lambda$ si abbia:
$L(\lambda (x,y,z))=\lambda L(x,y,z)$
e $L((x+x',y+y',z+z'))=L(x,y,z) + L(x',y',z')$
Imponendo queste due condizioni troverai dei valori di $k$.

Paola

[Carlocchio]

Ti ringrazio moltissimo per aver risposto ma tenendo presente la definizione teorica che mi hai ricordato quello che non riesco a capire è come applicarla nell'esercizio :/...

[_prime_number]

Esempio, prendo i vettori generici già indicati e calcolo le due quantità:
1. $L(x+x',y+y',z+z')=(2k(x+x')-(y+y')+(k+2)(z+z'),k(x+x')-3k(z+z'), x+x'+z+z'+k^2-1,2(x+x'))$
2. $L(x,y,z) + L(x',y',z')=(2kx-y+(k+2)z, kx-3kz, x+z+k^2-1, 2x)+(2kx'-y'+(k+2)z', kx'-3kz', x'+z'+k^2-1, 2x')=$
$(2kx-y+(k+2)z+2kx'-y'+(k+2)z', kx-3kz+kx'-3kz', x+z+k^2-1+ x'+z'+k^2-1, 2x+ 2x')$
Ora imponi che la quantità in 1 sia uguale a quella in 2 (componente per componente!). Semplifica il semplificabile e rimarrà una qualche condizione per $k$. Poi fai lo stesso per l'altra proprietà e incrocia le condizioni su $k$ che ottieni.

Paola

[Carlocchio]

Ok perfetto! Grazie mille ancora