Stabilire se i vettori formano una base e determinare le coordinate del vettore

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29 gen 2019, 15:14

Si stabilisca se i vettori (1, 1, 1),(1, 2, 4),(1, 3, 9) formano una base di R3 e in caso affermativo si determinino le coordinate del vettore (1, 2, 0) rispetto ad essa.

Ciao a tutti ho un problema a risolvere questo banale esercizio. Io so che i tre vettori formano una base di R3 in quanto sono linearmente indipendenti ma non riesco a capire come determinare le coordinate del vettore rispetto alla base. Devo forse usare matrice inversa? Grazie mille in anticipo!!

Risposte

universo1

29 gen 2019, 15:05

Per verificare se i vettori assegnati costituiscono una base dello spazio è necessario verificare che:
1) siano linearmente indipendenti;
2) generino lo spazio dato.

Il primo passo, stando a ciò che dici, lo hai fatto. Devi verificare anche la seconda condizione.
Senza scomodare il concetto di rango puoi verificare i punti 1 e 2 tramite due sistemi lineari molto simili. Poi procedi con il resto dell'esercizio.

lupielia

29 gen 2019, 15:11

perfetto, sapresti aiutarmi con la seconda parte dell'esercizio? è quella che mi crea problemi

Bokonon

29 gen 2019, 15:36

Significa che dei trovare la combinazione lineare dei vettori della base che genera il vettore target:
$ alpha( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) +beta( ( 1 ),( 2 ),( 4 ) )+gamma( ( 1 ),( 3 ),( 9 ) )=( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) ) $
che è la stessa cosa di:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 3 ),( 1 , 4 , 9 ) ) ( ( alpha ),( beta ),( gamma ) )=( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) ) $
Puoi risolverlo facendo il sistemino (come al liceo)
Oppure moltiplicando l'inversa per il vettore target.
Oppure risolvendo il sistema usando Gauss-Jordan sulla matrice completa.