Spegazione proprietà operatore unitario

[miry93-thebest]

ciao ! sto studiando gli operatori unitari e il mio testo dice che un operatore $ U$ si dice unitario se:

$U^T U= I$

ora dice che una delle proprietà è che:

$ |Uv|^2=Uv•Uv=(U^T Uv)•v=|v|^2$

ma non capisco questa uguaglianza come si ottiene $ Uv•Uv=(U^T Uv)•v$

[Sk_Anonymous]

Non vorrei sbagliare ma credo che dovresti partire dalla definizione di operatore lineare $U$ unitario su uno spazio vettoriale $V$ ( reale) di dimensione finita. Per un operatore di tal genere vale la relazione:
\(\displaystyle U(v)\bullet u=v\bullet U^T(u) \)
Ponendo in questa relazione $u=U(v)$ hai:
\(\displaystyle U(v)\bullet U(v)=v\bullet U^T(U(v)) =v\bullet (U^T U)(v)\)
Ma per ipotesi è \(\displaystyle U^T U=U U^T=I \) e dunque l'ultima relazione diventa:
\(\displaystyle U(v)\bullet U(v)=v\bullet I(v)=v \bullet v=||v||^2\)