Spazio vettoriale, sottoinsiemi e sottospazi
Scusate, solo un paio di chiarimenti su definizioni 
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e $A$ un suo sottoinsieme che verifica le due condizioni per essere definito un sottospazio.
Noi chiamamo COMPLEMENTARE di $A$ e lo indichiamo con $A^c$ il sottoinsieme di $V$ tale che $A uu A^c=V$ e $A nn A^c=\emptyset$ giusto? Se $A$ è sottospazio il suo complementare non lo sarà MAI, in quanto $A$ contiene l'elemento $vec(0)$ di $V$ e $A^c$ per definizione no giusto?
Mentre invece chiamiamo SUPPLEMENTARE di $A$ il sottospazio $B$ di $V$ tale che $A o+ B=V$ (cioè ogni $vec(v) in V$ può essere scritto in modo unico come somma di un elemento di $A$ e di un elemento di $B$), per cui vale il risultato di immediata verifica $A nn B= {vec(0)}$.
Qualcosa non va?
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e $A$ un suo sottoinsieme che verifica le due condizioni per essere definito un sottospazio.
Noi chiamamo COMPLEMENTARE di $A$ e lo indichiamo con $A^c$ il sottoinsieme di $V$ tale che $A uu A^c=V$ e $A nn A^c=\emptyset$ giusto? Se $A$ è sottospazio il suo complementare non lo sarà MAI, in quanto $A$ contiene l'elemento $vec(0)$ di $V$ e $A^c$ per definizione no giusto?
Mentre invece chiamiamo SUPPLEMENTARE di $A$ il sottospazio $B$ di $V$ tale che $A o+ B=V$ (cioè ogni $vec(v) in V$ può essere scritto in modo unico come somma di un elemento di $A$ e di un elemento di $B$), per cui vale il risultato di immediata verifica $A nn B= {vec(0)}$.
Qualcosa non va?
Risposte
Se definisci il complementare e il supplementare in quel modo è tutto corretto.
PS: l'insieme vuoto si indica con \emptyset.
PS: l'insieme vuoto si indica con \emptyset.
Ok grazie.
Siano ora $A$ e $B$ due sottospazi qualunque di $V$. In generale $A uu B$ non è un sottospazio vettoriale, mentre il sottoinsieme di $V$ composto da tutti i vettori $vec(a) + vec(b)$ con $vec(a) in A$ e $vec(b) in B$ indicato con $A + B$ e detto somma di $A$ e $B$ è un sottospazio.
L'unione dei due sottospazi è un sottoinsieme del sottospazio somma dei due sottospazi giusto?
Siano ora $A$ e $B$ due sottospazi qualunque di $V$. In generale $A uu B$ non è un sottospazio vettoriale, mentre il sottoinsieme di $V$ composto da tutti i vettori $vec(a) + vec(b)$ con $vec(a) in A$ e $vec(b) in B$ indicato con $A + B$ e detto somma di $A$ e $B$ è un sottospazio.
L'unione dei due sottospazi è un sottoinsieme del sottospazio somma dei due sottospazi giusto?
Non solo è un sottoinsieme, ma ha anche una proprietà interessante: il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $AuuB$ è proprio $A+B$.
per "più piccolo" intendi che è quello di dimensione minore ?
No no, per "più piccolo" intendo proprio più piccolo nel senso della nonna; se preferisci un linguaggio forbito dovrei dire "minimo rispetto all'inclusione". In sostanza, se un sottospazio vettoriale contiene $AuuB$ deve contenere anche $A+B$, e inoltre $A+B$ è esso stesso un sottospazio vettoriale contenente $AuuB$.
Perfetto grazie mille . Ci penso un poco su e se c'è da aggiungere qualcosa mi rifaccio sentire.
Buonanotte
. Ci penso un poco su e se c'è da aggiungere qualcosa mi rifaccio sentire. Buonanotte
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