Spazio vettoriale: dimensione e sistema di generatori
Ciao ragazzi avrei due domande:
1)Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione 7 su un campo $K$ che non sia lo spazio dei vettori numerici di $k^7$
2)Che relazione c'è tra il numero di vettori di un sistema di generatori di uno spazio vettoria finitamente generabile $V$ e la dimensione di $V$?
Per la seconda avrei pensato di rispondere che la dimensione è sempre minore o uguale al numero dei vettori del sistema di generatori ma non so spiegare il perchè (ammesso che sia giusto XD )
Per la prima ho una mezza idea ma è molto probabile che sia pessima...
tipo (a,0,0,0,0,0,0),(0,b,0,0,0,0,0) ecc....
Grazie per l'aiuto
1)Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione 7 su un campo $K$ che non sia lo spazio dei vettori numerici di $k^7$
2)Che relazione c'è tra il numero di vettori di un sistema di generatori di uno spazio vettoria finitamente generabile $V$ e la dimensione di $V$?
Per la seconda avrei pensato di rispondere che la dimensione è sempre minore o uguale al numero dei vettori del sistema di generatori ma non so spiegare il perchè (ammesso che sia giusto XD )
Per la prima ho una mezza idea ma è molto probabile che sia pessima...
tipo (a,0,0,0,0,0,0),(0,b,0,0,0,0,0) ecc....
Grazie per l'aiuto
Risposte
"matematicamentenegato":
Per la prima ho una mezza idea ma è molto probabile che sia pessima...
tipo (a,0,0,0,0,0,0),(0,b,0,0,0,0,0) ecc....
Se metti i vettori di questo tipo, dovrai metterci anche i vettori che sono combinazione lineare di essi, affinchè tu ottenga uno spazio vettoriale.
Quindi stai considerando tutti i vettori del tipo [tex](a,b,c,d,e,f,g)[/tex] al variare di [tex]a,b,c,d,e,f,g\in\mathbb{K}[/tex], ovvero stai considerando praticamente lo spazio [tex]\mathbb{K}^7[/tex] che non puoi usare (dalla traccia).
Per la risoluzione dell'esercizio non c'è molta scelta dato che tutti i [tex]\mathbb{K}[/tex]-spazi vettoriali di dimensione $7$ sono isomorfi a [tex]\mathbb{K}^7[/tex].
A me, per esempio, è venuto in mente lo spazio dei polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{K}[/tex] di grado [tex]\leq 6[/tex].
"matematicamentenegato":
Per la seconda avrei pensato di rispondere che la dimensione è sempre minore o uguale al numero dei vettori del sistema di generatori ma non so spiegare il perchè (ammesso che sia giusto XD )
Giusto. Per provarlo (in uno spazio di dimensione finita [tex]n[/tex]), puoi verificare equivalentemente che, dato un sistema di generatori con [tex]m[/tex] elementi, allora il sistema contiene una base dell'intero spazio che naturalmente sarà formata da [tex]n[/tex] elementi.
Perdonate l'intrusione, ho una domanda che forse vi parrà sciocca.
Si generalizza? Dato un campo $\mathbb{K}$ e un intero $n$, gli spazi vettoriali su $\mathbb{K}$ di dimensione $n$ sono tutti isomorfi a $\mathbb{K}^n$?
Se sì come si dimostra?
Grazie.
"cirasa":
Per la risoluzione dell'esercizio non c'è molta scelta dato che tutti i [tex]\mathbb{K}[/tex]-spazi vettoriali di dimensione $7$ sono isomorfi a [tex]\mathbb{K}^7[/tex].
Si generalizza? Dato un campo $\mathbb{K}$ e un intero $n$, gli spazi vettoriali su $\mathbb{K}$ di dimensione $n$ sono tutti isomorfi a $\mathbb{K}^n$?
Se sì come si dimostra?
Grazie.
"Paolo90":Mandando una base dello spazio n-dimensionale $V$ in una base di $K^n$ (questo definisce un isomorfismo).
come si dimostra?
Vedo che hai cominciato algebra lineare!
Ciao grande!
[/quote]
Ah capito, semplice semplice. Non ci avevo proprio pensato. Interessante come cosa.
Approfitto, Martino carissimo, della tua presenza qui per farti qualche domanda a cavallo tra la geometria e l'algebra (sempre lì vado a finire ): quali proprietà per così dire "algebriche" ha la struttura di spazio vettoriale?
Mi spiego: conosco la definizione, quindi so che deve essere gruppo abeliano additivo etc.
Quali operazioni di tipo algebrico si possono fare? Per esempio, si può considerare il quoziente tra uno spazio e un suo sottospazio? Che significato ha questa operazione (ammesso che esista)?
Mi rendo conto che sia una domanda un po' vaga, è che mi interesserebbe molto capire i legami tra la Geometria (Algebra Lineare) e l'Algebra astratta.
Eh già
Ormai è un mesetto che ho ripreso le lezioni e - proprio come mi aspettavo - mi piace molto anche Geometria e Algebra lineare.
Grazie di tutto, al solito
"Martino":Mandando una base dello spazio n-dimensionale $V$ in una base di $K^n$ (questo definisce un isomorfismo).
[quote="Paolo90"]come si dimostra?
[/quote]Ah capito, semplice semplice. Non ci avevo proprio pensato. Interessante come cosa.
Approfitto, Martino carissimo, della tua presenza qui per farti qualche domanda a cavallo tra la geometria e l'algebra (sempre lì vado a finire
): quali proprietà per così dire "algebriche" ha la struttura di spazio vettoriale? Mi spiego: conosco la definizione, quindi so che deve essere gruppo abeliano additivo etc.
Quali operazioni di tipo algebrico si possono fare? Per esempio, si può considerare il quoziente tra uno spazio e un suo sottospazio? Che significato ha questa operazione (ammesso che esista)?
Mi rendo conto che sia una domanda un po' vaga, è che mi interesserebbe molto capire i legami tra la Geometria (Algebra Lineare) e l'Algebra astratta.
Vedo che hai cominciato algebra lineare!
Eh già
Ormai è un mesetto che ho ripreso le lezioni e - proprio come mi aspettavo - mi piace molto anche Geometria e Algebra lineare.
Grazie di tutto, al solito
Ti rispondo in privato, così da bravi moderatori diamo il buon esempio e non andiamo fuori argomento
"cirasa":
A me, per esempio, è venuto in mente lo spazio dei polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{K}[/tex] di grado [tex]\leq 6[/tex].
ciao grazie per la pronta risposta. Volendo fare un esempio potresti aiutarmi?Non so da dove iniziare...
"matematicamentenegato":
[quote="cirasa"]
A me, per esempio, è venuto in mente lo spazio dei polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{K}[/tex] di grado [tex]\leq 6[/tex].
ciao grazie per la pronta risposta. Volendo fare un esempio potresti aiutarmi?Non so da dove iniziare...[/quote]
Cirasa ti ha già detto tutto. Che cosa non ti è chiaro esattamente?
Sai che cos'è un polinomio? Sai che cos'è il grado di un polinomio?
Se sai rispondere a queste domande, non ti dovrebbe essere difficile capire che $\mathbb{K}_n[x]$ (cioè l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a $n$) è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ di dimensione $n+1$.
Si ma io chiedevo l'aiuto sull'esempio concreto che non mi viene....Scusa..
Ecco come lo farei io...
$(a_0,a_1 x,a_2 x^2,a_3 x^3,a_4 x^4,a_5 x^5,a_6 x^6)$
Ecco come lo farei io...
$(a_0,a_1 x,a_2 x^2,a_3 x^3,a_4 x^4,a_5 x^5,a_6 x^6)$
Beh lo spazio vettoriale dei polinomi sarà formato da ... polinomi
Simpatico che sono!!!
A parte gli scherzi un generico polinomio di $K_6[x]$ sarà del tipo $ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g$, al variare di $a,b,c,d,e,f,ginK$.
Prova magari ad immaginare come può essere fatta la base canonica.
Simpatico che sono!!!
A parte gli scherzi un generico polinomio di $K_6[x]$ sarà del tipo $ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g$, al variare di $a,b,c,d,e,f,ginK$.
Prova magari ad immaginare come può essere fatta la base canonica.
Scusami, la traccia ti chiede di dare un esempio di spazio vettoriale su [tex]\mathbb{K}[/tex] di dimensione [tex]7[/tex].
E io te l'ho dato: è l'insieme dei polinomi di grado al più [tex]6[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{K}[/tex].
Ora non so a cosa ti riferisci quando chiedi "l'aiuto sull'esempio concreto". Forse non riesci a dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale di dimensione [tex]7[/tex]?
Tu scrivi:
Cos'è questo elemento? Chi sono gli $a_i$? Si tratta di un insieme? A che spazio ti riferisci? Dovresti essere più preciso e spiegare meglio cosa hai in mente. Se fossi un professore che corregge una risoluzione del genere, non capirei cosa vuoi dire...
P.S. Ehi, ciao Mistake, non avevo visto che avevi dato già un suggerimento!
E io te l'ho dato: è l'insieme dei polinomi di grado al più [tex]6[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{K}[/tex].
Ora non so a cosa ti riferisci quando chiedi "l'aiuto sull'esempio concreto". Forse non riesci a dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale di dimensione [tex]7[/tex]?
Tu scrivi:
"matematicamentenegato":
Ecco come lo farei io...
$(a_0,a_1 x,a_2 x^2,a_3 x^3,a_4 x^4,a_5 x^5,a_6 x^6)$
Cos'è questo elemento? Chi sono gli $a_i$? Si tratta di un insieme? A che spazio ti riferisci? Dovresti essere più preciso e spiegare meglio cosa hai in mente. Se fossi un professore che corregge una risoluzione del genere, non capirei cosa vuoi dire...
P.S. Ehi, ciao Mistake, non avevo visto che avevi dato già un suggerimento!
Ah ok ho capito. Non avevo capito che l'esercizio era già terminato, quindi se mi trovassi all'esame con una domanda analoga posso rispondere in quel modo riferendomi ai polinomi di grado (n-1) dove n è la dimensione richiesta?
Tipo se trovo Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione 4 su un campo K che non sia lo spazio dei vettori numerici di $K^4$ posso rispondere dicendo:
"Un esempio è l'insieme di polinomi di grado al più 3 a coefficienti in $K$?
Tipo se trovo Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione 4 su un campo K che non sia lo spazio dei vettori numerici di $K^4$ posso rispondere dicendo:
"Un esempio è l'insieme di polinomi di grado al più 3 a coefficienti in $K$?
La risposta è giusta.
Naturalmente, qualora qualcuno te lo chiedesse, dovresti essere in grado di dimostrare che questo insieme è uno spazio vettoriale (cioè verifica gli assiomi di spazio vettoriale) ed ha dimensione $7$ (cioè dovresti essere in grado di esibire una base formata da $7$ elementi).
Ti invito a farlo, se ti va. Può essere un utile esercizio.
Naturalmente, qualora qualcuno te lo chiedesse, dovresti essere in grado di dimostrare che questo insieme è uno spazio vettoriale (cioè verifica gli assiomi di spazio vettoriale) ed ha dimensione $7$ (cioè dovresti essere in grado di esibire una base formata da $7$ elementi).
Ti invito a farlo, se ti va. Può essere un utile esercizio.
grazie mille cirasa. il problema è che il libro che uso io non fa nemmeno un minimo accenno ai polinomi quindi non so dove trovare la teoria che ci sta dietro...cmq ci proverò appena troverò qualcosa in rete...Grazie mille!
Non è un problema. Come ha già detto Mistake, si tratta del seguente insieme, denotato con [tex]\mathbb{K}_6[x][/tex], i cui elementi sono tutti e soli i polinomi del tipo [tex]p(x)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+gx^6[/tex] al variare di [tex]a,b,c,d,e,f,g\in\mathbb{K}[/tex].
La somma fra due polinomi e il prodotto di un polinomio per uno scalare sono definiti nel modo usuale (dimmi se vuoi che lo scriva esplicitamente).
Anche se non conosci questo spazio, non dovresti incontrare grossi problemi a dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale sul campo [tex]\mathbb{K}[/tex] di dimensione [tex]7[/tex].
La somma fra due polinomi e il prodotto di un polinomio per uno scalare sono definiti nel modo usuale (dimmi se vuoi che lo scriva esplicitamente).
Anche se non conosci questo spazio, non dovresti incontrare grossi problemi a dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale sul campo [tex]\mathbb{K}[/tex] di dimensione [tex]7[/tex].
grazie mille mi hai fatto capire. Beh allora per dimostrare che è uno spazio vettoriale mi basta verificare le proprietà, e cioè:
presi
$f(x)=a+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6$
$g(x)=b+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+b_4x^4+b_5x^5+b_6x^6$
quindi $f(x)$ + $g(x)$= $(a+b)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3+(a_4+b_4)x^4+(a_5+b_5)x^5+(a_6+b_6)x^6$ appartiene a $K$
poi verifico la moltiplicazione per lo scalare
$lambdaf(x)=lambdaa+lambdaa_1x+lambdaa_2x^2+lambdaa_3x^3+lambdaa_4x^4+lambdaa_5x^5+lambdaa_6x^6$
quindi $lambdaf(x)inK$ quindi è uno spazio vettoriale...
è giusto?
presi
$f(x)=a+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6$
$g(x)=b+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+b_4x^4+b_5x^5+b_6x^6$
quindi $f(x)$ + $g(x)$= $(a+b)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3+(a_4+b_4)x^4+(a_5+b_5)x^5+(a_6+b_6)x^6$ appartiene a $K$
poi verifico la moltiplicazione per lo scalare
$lambdaf(x)=lambdaa+lambdaa_1x+lambdaa_2x^2+lambdaa_3x^3+lambdaa_4x^4+lambdaa_5x^5+lambdaa_6x^6$
quindi $lambdaf(x)inK$ quindi è uno spazio vettoriale...
è giusto?
"matematicamentenegato":
quindi $f(x)$ + $g(x)$= $(a+b)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3+(a_4+b_4)x^4+(a_5+b_5)x^5+(a_6+b_6)x^6$ appartiene a $K$
[...]
quindi $lambdaf(x)inK$
A parte queste sviste (dovrebbe essere "[...] appartiene a $K_6[x]$" e "$lambdaf(x)inK_6[x]$"), ok!
Ok Grazie!!!
per la dimensione non ci dovrebbe essere niente da aggiungere...cioè non devo verificare che ha dimensione 7....giusto?
per la dimensione non ci dovrebbe essere niente da aggiungere...cioè non devo verificare che ha dimensione 7....giusto?
Certo che dovresti farlo! Cerca di trovare una base formata da $7$ elementi...
"cirasa":
Certo che dovresti farlo! Cerca di trovare una base formata da $7$ elementi...
è forse questa: $(1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6)$ ?
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