Spazio vettoriale: dimensione e sistema di generatori
Ciao ragazzi avrei due domande:
1)Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione 7 su un campo $K$ che non sia lo spazio dei vettori numerici di $k^7$
2)Che relazione c'è tra il numero di vettori di un sistema di generatori di uno spazio vettoria finitamente generabile $V$ e la dimensione di $V$?
Per la seconda avrei pensato di rispondere che la dimensione è sempre minore o uguale al numero dei vettori del sistema di generatori ma non so spiegare il perchè (ammesso che sia giusto XD )
Per la prima ho una mezza idea ma è molto probabile che sia pessima...
tipo (a,0,0,0,0,0,0),(0,b,0,0,0,0,0) ecc....
Grazie per l'aiuto
1)Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione 7 su un campo $K$ che non sia lo spazio dei vettori numerici di $k^7$
2)Che relazione c'è tra il numero di vettori di un sistema di generatori di uno spazio vettoria finitamente generabile $V$ e la dimensione di $V$?
Per la seconda avrei pensato di rispondere che la dimensione è sempre minore o uguale al numero dei vettori del sistema di generatori ma non so spiegare il perchè (ammesso che sia giusto XD )
Per la prima ho una mezza idea ma è molto probabile che sia pessima...
tipo (a,0,0,0,0,0,0),(0,b,0,0,0,0,0) ecc....
Grazie per l'aiuto
Risposte
Grazie mielle cirasa. Già che ci sono scrivo un altro esercizio che mi risulta abbastanza difficile siccome l'argomento è lo stesso lo scrivo qui cosi non apro un nuovo post...
In $RR^3$ si consideri il sottospazio vettoriale:
${(x,y,z) inRR^3|x+y+z=0,x+hy+(2-h)z=0,-x-h^2y+(3h-4)z=0}$
1)Al variare di $hinRR$ determinare la dimensione e una base di $W$
2)Al variare di $hinRR$ determinare un sottospazio supplementare di $W$
Ecco come procedo io al punto 1
Si tratta di trovare le soluzioni del sistema
riduco la matrice dei coefficienti.
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , h , 2-h , 0 ),( -1 , -h^2 , 3h-4 , 0 ) ) $
Scambio le righe e ottengo
$ ( ( 1 , h , 2-h , 0 ),( -1 , -h^2 , 3h-4 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ) ) $
Al posto della seconda riga metto la seconda più la prima e al posto della terza metto la terza + la prima moltiplicata per -1
$ ( ( 1 , h , 2-h , 0 ),( 0 , -h^2+h , 2h-2 , 0 ),( 0 , 1-h , h-1 , 0 ) ) $
Ora moltiplico la terza per 2 e la sommo alla seconda moltiplicata per -1 ottenendo:
$ ( ( 1 , h , 2-h , 0 ),( 0 , -h^2+h , 2h-2 , 0 ),( 0 , h^2-3h+2 , 0 , 0 ) ) $
a questo punto considero l'unico elemento nell'ultima riga e dico:
per h diverso da 2 e da 1 la matrice ha rango 3 quindi il sistema ha un unica soluzione .
Poi non so se devo considerare anche gli altri valori che h occupa nei vari posti...
Comunque adesso per trovare la base nel caso h diverso dalla coppia (2,1) devo trovare le soluzioni?
Cosa più importante...La riduzione che ho effettuato è lecita o c'è qualche mossa che non va effettuata?Grazie
In $RR^3$ si consideri il sottospazio vettoriale:
${(x,y,z) inRR^3|x+y+z=0,x+hy+(2-h)z=0,-x-h^2y+(3h-4)z=0}$
1)Al variare di $hinRR$ determinare la dimensione e una base di $W$
2)Al variare di $hinRR$ determinare un sottospazio supplementare di $W$
Ecco come procedo io al punto 1
Si tratta di trovare le soluzioni del sistema
riduco la matrice dei coefficienti.
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , h , 2-h , 0 ),( -1 , -h^2 , 3h-4 , 0 ) ) $
Scambio le righe e ottengo
$ ( ( 1 , h , 2-h , 0 ),( -1 , -h^2 , 3h-4 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ) ) $
Al posto della seconda riga metto la seconda più la prima e al posto della terza metto la terza + la prima moltiplicata per -1
$ ( ( 1 , h , 2-h , 0 ),( 0 , -h^2+h , 2h-2 , 0 ),( 0 , 1-h , h-1 , 0 ) ) $
Ora moltiplico la terza per 2 e la sommo alla seconda moltiplicata per -1 ottenendo:
$ ( ( 1 , h , 2-h , 0 ),( 0 , -h^2+h , 2h-2 , 0 ),( 0 , h^2-3h+2 , 0 , 0 ) ) $
a questo punto considero l'unico elemento nell'ultima riga e dico:
per h diverso da 2 e da 1 la matrice ha rango 3 quindi il sistema ha un unica soluzione .
Poi non so se devo considerare anche gli altri valori che h occupa nei vari posti...
Comunque adesso per trovare la base nel caso h diverso dalla coppia (2,1) devo trovare le soluzioni?
Cosa più importante...La riduzione che ho effettuato è lecita o c'è qualche mossa che non va effettuata?Grazie
Premetto che ho controllato i conti solo sommariamente. Supponendo che i conti siano giusti, rispondo alle tue domande. Partiamo dall'ultima.
E' tutto lecito. Stai semplicemente risolvendo il sistema.
Qual è questa unica soluzione nel caso $h!=1\ ^^\ h!=2$? Quindi il sottospazio $W$ (che è formato dall'insieme delle soluzioni del sistema) è....
Non ho capito cosa intendevi dire. Ora ti resta da studiare il caso $h=1$ e il caso $h=2$.
"matematicamentenegato":
Cosa più importante...La riduzione che ho effettuato è lecita o c'è qualche mossa che non va effettuata?
E' tutto lecito. Stai semplicemente risolvendo il sistema.
"matematicamentenegato":
per h diverso da 2 e da 1 la matrice ha rango 3 quindi il sistema ha un unica soluzione .
[...]
Comunque adesso per trovare la base nel caso h diverso dalla coppia (2,1) devo trovare le soluzioni?
Qual è questa unica soluzione nel caso $h!=1\ ^^\ h!=2$? Quindi il sottospazio $W$ (che è formato dall'insieme delle soluzioni del sistema) è....
"matematicamentenegato":
Poi non so se devo considerare anche gli altri valori che h occupa nei vari posti...
Non ho capito cosa intendevi dire. Ora ti resta da studiare il caso $h=1$ e il caso $h=2$.
"cirasa":
Qual è questa unica soluzione nel caso $h!=1\ ^^\ h!=2$? Quindi il sottospazio $W$ (che è formato dall'insieme delle soluzioni del sistema) è....
Allora il determinante è $2h^3-8h^2+12h-6$
La soluzioni per $h!=1\ ^^\ h!=2$ è
(0,0,0)
"matematicamentenegato":
Allora il determinante è $2h^3-8h^2+12h-6$
La soluzioni per $h!=1\ ^^\ h!=2$ è
(0,0,0)
Naturalmente si tratta del primo minore di ordine 3 della matrice. E non del determinante della matrice, in quanto non ha senso parlare di determinante in quanto la matrice è $3\times 4$.
Bene. Dunque? Ora puoi tranquillamente risolvere l'esercizio nel caso $h!=1\ ^^\ h!=2$.
Poi pensiamo agli altri casi.
Beh a questo punto mi verrebbe da dire che una base è (0,0,0) e la dimensione è 3
ma sento che sto sbagliando....
ma sento che sto sbagliando....
"matematicamentenegato":
Beh a questo punto mi verrebbe da dire che una base è (0,0,0) e la dimensione è 3
ma sento che sto sbagliando....
Ma, scusa, non è questione di sensazione, è questione di studio!
Che senso ha parlare di base per lo spazio [tex]W[/tex] ridotto al solo vettore nullo?
Nessuno! Sai che, in questo caso, si pone [tex]\dim W=0[/tex]. E se non lo sai, puoi chiederlo!
E poi cos'è la dimensione di uno spazio? Su qualsiasi libro è scritto che è il numero di vettori di una base. Se anche fosse vero che, come hai detto tu, "una base è (0,0,0)" (ma ovviamente non è vero, per definizione di base), perchè dici che la dimensione è 3?
Prima di dire la prima cosa che ti viene in mente, rifletti un po', no?
Scusa per la domanda stupida. Ci ho pensato un pò...Prima ho scritto che la dimensione è 3 perchè il rango è 3. Forse essendoci l'unica soluzione quella banale questo significherebbe che i vettori sono linearmente indipendenti e quindi una base,potrebbe essere costituita proprio dai vettori di partenza, per k diverso da 1,2. Scusa in anticipo se sbaglio ancora 
cioè una base potrebbe essere
$B=(1,h,2-h),(0,-h^2+h,2h-2),(0,h^2-3h+2)$ Al variare di $h$ in $RR$
cioè una base potrebbe essere
$B=(1,h,2-h),(0,-h^2+h,2h-2),(0,h^2-3h+2)$ Al variare di $h$ in $RR$
Mmm 
Scusami se sono franco, ma ho l'impressione che tu abbia parecchia confusione in testa.
Il fatto che il rango di quella matrice (che d'ora in poi chiamerò $A$) sia $3$ ti dice:
- dalla definizione di rango, che le tre righe di $A$ sono linearmente indipendenti. Ma le righe di $A$ non sono certo le soluzioni del sistema, ma solo le righe dei coefficienti + termini noti del sistema. E poi come può lo spazio $W$ essere ridotto al solo vettore nullo e avere una base di tre vettori? Per di più $W$ è un sottospazio di $RR^3$, come può avere elementi di $RR^4$?
- che il sistema (omogeneo) è di Cramer e quindi ammette una ed una sola soluzione (quella nulla) o, detto con il linguaggio del teorema di Rouchè-Capelli, ammette [tex]\infty^{3-\mathrm{rank}A}[/tex] soluzioni, ovvero una sola soluzione.
Ricapitolando:
$h!=1\ ^^\ h!=2\ \Rightarrow\ rank(A)=3\ \Rightarrow\ "Il sistema ammette una sola soluzione (quella nulla)"\ \Rightarrow\ W={0}$
Quindi $"dim"W=0$. Non ha senso parlare di base per lo spazio banale. Un supplementare di $W$ è tutto $RR^3$.
E questo conclude il caso $h!=1\ ^^\ h!=2$. Ora devi studiare gli altri casi.
Mi permetto comunque di consigliarti di rivedere meglio tutta la teoria. Risoluzione di sistemi, teorema di Rouchè-Capelli, spazi vettoriali, sottospazi, base, dimensione e compagnia bella. Secondo me, ci sono molte cose che non ti sono chiare.
Scusami se sono franco, ma ho l'impressione che tu abbia parecchia confusione in testa.
Il fatto che il rango di quella matrice (che d'ora in poi chiamerò $A$) sia $3$ ti dice:
- dalla definizione di rango, che le tre righe di $A$ sono linearmente indipendenti. Ma le righe di $A$ non sono certo le soluzioni del sistema, ma solo le righe dei coefficienti + termini noti del sistema. E poi come può lo spazio $W$ essere ridotto al solo vettore nullo e avere una base di tre vettori? Per di più $W$ è un sottospazio di $RR^3$, come può avere elementi di $RR^4$?
- che il sistema (omogeneo) è di Cramer e quindi ammette una ed una sola soluzione (quella nulla) o, detto con il linguaggio del teorema di Rouchè-Capelli, ammette [tex]\infty^{3-\mathrm{rank}A}[/tex] soluzioni, ovvero una sola soluzione.
Ricapitolando:
$h!=1\ ^^\ h!=2\ \Rightarrow\ rank(A)=3\ \Rightarrow\ "Il sistema ammette una sola soluzione (quella nulla)"\ \Rightarrow\ W={0}$
Quindi $"dim"W=0$. Non ha senso parlare di base per lo spazio banale. Un supplementare di $W$ è tutto $RR^3$.
E questo conclude il caso $h!=1\ ^^\ h!=2$. Ora devi studiare gli altri casi.
Mi permetto comunque di consigliarti di rivedere meglio tutta la teoria. Risoluzione di sistemi, teorema di Rouchè-Capelli, spazi vettoriali, sottospazi, base, dimensione e compagnia bella. Secondo me, ci sono molte cose che non ti sono chiare.
Grazie per l'aiuto. Si è un consiglio che seguirò anche perchè non ho un buon libro di teoria ma semplici appunti...
Ecco il resto dei casi...
Caso h=1
La matrice (considero quella che ho ridotto prima e non quella di partenza,giusto?) è:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )
il sistema associato è $\{(x+y+z=0),(2y=0):}$ da cui $\{(x=-z),(y=0):}$ dunque la soluzione è $(-z,0,z)$ una base è $(-1,0,1)$ e la dimensione è 1
Caso h=2
$ ( ( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 6 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
il sistema associato è: $\{(x+2y=0),(6y+2z=0)}$ la soluzione è $(2/3z,1/3z,z)$ la dimensione è 1 e una base è $(2/3,-1/3,1)$
Ecco il resto dei casi...
Caso h=1
La matrice (considero quella che ho ridotto prima e non quella di partenza,giusto?) è:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )
il sistema associato è $\{(x+y+z=0),(2y=0):}$ da cui $\{(x=-z),(y=0):}$ dunque la soluzione è $(-z,0,z)$ una base è $(-1,0,1)$ e la dimensione è 1
Caso h=2
$ ( ( 1 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 6 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
il sistema associato è: $\{(x+2y=0),(6y+2z=0)}$ la soluzione è $(2/3z,1/3z,z)$ la dimensione è 1 e una base è $(2/3,-1/3,1)$
Non ho controllato i conti. (Dovrebbe esserci qualche errore. Ora però non ho il tempo di trovarlo, perchè sto uscendo)
Ma anche qui, se io fossi un prof, dopo aver letto questa cosa qui, penserei "La persona che scrive, non sa che cos'è la dimensione di un sottospazio".
Se la base è formata da un solo elemento (e mi sembra che sia giusto) perchè scrivi che la dimensione è 2?
Stesso discorso dopo.
"matematicamentenegato":
h=1
[...] la soluzione è $(-z,0,z)$ una base è $(-1,0,1)$ e la dimensione è 2
Ma anche qui, se io fossi un prof, dopo aver letto questa cosa qui, penserei "La persona che scrive, non sa che cos'è la dimensione di un sottospazio".
Se la base è formata da un solo elemento (e mi sembra che sia giusto) perchè scrivi che la dimensione è 2?
Stesso discorso dopo.
No vabbè era una cosa che avevo scritto prima, poi avevo corretto....
Leggendo la tua risposta avevo corretto la dimensione. Grazie per tutto....!
Leggendo la tua risposta avevo corretto la dimensione. Grazie per tutto....!
Nello spazio vettoriale $RR^5$ determinare una base e la dimensione del sottospazio $W=(0,3,1,-2,0),(0,0,2,1,1),(0,6,-10,-10,-6),(0,3,7,1,3)$
Non riesco a capire dal libro la differenza tra lo spazio delle colonne e quello delle righe...O meglio, se mettendo in colonna posso ridurre per righe o meno...
Io risolverei cosi:
$ ( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 3 , 0 , 6 , 3 ),( 1 , 2 , -10 , 7 ),( -2 , 1 , -10 , 1 ),( 0 , 1 , -6 , 3 ) ) $
E ridurrei per righe...
ridotta per righe la matrice ha rango 2 quindi dimensione 2 e la base è data da:
$B=(0,3,1,-2,0),(0,0,2,1,1)$
Non riesco a capire dal libro la differenza tra lo spazio delle colonne e quello delle righe...O meglio, se mettendo in colonna posso ridurre per righe o meno...
Io risolverei cosi:
$ ( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 3 , 0 , 6 , 3 ),( 1 , 2 , -10 , 7 ),( -2 , 1 , -10 , 1 ),( 0 , 1 , -6 , 3 ) ) $
E ridurrei per righe...
ridotta per righe la matrice ha rango 2 quindi dimensione 2 e la base è data da:
$B=(0,3,1,-2,0),(0,0,2,1,1)$
Ciao a tutti .. non riesco a capire una cosa,sicuramente banale.... un esercizio chiede di trovare una base per lo spazio $ V=(P(x )=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 | P(1) +P(2) =0 $ e $ P(1)-P(2)=0)$ ... ho svolto il sistema omogeneo e trovato le soluzioni in funzione di 2 parametri liberi... e risulta $a_2=t;$$ a_3=s; $$ a_1= -3t - 7s ;$$ a_0= 2t +6s $ .. ora però non so come trovare una base per lo spazio $V$!! cioè sarebbero tutti quei polinomi della forma $ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ $tali che$ $a_0;a_1;a_2 $ e$ a_3$ siano di quella forma che ho trovato risolvendo il sistema.. però non capisco come scrivere una base dello spazio!! Grazie mille per l'eventuale risposta!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo